专题03 二次根式（十三大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

专题03 二次根式（十三大题型） 【题型1 二次根式的概念】...................................................................................................1 【题型2二次根式有意义的条件】.........................................................................................2 【题型3 利用二次根式的性质化简】......................................................................................4 【题型4 二次根式的乘法运算】.............................................................................................6 【题型5 二次根式的除法运算】.............................................................................................9 【题型6 二次根式的乘除法运算】.......................................................................................14 【题型7最简二次根式的判定】............................................................................................16 【题型8 同类二次根式的相关概念】...................................................................................18 【题型9 二次根式的加减运算】...........................................................................................20 【题型10二次根式的混合运算】..........................................................................................22 【题型11 二次根式的化简求值】..........................................................................................24 【题型12 二次根式的实际应用】.........................................................................................26 【题型13 分母有理化】.......................................................................................................29 【题型1 二次根式的概念】 1.（23-24八年级下·广西柳州·期末）下列式子一定是二次根式是（   ） A． B． C．37 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的概念，属于基础题型． 根据二次根式的概念即可判断． 【详解】解：A、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故A错误； B、是二次根式，故B正确； C、37不是二次根式，故C错误； D、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故D错误； 故选：B． 2.（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 【详解】根据二次根式的定义可得：是二次根式 故选：C． 3.（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 4.（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析判断即可， 【详解】A． 是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意； B． ，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C． 是二次根式，故该选项符合题意； D． 是三次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【题型2二次根式有意义的条件】 1.（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：D． 2.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的意义“二次根式中被开方数是非负数”．根据被开方数即可求解． 【详解】解：， ∴． 故选：B． 3.（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．掌握被开方数是非负数是解答本题的关键．根据被开方数列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 故选：D． 4.（23-24八年级下·广东河源·期末）二次根式中字母的取值范围是 ． 【答案】 【分析】主要考查了二次根式的意义和性质，熟练掌握二次根式的意义是解题的关键； 二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得 故答案为： 【题型3 利用二次根式的性质化简】 1.（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 2.（24-25八年级上·北京·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．观察数轴可得，从而得到，再根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴． 故选：A 3（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 4.（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴ ． 故答案为：． 【题型4 二次根式的乘法运算】 1．（2025·安徽阜阳·三模）计算，结果是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式乘法：一般情况下，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算．在二次根式的运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【详解】解：． 故填：6． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）利用二次根式乘法计算即可； （2）把根号外的系数相乘，被开方数相乘，再化为最简二次根式即可； （3）利用二次根式乘法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，二次根式的乘法． （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式乘法运算法则，二次根式性质即可求解； （）根据二次根式乘法运算法则，二次根式性质即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5 二次根式的除法运算】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，结果为（   ） A．1 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算中，错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法法则依次计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）计算的结果是（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式． 【详解】解：． 故选A． 4．（24-25八年级下·吉林松原·期中）一个矩形的长为，宽为，则该矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，二次根式的应用，利用矩形的性质，结合二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的除法运算．根据二次根式的除法运算法则解答即可． 【详解】解：． 故答案为：5． 6．（24-25八年级下·福建南平·期中）已知矩形的面积，长，则宽 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式除法的应用，根据题意列式，利用二次根式除法的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则计算即可； （2）利用二次根式的除法法则计算即可； （3）利用二次根式的除法法则计算即可； （4）利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【题型6 二次根式的乘除法运算】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 2．（2025·江苏南京·一模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025·山西临汾·一模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，按照运算顺序计算出答案，注意结果要化简成最间的即可； 【详解】解： ， ， ． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法混合运算．先算二次根式乘除法，再算减法即可求解． 【详解】解： ． 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 6．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，先计算乘方，再计算二次根式乘法，最后计算除法即可得到答案． 【详解】解： ． 【题型7最简二次根式的判定】 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键； 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B 2．（22-23八年级上·上海松江·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，不符合题意；     C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 4.（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意， 故选：D． 5．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B. ，被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C.     ，被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D. ，被开方数的因数是整数，且被开方数不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：． 【题型8 同类二次根式的相关概念】 1．（2025年辽宁省鞍山市九年级第二次质量调查数学试卷（中考二模））与能合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，涉及同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：， 根据同类二次根式的定义可知能与合并， 故选：D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式及同类二次根式，根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解方程即可．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：D． 3．（2025·上海青浦·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的判断，先将各选项化简，再找到被开方数为的选项即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； C、与的被开方数相同，故是同类二次根式； D、与的被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选C． 4．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减，先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项不符合题意； 、与能合并，原选项符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 故选：． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行逐项分析，即可作答．． 【详解】解：A、， 与是同类二次根式，故该选项符合题意； B、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 6．（24-25八年级下·云南大理·期中）若与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a的值为（    ） A．3 B．5 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题主要考查了同类二次根式，首先化简，再根据同类二次根式定义可得，再解即可． 【详解】解：， 由题意得：， 解得：， 故选：B． 【题型9 二次根式的加减运算】 1．（23-24八年级下·四川南充·期中）计算下列算式：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加减运算等知识，先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案．熟记二次根式性质、二次根式加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 2．（2025·湖北·模拟预测）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的计算，涉及零次幂、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的化简，绝对值的计算及有理数的乘方计算是解题的关键． 根据实数的混合运算法则进行化简即可求解． 【详解】解： 3．（2025·浙江台州·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，零指数幂，熟练掌握运算性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，计算零指数幂，然后计算加减即可． 【详解】解：原式 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握加减运算法则，是解题的关键： （1）直接合并即可； （2）先化简，再合并即可； （3）先化简，再合并即可； （4）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减运算． （1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型10二次根式的混合运算】 1．