第29章　圆的基本性质 2026年中考数学一轮复习课件（云南）

该初中数学中考复习课件全面覆盖圆的基本性质核心考点，严格对接2022版新课标要求，将垂径定理（必学）、圆周角定理及推论、弧弦圆心角关系等列为重点。通过表格梳理性质、提示易错点、归纳重要结论，结合近6年中考真题分析考点权重，分类整理因式对点练等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“考点梳理+分层突破+真题体验”三维模式，精选云南中考真题如2022垂径定理余弦值计算、2023圆周角度数求解等实例。通过“一题多角度”解析内接三角形直径相关计算，培养学生几何直观和推理能力，强调垂径定理“知二推二”、构造直角三角形等解题技巧，帮助学生高效突破考点，教师可依此优化复习策略，提升冲刺效果。

第29章　圆的基本性质 六 2 目 录 CONTENTS 考点梳理特训 1 3 云南中考真题体验 重难点分层突破 返回目录 ①探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．(删除*，改为必学) ②知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等．(新增) 返回目录 考点一：与圆有关的性质 对称性 轴对称 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 中心对称 圆心是它的对称中心 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合 返回目录 考点二：圆周角定理及其推论 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的①____   推论 同弧或等弧所对的圆周角②____ 半圆(或直径)所对的圆周角是③____，90°的圆周角所对的弦是④____ 【提示】 1．一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补； 2．一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角 一半 相等 直角 直径 返回目录 考点三：三角形的外接圆 图　形 圆心名称 性　质 角度关系 外 接 圆   ⑤ (三角形的外接圆的圆心或三角形三边垂直平分线的交点) 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离⑥_____ ∠BOC＝⑦__∠A＝360°－2∠A′ 外心 相等 2 返回目录 【提示】锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外．当三角形形状不确定时，应用外心要分类讨论． 【重要结论】直角三角形外接圆的半径r＝c(c为斜边长)；等边三角形外接圆的半径r＝a(a为边长) 返回目录 考点四：弧、弦、圆心角之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等   推论 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等 【提示】运用定理和推论时，要注意条件“在同圆或等圆中”不能丢 返回目录 考点五：圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角⑧____   【提示】圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角(即和它相邻的内角的对角) 【拓展】圆幂定理：如图，若圆内任意弦AB，弦CD所在直线交于点P，则PA·PB＝PC·PD　 互补 返回目录 考点六：垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径⑨____弦，并且⑩____弦所对的两条弧(2022版课标调整为必学内容)   推论 平分弦(不是直径)的直径⑪____于弦，并且平分弦所对的两条弧 【拓展】 (1)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (2)根据圆的对称性，如图，在下列5条结论中：①＝；②＝；③AM＝BM；④AB⊥CD；⑤CD是⊙O的直径．若其中任意两个结论成立，则其他三个结论一定成立，即“知二推三”； (3)常作辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，得OB2＝OM2＋2 【提示】 1．使用垂径定理的推论时要注意“弦非直径”这一条件； 2．利用垂径定理时，易忽视弦在图中的不同位置，从而造成漏解 平分 平分 垂直 返回目录 1．(人教九上P87例4变式)如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，D是上与点C异侧的一点，连接OC，AC，AD，BC，CD. (1)∠ACB＝ °； (2)若∠D＝ °. ①∠B＝55°； ②∠AOC＝ °，∠CAB＝ °. 90 55 110 35 返回目录 2．(人教九上P85练习T1变式)如图，点A，B，C，D在⊙O上，若AB＝CD，则下列结论中错误的是( ) A.＝ B．AC＝BD C．AD＝BD D．∠ADC＝∠BAD C 返回目录 3.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，则它的外心与顶点之间的距离为 cm； (2)点O是△ABC的外心，且∠BOC＝110°，则∠OCB＝ . 4．(人教九上P88练习T5变式)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接OB，OD. (1)若∠DCE＝72°，则∠BAD＝ °； (2)若∠BCD＝100°，则∠BOD＝ °. 2.5 35° 72 160 返回目录 5．(人教九上P122复习题T1变式)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，连接OC，AD，BD，CD＝8，∠A＝30°. (1)∠BDC＝ °； (2)CE的长为 ； (3)∠OCD＝ °； (4)⊙O的半径为 ，BE的长为 . 30 4 30 返回目录 情境 已知弦AB，弦CD，⊙O的半径长，若AB∥CD，求两条弦之间的距离d 分类 讨论     情形一：如图，当两条弦位于圆心同侧时，利用勾股定理，在Rt△OBE中求出OE，在Rt△ODF中求出OF     情形二：如图，当两条弦位于圆心异侧时，利用勾股定理，在Rt△OBE中求出OE，在Rt△ODF中求出OF d＝OF⑫__OE d＝OF⑬__OE 知识归纳 1．求圆内两条平行弦间的距离 － ＋ 返回目录 情境 如图，根据圆的轴对称性，⊙O上到直径AB距离相等的点(0<d<r)的个数为4，设⊙O的半径为r，OD＝m，CD＝h 分类 讨论 情形一：当点D在圆心左侧时　　 情形一：当点D在圆心右侧时　　　 AD＝r－m，AC2＝(r－m)2＋h2 AD＝r＋m，AC2＝(r＋m)2＋h2 2.点在圆上运动时的相关计算 返回目录 返回目录 重难点：圆的基本性质 (一题多角度)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，D是上一点(点D与点A在BC的异侧)，连接AD，BD，AO，AD与BC交于点E. (1)若∠AOC＝110°，则∠ABC＝ °，∠ACB＝ °； (2)若AD⊥BC，AB＝3，AD＝4，则BE＝ ； (3)若∠BAD＝60°，OA＝2，则BD的长为 ； 55 35 2 返回目录 (4)若AD平分∠BAC. Ⅰ)当AC＝2AB＝6时，求BD的长； 解：连接CD，∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝∠BDC＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC，∴BD＝CD， ∴BD2＋CD2＝2BD2＝AB2＋AC2＝45. ∴BD＝. 返回目录 Ⅱ)当DE＝2AE＝2时，求BD的长． 解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝45°，BD＝CD， ∴∠DBC＝45°＝∠BAD，∴△BED∽△ABD，∴＝， ∵DE＝2AE＝2，∴AD＝3，∴BD2＝6，∴BD＝. 返回目录 【提分关键】 (1)构造等腰三角形：如图①，连接OA，OB，则有OA＝OB，∠A＝∠B； (2)构造直角三角形： Ⅰ)如图②，当题图中含有直径时， 构造直径所对的圆周角； Ⅱ)如图③，过圆心作弦的垂线构 造直角三角形； 返回目录 (3)圆中常见的相似三角形： 返回目录 (一题多角度)如图①，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，连接BD交AC于点E，且AB＝AE. (1)求证：DE＝DC； 返回目录 证明：∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB， ∵∠ABE＝∠ACD，∠AEB＝∠DEC， ∴∠ACD＝∠DEC， ∴DE＝DC. 返回目录 【分层分析】 由AB＝AE可得∠ABE＝∠AEB，结合圆周角定理的推论和对顶角相等，利用等角代换即可证得∠ACD＝∠DEC，再根据等角对等边即可求证． 返回目录 (2)如图②，若CD＝5，EC＝4，求⊙O的半径； 返回目录 解：过点D作DF⊥AC于点F， ∴∠DCF＋∠CDF＝90°， 由(1)可知DE＝DC，∴DF垂直平分CE， ∴CF＝CE＝2.∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCF＝90°，∴∠DAC＝∠CDF， ∴△ACD∽△DCF，∴＝，即＝，∴AC＝， ∴⊙O的半径为. 返回目录 【分层分析】 过点D作DF⊥AC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质可求得CF的长，由AC是⊙O的直径可得∠ADC＝90°，从而可得△ACD∽△DCF，利用相似三角形的性质求得AC的长即可求出⊙O的半径． 返回目录 (3)如图③，连接OB，若∠DAC＝25°，求∠OBE的度数； 返回目录 解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝25°，∴∠ACD＝65°， ∴∠ABD＝∠ACD＝65°. 由(1)得DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCA＝65°， ∴∠BDC＝180°－2×65°＝50°， ∴∠BAC＝∠BDC＝50°， ∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAC＝50°， ∴∠OBE＝∠ABD－∠ABO＝15°. 返回目录 【分层分析】 将∠OBE转化为∠ABD与∠ABO之差，由直径所对的圆周角是直角可求得∠ACD，再根据同弧所对的圆周角相等求得∠ABD，由(1)可知DE＝DC，利用等腰三角形的性质可求得∠BDC，进而求得∠BAC，再结合OA＝OB即可求出∠ABO. 返回目录 (4)如图④，若sin∠ADB＝，求的值． 返回目录 解：连接OD，过点D作DG⊥AC于点G，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°， ∵∠ADB＝∠ACB，∴sin∠ACB＝＝sin∠ADB＝， 设AB＝3x，则AC＝5x，AE＝3x，CE＝2x，OD＝x， ∵DE＝DC，DG⊥EC，∴EG＝x，∴OG＝x， ∴DG＝＝2x，∴DE＝＝x， ∵∠BAE＝∠CDE，∠BEA＝∠CED，∴△CDE∽△BAE， ∴＝2＝. 返回目录 【分层分析】 连接OD，过点D作DG⊥AC于点G，因为∠ACB＝∠ADB，故可得sin∠ACB＝sin∠ADB＝，设AB＝3x，AC＝5x，利用线段和差、勾股定理表示出CD的长，再证得△CDE∽△BAE，利用相似三角形的性质即可求解． 返回目录 如图，BC为△ABC外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于 点D，连接CD，OA. (1)若∠ABC＝30°，⊙O的直径为4，则扇形OAC的面积为 ； (2)若∠ABC＝30°，AC＝2，则＝ . －1 返回目录 【规律总结】 若点I为△ABC的内心，则有 (1)点I到△ABC三边的距离相等； (2)AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB； (3)∠BIC＝90°＋∠BAC. 返回目录 返回目录 【考情分析】云南近6年主要以选填题的形式考查圆的有关性质的综合运用．设问的角度有：求半径、弦长、弧长、圆周角、弓形的高等，有时与锐角三角函数结合考查，难度较小，分值一般3－4分． 返回目录 命题点1：垂径定理(近6年考查1次) 1．(2022·省卷第9题4分)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为( ) A.   B.  C.  D. B 返回目录 命题点2：圆周角定理及推论的相关计算(近6年考查2次) 2．(2023·云南第12题3分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A的度数为( ) A．66° B．33° C．24° D．30° B 返回目录 3．(2024·云南第13题2分)如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若＝，∠AOC＝36°，则∠D的度数为( ) A. 9° B. 18° C. 36° D. 45° B 返回目录 $