（2025·甘肃定西·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先利用乘法分配律展开，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再计算加减运算即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 3.（24-25八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简二次根式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行平方差公式的计算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 4．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘方公式的计算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 5．（24-25八年级下·广西玉林·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简绝对值，进行除法运算，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，进行平方差公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【题型11 二次根式的化简求值】 1．（2025·吉林·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算， 先根据多项式除以单项式以及完全平方公式展开计算，再代数值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中：． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出的值是解题的关键． （1）先求出的值，再根据代值计算即可； （2）根据代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值，先根据整式的运算法则进行计算化简，再把字母的值代入，根据二次根式的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 5．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加减法，按照计算法则、运用平方差公式和完全平方公式是解决本题的关键． 因为，，所以，， （1），代入数据计算即可． （2），代入数据计算即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， ， ， ； （2）解： ． 【题型12 二次根式的实际应用】 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．若导线电阻为，1s时间导线产生的热量为80J，则电流的值是多少？ 【答案】电流I的值为4A 【分析】本题考查代入求值，以及二次根式的运算，解题的关键是根据已知量代入公式求解．先把公式变形为，然后代入已知量求出结果，即可解题． 【详解】解： ， ， 将，，代入，得， 因为，所以． 答：电流I的值为4A． 2．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 根据圆的面积公式可求求得半径，再作差即可； 根据半径求得面积作差，再乘以单价即可． 【详解】（1）解： ， 故圆环的宽度为． （2）解：（元）， 则购买地砖需要花元钱． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，， (2)阴影部分面积为； (3)不能截出；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 4．（24-25八年级上·北京·期中）某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 【答案】通道的面积为平方米 【分析】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的化简与运算是解本题的关键．分别求出矩形绿地和小矩形花坛的面积，再相减求通道面积即可． 【详解】解：矩形绿地的长为米，宽为米， 平方米， 小矩形花坛的长为米，宽米， 小矩形花坛的面积为平方米， 通道的面积为平方米． 【题型13 分母有理化】 1．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）分母有理化： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料： 在解决问题“已知，求的值”时，小亮是这样分析与解答的：，，，，，． 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据平方差公式计算； （2）利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 3．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，求解代数式的值； （1）把分子分母都乘以即可； （2）由，可得，可得，再把变形，再逐步代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【详解】（1）解：， （2）矩形的另外一边长为： ∴矩形的周长为：． （3）当时 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式的定义，根据题意，判断与最简二次根式是同类二次根式，列等式求解即可得到答案，熟记同类二次根式及最简二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解： ，且与最简二次根式能合并， 与最简二次根式是同类二次根式， ，解得， 故选：B． 2．（23-24八年级下·云南大理·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵，且最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 【答案】(1)①； ② (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可． （1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可． （2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可． 【详解】（1）解：①， ② （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式（十三大题型） 【题型1 二次根式的概念】...................................................................................................1 【题型2二次根式有意义的条件】.........................................................................................2 【题型3 利用二次根式的性质化简】......................................................................................2 【题型4 二次根式的乘法运算】.............................................................................................3 【题型5 二次根式的除法运算】.............................................................................................4 【题型6 二次根式的乘除法运算】........................................................................................5 【题型7最简二次根式的判定】.............................................................................................6 【题型8 同类二次根式的相关概念】....................................................................................6 【题型9 二次根式的加减运算】............................................................................................7 【题型10二次根式的混合运算】...........................................................................................8 【题型11 二次根式的化简求值】..........................................................................................9 【题型12 二次根式的实际应用】.........................................................................................10 【题型13 分母有理化】........................................................................................................12 【题型1 二次根式的概念】 1.（23-24八年级下·广西柳州·期末）下列式子一定是二次根式是（   ） A． B． C．37 D． 2.（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2二次根式有意义的条件】 1.（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 2.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24八年级下·广东河源·期末）二次根式中字母的取值范围是 ． 【题型3 利用二次根式的性质化简】 1.（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2.（24-25八年级上·北京·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 3（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 4.（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 【题型4 二次根式的乘法运算】 1．（2025·安徽阜阳·三模）计算，结果是 ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型5 二次根式的除法运算】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，结果为（   ） A．1 B．9 C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算中，错误的是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）计算的结果是（    ） A．3 B． C．9 D． 4．（24-25八年级下·吉林松原·期中）一个矩形的长为，宽为，则该矩形的面积为 ． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 6．（24-25八年级下·福建南平·期中）已知矩形的面积，长，则宽 ． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【题型6 二次根式的乘除法运算】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·一模）计算： ． 3．（2025·山西临汾·一模）计算： 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 6．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）计算：． 【题型7最简二次根式的判定】 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海松江·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 同类二次根式的相关概念】 1．（2025年辽宁省鞍山市九年级第二次质量调查数学试卷（中考二模））与能合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025·上海青浦·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 6．（24-25八年级下·云南大理·期中）若与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a的值为（    ） A．3 B．5 C．12 D．14 【题型9 二次根式的加减运算】 1．（23-24八年级下·四川南充·期中）计算下列算式：． 2．（2025·湖北·模拟预测）计算：． 3．（2025·浙江台州·二模）计算：． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 【题型10二次根式的混合运算】 1．（2025·甘肃定西·二模）计算：． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 3.（24-25八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 4．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）计算：． 5．（24-25八年级下·广西玉林·期中）计算： (1)． (2)． 【题型11 二次根式的化简求值】 1．（2025·吉林·二模）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中：． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 5．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【题型12 二次根式的实际应用】 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．若导线电阻为，1s时间导线产生的热量为80J，则电流的值是多少？ 2．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 3．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 4．（24-25八年级上·北京·期中）某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 【题型13 分母有理化】 1．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）分母有理化： ． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料： 在解决问题“已知，求的值”时，小亮是这样分析与解答的：，，，，，． 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 3．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南大理·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 4．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $