专题06相似三角形（期中复习讲义）九年级数学上学期浙教版

专题06 相似三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例的性质 掌握比例的基本性质（内项积 = 外项积）、合比性质、等比性质，理解比例中项的定义及计算方法。 基础题，选择 / 填空为主，易因混淆合比与等比性质的适用条件出错。 比例线段 掌握比例线段的定义，能判断四条线段是否成比例，会利用比例关系求未知线段长度。 基础题，多结合平行线或三角形考查，易因线段对应顺序颠倒导致计算错误。 黄金分割 掌握黄金分割的定义，记住黄金比（√5-1/2≈0.618），能确定线段的黄金分割点，了解实际应用场景。 基础题，选择 / 填空偶尔出现，易忽略线段有两个黄金分割点的特性。 由平行线截得的线段 掌握平行线分线段成比例定理及推论（三角形中平行线截得对应线段成比例），能利用定理构造比例线段。 高频基础题，贯穿选择、填空、解答题，常考 “A 型”“X 型” 相似模型，易因对应线段找错出错。 相似多边形 掌握相似多边形的定义（对应角相等、对应边成比例），能识别相似多边形并确定相似比。 基础题，多以选择 / 填空形式考查，难度低，易与全等多边形概念混淆。 相似多边形的性质 掌握相似多边形的性质（对应边比 = 相似比、周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方），会利用性质计算边长、面积。 中档题，选择 / 填空 / 解答题均有涉及，面积比与相似比的平方关系是高频易错点。 相似三角形的判定 掌握相似三角形的判定方法（AA、SAS、SSS、HL），能根据已知条件选择合适方法证明相似。 核心考点，解答题必考，AA 判定法应用最广，易因忽略 “SAS” 中的 “夹角” 条件出错。 利用相似三角形的性质求解 掌握相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比，能综合运用性质求线段长度、角度、面积。 高频中档题，解答题核心环节，常结合三角形 “三线” 构造比例关系，易因性质混淆出错。 相似三角形的动点问题 掌握动点运动过程中相似三角形的判定与性质应用，能分类讨论相似的不同情况，建立关系式求解。 难题，解答题压轴小问，易因漏解相似的多种对应情况或动点范围考虑不全出错。 相似三角形的应用 掌握利用相似三角形解决实际问题的方法（测量高度、距离等），能建立几何模型转化实际问题。 中档题，解答题常见题型，易因模型建立错误（如忽略平行条件）导致计算失误。 位似图形的作图 掌握位似图形的作图步骤（确定位似中心、画射线、取对应点、连线），能按给定相似比作位似图形。 中档题，作图题或填空小问，易因位似中心位置或缩放方向错误导致作图失误。 位似图形的识别 掌握位似图形的特征（相似且对应点连线共点、对应边平行），能区分位似图形与一般相似图形。 基础题，选择 / 填空偶尔考查，易忽略 “对应点连线过位似中心” 的核心条件。 位似图形的对应坐标 掌握坐标系中位似图形的坐标变化规律（原点为中心时横纵坐标乘 ±k），能求位似图形的对应点坐标。 高频中档题，选择 / 填空 / 解答题均有，易因位似方向（k 的正负）判断错误出错。 位似中心的判断 掌握位似中心的判断方法（对应点连线的交点），能在图形中确定位似中心的位置。 中档题，选择 / 填空小问，易因找错对应点导致中心判断错误。 相似三角形与四边形综合 掌握相似三角形与特殊四边形（平行四边形、矩形等）的性质结合运用，能证明线段关系或计算面积。 难题，解答题高频考点，易因几何图形复杂导致相似条件挖掘不充分出错。 相似三角形与二次函数综合 掌握相似三角形的比例关系与二次函数的结合应用，能建立函数关系式，利用函数性质求最值或取值范围。 压轴题，解答题最后一问，分值占比高，易因几何关系转化错误或函数计算失误丢分。 知识点01比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 知识点02黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 知识点03平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 知识点04相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 知识点05相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 知识点06相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点07相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点08 相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 知识点09位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. 3.位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 题型一 比例的性质 解｜题｜技｜巧 1.求未知项：用 “交叉相乘”（若 a/b = c/d，則 ad = bc），代入已知值解方程； 2.比例式变形：遇 “a±b”“c±d”，用合比 / 分比性质（如 a/b = c/d，則 (a+b)/b = (c+d)/d）； 3.连比问题：设 “k”（如 a:b:c=2:3:4，设 a=2k、b=3k、c=4k），代入计算。 【典例1】已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知那么下列比例式中成立的是（） A． B． C． D． 【变式2】已知，那么的值是 ． 题型二 比例线段 解｜题｜技｜巧 1.判断成比例：先统一单位，排序后验证 “最小 × 最大 = 中间两数相乘”； 2.求比例中项：若 b 是 a、c 的比例中项，則 b²=ac，计算后取正数（线段非负）。 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知线段，则线段a，b的比例中项是 ． 【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【变式2】已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知线段，满足． (1)求的值； (2)当线段是的比例中项且时，求的值． 题型三 黄金分割 解｜题｜技｜巧 1.求较长段：全段长 ×0.618（或 (√5-1)/2）； 2.求全段长：较长段 ÷0.618（或较长段 ×2/(√5-1)）； 3.找黄金分割点：在线段上取 “全段 ×0.618” 的位置。 【典例1】已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．如图，将古筝弦抽象为一条线段，若，支撑点是线段上靠近点的一个黄金分割点，则的长为 ．（结果保留根号） 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【变式3】（24-25九年级上·浙江舟山·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则 ．（答案保留根号） 题型四 由平行线截得的线段 解｜题｜技｜巧 识别模型： ◦A 型（平行线在三角形内）：DE∥BC→AD/AB = AE/AC = DE/BC； ◦X 型（平行线在三角形外）：DE∥BC→AD/AB = AE/AC = DE/BC； 解题：先标平行线，确定对应线段，列比例式求未知。 【典例1】如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，中，点D是上一点，交于E，，，则与的比是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（20-21九年级上·浙江温州·期中）如图，直线 ，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 【变式3】23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 【变式4】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且． (1)如果，求的长； (2)如果，，求的长． 题型五 相似多边形 解｜题｜技｜巧 1.判断相似：先验对应角相等，再验对应边成比例； 2.求边长：设相似比 k，对应边 = 已知边 ×k（或已知边 ÷k）； 3.求周长 / 面积：周长比 = k，面积比 = k²，用比例求未知。 【典例1】下列命题中，是真命题的是（   ） A．平行四边形都相似 B．菱形都相似 C．正方形都相似 D．长方形都相似 【变式1】下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 【变式2】下列两个图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 题型六 相似多边形的性质 解｜题｜技｜巧 1.求对应角：直接找相等的对应角（如相似多边形对应角相等）； 2.求对应边：用相似比 k，对应边 = 已知边 ×k； 3.求面积：先求 k，再用面积比 = k² 计算。 【典例1】如图，四边形四边形，则 ． 【变式1】如图，四边形四边形，若 ，则 度． 【变式2】如图，已知四边形与四边形相似，点A，B，C，D的对应点分别为，，，． (1)_______； (2)求边x，y的长度． 【变式3】如图，四边形四边形，求的大小和的长度． 题型三 相似三角形的判定 解｜题｜技｜巧 1.两角对应相等（AA）：找两组相等角（如公共角 + 一组已知等角）； 2.两边成比例且夹角相等（SAS）：先算对应边比例，再验夹角相等； 3.三边成比例（SSS）：计算三组对应边比例，看是否相等； 4.直角三角形：斜边 + 直角边成比例（HL）。 【典例1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 【变式2】如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 【变式3】如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 题型八 利用相似三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 1.求边长：对应边成比例，列比例式解方程； 2.求高 / 中线 / 角平分线：对应线段比 = 相似比 k； 3.求面积：面积比 = k²，用已知面积和 k 求未知面积。 【典例1】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【变式1】已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【变式2】如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【变式3】如图，在中，点分别是边上的两点，且．，，，求的长． 题型九 相似三角形的动点问题 解｜题｜技｜巧 1.定动点位置：设动点运动时间 t，用 t 表示线段长度； 2.找相似条件：根据 t 的范围，确定对应角 / 对应边（分情况讨论）； 3.列比例式：代入含 t 的线段，解方程求 t（注意 t 的取值范围）。 【典例1】如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为． (1)求出的长度； (2)用含有的式子表示和； (3)当为何值时，与相似？ 【变式1】如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)作交于点R，连接，当t为何值时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似． 【变式2】如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）． 若P、Q两点同时移动； (1)当运动几秒时，的面积为． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 题型十 相似三角形的应用 解｜题｜技｜巧 1.测量高度（如测树高）：用 “同一时刻物高 / 影长 = 另一物高 / 另一影长” 列比例； 2.测量距离（如测河宽）：构造相似三角形，用对应边比例求距离； 3.光学 / 力学问题：根据题意找相似模型（如小孔成像→相似三角形）。 【典例1】如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【变式1】如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（）的高度：将一根3米高的标杆（）竖直放在某一位置，有一名同学站在处与标杆底端（）、旗杆底端（）成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学（）离标杆（）的距离为3米，离旗杆（）的距离为30米．如果站立的同学（）的眼睛距地面1.6米，，，，求旗杆的高度． 【变式2】如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 【变式3】（2024·陕西·中考真题）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 题型十一 位似图形的作图 解｜题｜技｜巧 1.定位似中心：选已知点（或题目指定点）； 2.连线段：在位似中心与图形各顶点间连线； 3.定比例：按位似比 k，延长 / 缩短线段至对应点； 4.连新点：顺次连接新顶点，得到位似图形。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，是以原点为位似中心在第三象限内与位似的三角形，且相似比为． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)把绕点逆时针旋转，得到．各顶点坐标分别为，，，则点的坐标为_____． 【变式1】如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； (2)在图②中的边上画一个点，使． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 【变式3】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点都在格点上，以A为位似中心，按把放大后得到． (1)画出的位似图形． (2)直接写出与四边形面积的比_______． 题型十二 位似图形的识别 【典例1】下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（    ） A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换 【变式3】下列图形中，不含有位似图形的是（    ） A． B． C． D． 题型十三 位似图形的对应坐标 解｜题｜技｜巧 1.若位似中心在原点：对应点坐标 =(原坐标 ×k)（k 正同向，k 负反向）； 2.若位似中心在点 (a,b)：先平移图形使位似中心为原点，坐标变换后再平移回去。 【典例1】如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为是关于点A的位似图形，且的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型十四 位似中心的判断 解｜题｜技｜巧 1.连对应顶点：作两组对应顶点的连线，交点即为位似中心； 2.验证：检查第三组对应顶点连线是否过该交点，且对应边比例相等。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，是由经过位似变换得到的，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3】已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 题型十五 相似三角形与四边形综合 解｜题｜技｜巧 1.拆分图形：将四边形拆为两个三角形（如连对角线）； 2.找相似三角形：在拆分的三角形中，用 AA/SAS/SSS 证相似； 3.用相似性质：求线段长度或角度，再计算四边形边长 / 面积。 【典例1】如图，平行四边形中，．    (1)如图1，将平行四边形沿对角线折叠，点A的对应点落在点E处，与交于点F． ①求证：； ②连接与交于点G，求的长； (2)如图2，点M，N分别在平行四边形的边上，连接，且，将平行四边形沿折叠，使点B的对应点Q落在边上，求的面积． 【变式1】如图1，的对角线与交于点，为上一点，，点在上． (1)若，为中点，连接，，求证：； (2)连接，． ①如图2，若为矩形，且，，求的值； ②如图3，若为菱形，为中点，连接，，，，求的值． 【变式2】如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【变式3】矩形中，，M为边的中点，点P为对角线的中点，以点P为顶点作，交边于点E，交边于点F． (1)如图，则=___________． (2)求证：． (3)作射线与射线交于点G，若，，求的长． 题型十六 相似三角形与二次函数综合 解｜题｜技｜巧 1.设动点坐标：用二次函数表达式表示动点纵坐标； 2.证相似：根据坐标计算线段长度，或找相等角证三角形相似； 3.列等式：用相似比列含动点横坐标的方程，解方程求坐标（注意自变量范围）。 【典例1】已知点坐标为，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，直线与抛物线的另一个交点为点，连结，．    (1)当点的纵坐标为时，求点的坐标； (2)判断以点为圆心，为半径的圆与轴的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【变式1】如图，已知二次函数（为常数，且）的图象经过点，并与轴相交于、两点（点在点右侧），且． (1)求二次函数的解析式； (2)若是线段上一点，且以、O、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)设直线为直线l，将二次函数的图象在直线l下方的部分沿直线l翻折到直线l的上方，图象其余的部分不变，得到一个新图象，问是否存在与新图象恰有三个不同公共点且平行于的直线？若存在，请求出所有符合条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图所示，抛物线坐标轴交于、、，其顶点是． (1)求该抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24九年级上·浙江·期中）已知，且，，则∠C的度数为(    ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点G．若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若，则下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（10-11九年级·浙江·期中）如图，在锐角三角形中， ， ，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的两条中线、交于点，若，则长为 ． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）两个相似多边形面积之比为，其周长之差为6，则较小的多边形的周长是 ． 7．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______； (2)请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，在中，直径与弦相交于点，连结弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是     A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 3．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，中，，于，则以下结论中；①；②；③；④若，点是的黄金分割点；其中正确的结论个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（22-23九年级上·浙江金华·期中）在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 5．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 6．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，是上一点，已知． (1)求证：； (2)已知，求的度数． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，对角线交于点，，点在线段上，且． (1)若，请用的代数式表示； (2)求证：； (3)延长交于点，若为的中点，，，求的长． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，，，． (1)问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ． (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由； (3)迁移应用：如图3是将绕点按顺时针方向旋转到一定角度得到，当点在直线上方，且时，求线段的长． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 7．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 8．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例的性质 掌握比例的基本性质（内项积 = 外项积）、合比性质、等比性质，理解比例中项的定义及计算方法。 基础题，选择 / 填空为主，易因混淆合比与等比性质的适用条件出错。 比例线段 掌握比例线段的定义，能判断四条线段是否成比例，会利用比例关系求未知线段长度。 基础题，多结合平行线或三角形考查，易因线段对应顺序颠倒导致计算错误。 黄金分割 掌握黄金分割的定义，记住黄金比（√5-1/2≈0.618），能确定线段的黄金分割点，了解实际应用场景。 基础题，选择 / 填空偶尔出现，易忽略线段有两个黄金分割点的特性。 由平行线截得的线段 掌握平行线分线段成比例定理及推论（三角形中平行线截得对应线段成比例），能利用定理构造比例线段。 高频基础题，贯穿选择、填空、解答题，常考 “A 型”“X 型” 相似模型，易因对应线段找错出错。 相似多边形 掌握相似多边形的定义（对应角相等、对应边成比例），能识别相似多边形并确定相似比。 基础题，多以选择 / 填空形式考查，难度低，易与全等多边形概念混淆。 相似多边形的性质 掌握相似多边形的性质（对应边比 = 相似比、周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方），会利用性质计算边长、面积。 中档题，选择 / 填空 / 解答题均有涉及，面积比与相似比的平方关系是高频易错点。 相似三角形的判定 掌握相似三角形的判定方法（AA、SAS、SSS、HL），能根据已知条件选择合适方法证明相似。 核心考点，解答题必考，AA 判定法应用最广，易因忽略 “SAS” 中的 “夹角” 条件出错。 利用相似三角形的性质求解 掌握相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比，能综合运用性质求线段长度、角度、面积。 高频中档题，解答题核心环节，常结合三角形 “三线” 构造比例关系，易因性质混淆出错。 相似三角形的动点问题 掌握动点运动过程中相似三角形的判定与性质应用，能分类讨论相似的不同情况，建立关系式求解。 难题，解答题压轴小问，易因漏解相似的多种对应情况或动点范围考虑不全出错。 相似三角形的应用 掌握利用相似三角形解决实际问题的方法（测量高度、距离等），能建立几何模型转化实际问题。 中档题，解答题常见题型，易因模型建立错误（如忽略平行条件）导致计算失误。 位似图形的作图 掌握位似图形的作图步骤（确定位似中心、画射线、取对应点、连线），能按给定相似比作位似图形。 中档题，作图题或填空小问，易因位似中心位置或缩放方向错误导致作图失误。 位似图形的识别 掌握位似图形的特征（相似且对应点连线共点、对应边平行），能区分位似图形与一般相似图形。 基础题，选择 / 填空偶尔考查，易忽略 “对应点连线过位似中心” 的核心条件。 位似图形的对应坐标 掌握坐标系中位似图形的坐标变化规律（原点为中心时横纵坐标乘 ±k），能求位似图形的对应点坐标。 高频中档题，选择 / 填空 / 解答题均有，易因位似方向（k 的正负）判断错误出错。 位似中心的判断 掌握位似中心的判断方法（对应点连线的交点），能在图形中确定位似中心的位置。 中档题，选择 / 填空小问，易因找错对应点导致中心判断错误。 相似三角形与四边形综合 掌握相似三角形与特殊四边形（平行四边形、矩形等）的性质结合运用，能证明线段关系或计算面积。 难题，解答题高频考点，易因几何图形复杂导致相似条件挖掘不充分出错。 相似三角形与二次函数综合 掌握相似三角形的比例关系与二次函数的结合应用，能建立函数关系式，利用函数性质求最值或取值范围。 压轴题，解答题最后一问，分值占比高，易因几何关系转化错误或函数计算失误丢分。 知识点01比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 知识点02黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 知识点03平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 知识点04相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 知识点05相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 知识点06相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点07相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点08 相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 知识点09位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. 3.位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 题型一 比例的性质 解｜题｜技｜巧 1.求未知项：用 “交叉相乘”（若 a/b = c/d，則 ad = bc），代入已知值解方程； 2.比例式变形：遇 “a±b”“c±d”，用合比 / 分比性质（如 a/b = c/d，則 (a+b)/b = (c+d)/d）； 3.连比问题：设 “k”（如 a:b:c=2:3:4，设 a=2k、b=3k、c=4k），代入计算。 【典例1】已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．直接利用比例的性质变形得出答案． 【详解】解：， ， 则， 故选：B． 【变式1】已知那么下列比例式中成立的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的基本性质知识点，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质并能灵活运用它将等式进行变形． 根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，对各选项逐一进行分析，看哪个选项变形后能得到． 【详解】A、由，根据比例的基本性质可得，不符合，所以该选项错误； B、由，根据比例的基本性质可得，符合已知条件，所以该选项正确； C、由，根据比例的基本性质可得，不符合，所以该选项错误； D、由，根据比例的基本性质可得，不符合，所以该选项错误． 故选：B． 【变式2】已知，那么的值是 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用比例的性质是解题关键．根据题意设，，将、的值代入求解即可． 【详解】解：由可设， ， 则． 故答案为：． 题型二 比例线段 解｜题｜技｜巧 1.判断成比例：先统一单位，排序后验证 “最小 × 最大 = 中间两数相乘”； 2.求比例中项：若 b 是 a、c 的比例中项，則 b²=ac，计算后取正数（线段非负）。 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知线段，则线段a，b的比例中项是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查比例线段，掌握比例中项的性质是解题的关键． 设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案． 【详解】解：设线段a、b的比例中项为x， 则， ∴， 即， 解得或（舍去）． 故答案为：3． 【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得； （2）根据比例中项的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 则． （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则x的值为． 【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键． 【变式2】已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意可设，，，再代入，即可求解； （2）根据m是a、b的比例中项，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵m是a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即线段的长为． 【点睛】本题主要考查了比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知线段，满足． (1)求的值； (2)当线段是的比例中项且时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例线段，代数式求值，能根据题中所给等式，用b表示出a进而代入计算是解题的关键． （1）根据题意，用b表示a，再进行计算． （2）根据比例中项的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 又∵线段是的比例中项， ∴， ∴（舍负）． 题型三 黄金分割 解｜题｜技｜巧 1.求较长段：全段长 ×0.618（或 (√5-1)/2）； 2.求全段长：较长段 ÷0.618（或较长段 ×2/(√5-1)）； 3.找黄金分割点：在线段上取 “全段 ×0.618” 的位置。 【典例1】已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，把代入计算求解即可． 【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．如图，将古筝弦抽象为一条线段，若，支撑点是线段上靠近点的一个黄金分割点，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：支撑点是线段上靠近点的一个黄金分割点， ， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割点的定义得，，，即可得出结论． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ，，， 故答案为：①③④． 【变式3】（24-25九年级上·浙江舟山·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则 ．（答案保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 题型四 由平行线截得的线段 解｜题｜技｜巧 识别模型： ◦A 型（平行线在三角形内）：DE∥BC→AD/AB = AE/AC = DE/BC； ◦X 型（平行线在三角形外）：DE∥BC→AD/AB = AE/AC = DE/BC； 解题：先标平行线，确定对应线段，列比例式求未知。 【典例1】如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，中，点D是上一点，交于E，，，则与的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（20-21九年级上·浙江温州·期中）如图，直线 ，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解答． 根据平行线分线段成比例定理得到，然后代入数据即可求出的值． 【详解】解：直线 ， ，即， ， 故答案为：． 【变式3】23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ，， ， 解得：． 故答案为：． 【变式4】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且． (1)如果，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，解一元一次方程，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即的长为5． 题型五 相似多边形 解｜题｜技｜巧 1.判断相似：先验对应角相等，再验对应边成比例； 2.求边长：设相似比 k，对应边 = 已知边 ×k（或已知边 ÷k）； 3.求周长 / 面积：周长比 = k，面积比 = k²，用比例求未知。 【典例1】下列命题中，是真命题的是（   ） A．平行四边形都相似 B．菱形都相似 C．正方形都相似 D．长方形都相似 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假，相似多边形的判定，根据对应边都成比例，对应角都相等的多边形是相似多边形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、平行四边形不一定相似，原命题不是真命题，故该选项不符合题意； B、菱形不一定相似，原命题不是真命题，故该选项不符合题意； C、正方形都相似，原命题是真命题，故该选项符合题意； D、长方形不一定相似，原命题不是真命题，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式1】下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．由此逐项判断即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形，对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； B．两个矩形，对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，不合题意； C．两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】下列两个图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形，如果两个多边形对应角相等，对应边成比例，这两个多边形是相似多边形，在判定两个多边形是否相似时，一定要对应角相等、对应边成比例同时成立，缺一不可． 【详解】解：A选项：两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例， 两个矩形不一定相似，故A选项不符合题意； B选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例， 两个等腰直角三角形一定相似，故B选项符合题意； C选项：两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等， 两个菱形不一定相似，故C选项不符合题意； D选项：有一条边长是6厘米的两个等腰三角形，这两个三角形的对应角不一定相等， 这两个三角形不一定相似，故D选项不符合题意． 故选：B． 题型六 相似多边形的性质 解｜题｜技｜巧 1.求对应角：直接找相等的对应角（如相似多边形对应角相等）； 2.求对应边：用相似比 k，对应边 = 已知边 ×k； 3.求面积：先求 k，再用面积比 = k² 计算。 【典例1】如图，四边形四边形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和定理，根据相似多边形对应角相等以及内角和为计算即可． 【详解】四边形四边形， ， 四边形内角和为， ， 故答案为：． 【变式1】如图，四边形四边形，若 ，则 度． 【答案】130 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，多边形的内角和定理，先根据四边形内角和定理求出，再根据相似图形的对应角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形四边形， ∴． 故答案为：130． 【变式2】如图，已知四边形与四边形相似，点A，B，C，D的对应点分别为，，，． (1)_______； (2)求边x，y的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和； （1）相似多边形的对应角相等，可得，再由四边形内角和为，可求得； （2）相似多边形的对应边成比例，可求得边x，y的长度. 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似 ∴ ∵四边形内角和为，，， ∴ 故答案为：. （2）解：∵四边形与四边形相似 ∴ ∵，，，，，， ∴，， 解得，. 故答案为：，. 【变式3】如图，四边形四边形，求的大小和的长度． 【答案】，， 【分析】本题考查相似多边形的性质，多边形内角和问题．观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出，，再根据四边形的内角和等于可计算求出的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出的长度x． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，∠A=∠E=118°， 在四边形中，， ∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得， ∴． 题型三 相似三角形的判定 解｜题｜技｜巧 1.两角对应相等（AA）：找两组相等角（如公共角 + 一组已知等角）； 2.两边成比例且夹角相等（SAS）：先算对应边比例，再验夹角相等； 3.三边成比例（SSS）：计算三组对应边比例，看是否相等； 4.直角三角形：斜边 + 直角边成比例（HL）。 【典例1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， 由，不能证明，符合题意； 故选：． 【变式1】已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式2】如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 【答案】(1)； (2)相似，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长度． （2）根据相似三角形的判定定理：对应边成比例，夹角相等，即可证明与相似． 【详解】（1）， ； 故答案为：；． （2）相似，理由如下: ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定，掌握相似三角形判定定理并根据图形得到两个三角形的边与边、角与角的关系是解题关键． 【变式3】如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长． 本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ． 题型八 利用相似三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 1.求边长：对应边成比例，列比例式解方程； 2.求高 / 中线 / 角平分线：对应线段比 = 相似比 k； 3.求面积：面积比 = k²，用已知面积和 k 求未知面积。 【典例1】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 【变式1】已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【答案】(1)，相似比为，理由见解析 (2)的面积是 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方． （1）由平行四边形的性质可得，从而有，则有即可求解； （2）利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：，相似比为，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ， ， ，即相似比为； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． 【变式2】如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式3】如图，在中，点分别是边上的两点，且．，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例可得出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 题型九 相似三角形的动点问题 解｜题｜技｜巧 1.定动点位置：设动点运动时间 t，用 t 表示线段长度； 2.找相似条件：根据 t 的范围，确定对应角 / 对应边（分情况讨论）； 3.列比例式：代入含 t 的线段，解方程求 t（注意 t 的取值范围）。 【典例1】如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为． (1)求出的长度； (2)用含有的式子表示和； (3)当为何值时，与相似？ 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）根据题意列出代数式即可； （）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴，， ∴； （2）解：由题意得，，； （3）解：∵，， ∴， ∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 【变式1】如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)作交于点R，连接，当t为何值时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质、等边三角形的判定及性质、三角形相似的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）当时，可分别计算出、的长，再对的形状进行判断即可； （2）先证为等边三角形，进而得出四边形是矩形，再分、、三种情况分别列比例式建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 是等边三角形，理由如下： 当时，，， ， ， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：如图：过Q作，垂足为E， ∵， ，， 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， ∴ ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ， ∵与以P、R、Q为顶点的三角形相似 ∴当时， ∴，即，解得：； ∴当时， ∴，即，解得：； 当时，不符合题意． 综上，当时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似． 【变式2】如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）． 若P、Q两点同时移动； (1)当运动几秒时，的面积为． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 【答案】(1)移动3秒时，的面积为 (2)移动秒或3秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的性质成为解题的关键． （1）设当移动t秒时，的面积为，则，，，再根据的面积为列二元一次方程求解即可； （2）设移动t秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似，然后根据相似三角形的判定定理列比例式求解即可． 【详解】（1）解：设当移动t秒时，的面积为，则，， ， 的面积为， ， ，解得：， ∴移动3秒时，的面积为． （2）解：设移动t秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似， ， 或， 或， 解得：或3， 所以移动秒或3秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似． 题型十 相似三角形的应用 解｜题｜技｜巧 1.测量高度（如测树高）：用 “同一时刻物高 / 影长 = 另一物高 / 另一影长” 列比例； 2.测量距离（如测河宽）：构造相似三角形，用对应边比例求距离； 3.光学 / 力学问题：根据题意找相似模型（如小孔成像→相似三角形）。 【典例1】如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)两路灯的距离为25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米； （2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米； （2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 【变式1】如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（）的高度：将一根3米高的标杆（）竖直放在某一位置，有一名同学站在处与标杆底端（）、旗杆底端（）成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学（）离标杆（）的距离为3米，离旗杆（）的距离为30米．如果站立的同学（）的眼睛距地面1.6米，，，，求旗杆的高度． 【答案】15.6米． 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，过点作于点，交于点，得出，进而求出的长，进而求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． 由题意可得，四边形、都是矩形，， ， 又， ， ， 由题意可得： 米，米，（米）． ， （米）， （米）． 答：旗杆的高度为15.6米． 【变式2】如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 【答案】路灯高米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解． 首先根据已知条件求证出∽，∽，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度． 【详解】解：设，则，再设路灯的高为， ，，， ∽，∽， ，， 即，， 则， 解得：， 故， 解得： 答：路灯高米． 【变式3】（2024·陕西·中考真题）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 题型十一 位似图形的作图 解｜题｜技｜巧 1.定位似中心：选已知点（或题目指定点）； 2.连线段：在位似中心与图形各顶点间连线； 3.定比例：按位似比 k，延长 / 缩短线段至对应点； 4.连新点：顺次连接新顶点，得到位似图形。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，是以原点为位似中心在第三象限内与位似的三角形，且相似比为． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)把绕点逆时针旋转，得到．各顶点坐标分别为，，，则点的坐标为_____． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据位似的性质，以原点为位似中心，相似比为，在第三象限确定、、对应点、、的坐标，进而画出图形． （2）利用两点间距离公式求出对应点到旋转中心的距离，再根据线段垂直平分线的性质确定旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：∵，以原点为位似中心，相似比为，且在第三象限， ∴的坐标为． 同理，对应，对应． 然后连接、、，得到． 如图，为所求； （2）解：设点的坐标为． ∵ 点在的垂直平分线上，，， ∴， ∴， 整理得 ①． ∵ 点在的垂直平分线上，，， ∴， ∴， ②． 由②得，把代入①得， 解得． 把代入，得． ∴ 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质、旋转的性质、两点间距离公式及线段垂直平分线的性质，熟练掌握位似图形的坐标变化规律以及利用线段垂直平分线的性质确定旋转中心是解题的关键． 【变式1】如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； (2)在图②中的边上画一个点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，连接，使，由相似三角形的判定可知； （2）取格点，，连接，交于点，连接，，此时，由，可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，点即为所求． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积是； （3）解：∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴． 【变式3】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点都在格点上，以A为位似中心，按把放大后得到． (1)画出的位似图形． (2)直接写出与四边形面积的比_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了位似，相似三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）延长到使，延长到使，连接即可； （2）根据相似三角形的性质求出，则求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：根据题意，得，相似比为， ∴， ∴， 又， ∴， ∴与四边形面积的比， 故答案为：． 题型十二 位似图形的识别 【典例1】下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1】皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（    ） A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，解题的关键是理解位似变换的定义和特征．结合平移、轴对称、位似、旋转变换的定义，根据皮影戏中实物与影子的形成原理，判断变换类型． 【详解】解：平移变换：图形沿某一方向移动，对应点连线平行，不改变形状、大小，不符合皮影中实物与影子的关系； 轴对称变换：图形关于某直线对称，对应点到对称轴距离相等，皮影中无“对称轴”类关系，不符合； 旋转变换：图形绕某点旋转，对应点到旋转中心距离相等，皮影中并非绕点旋转的关系，不符合； 位似变换：是相似变换且对应点连线都经过同一位似中心．皮影戏中，灯光为位似中心，实物与影子相似，且实物各点与影子对应点的连线都经过灯光，符合位似变换的定义． 综上，实物与其影子之间的变换是位似变换， 故选C． 【变式3】下列图形中，不含有位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，、、三个图形中的两个图形都是位似图形；中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形． 故选：． 【点睛】此题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 题型十三 位似图形的对应坐标 解｜题｜技｜巧 1.若位似中心在原点：对应点坐标 =(原坐标 ×k)（k 正同向，k 负反向）； 2.若位似中心在点 (a,b)：先平移图形使位似中心为原点，坐标变换后再平移回去。 【典例1】如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、点坐标与图形、熟练掌握位似图形的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，，再根据位似图形的性质可得点在同一条直线上，且，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵点的坐标是，点的对应点的横坐标为2， ∴，， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍， ∴点在同一条直线上，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为， 故选：D． 【变式1】某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换，根据已知图形得出位似比，进而得出对应点坐标． 【详解】解：如图所示：可得两图形的位似比为2， ∵小鱼上的点， ∴对应大鱼上的点为：． 故选：D． 【变式2】如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为是关于点A的位似图形，且的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，理解位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键． 过点B作轴于点E，过点作轴于点F，根据位似变换的性质得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可. 【详解】过点B作轴于点E，作轴于点F， 则， 由题意得，， ∵点A、B的坐标分别为是关于点A的位似图形， 且的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 则点的坐标为． 故选：C． 题型十四 位似中心的判断 解｜题｜技｜巧 1.连对应顶点：作两组对应顶点的连线，交点即为位似中心； 2.验证：检查第三组对应顶点连线是否过该交点，且对应边比例相等。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，是由经过位似变换得到的，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知坐标得出位似比，进而求出位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接并延长，交轴于点， ， 是由经过位似变换得到的， 相似比为， 则，即， 解得． 故位似中心P的坐标为． 故选：A. 【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键． 【变式1】如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是， 故选：． 【变式2】如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为， 故选：B． 【变式3】已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查位似图形的计算，掌握位似图形的计算，一次函数解析式的计算是关键． 由对应点及位似中心三点共线，可选择两组对应点，求对应点连线解析式，联立两直线解析式求得的公共点即位似中心． 【详解】解：∵对应顶点的坐标分别为，，和，，， ∴设直线，的解析式为：， ∴，， 解得，， ∴直线，的解析式为：， 联立解析式，得到公共点， ∴位似中心是， 故选：C． 题型十五 相似三角形与四边形综合 解｜题｜技｜巧 1.拆分图形：将四边形拆为两个三角形（如连对角线）； 2.找相似三角形：在拆分的三角形中，用 AA/SAS/SSS 证相似； 3.用相似性质：求线段长度或角度，再计算四边形边长 / 面积。 【典例1】如图，平行四边形中，．    (1)如图1，将平行四边形沿对角线折叠，点A的对应点落在点E处，与交于点F． ①求证：； ②连接与交于点G，求的长； (2)如图2，点M，N分别在平行四边形的边上，连接，且，将平行四边形沿折叠，使点B的对应点Q落在边上，求的面积． 【答案】(1)①证明见解析；②的长为 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、折叠的性质，掌握折叠后图形是轴对称图形，对应点连线垂直于对称轴是解题关键． （1）①根据平行四边形的性质得出，由折叠得到，则，得到，则可证明； ②过点A作于点H，根据特殊的直角三角形的性质可得，，再根据勾股定理可求出的值，最后根据同一三角形面积的两种表示，结合折叠的对称性即可求解． （2）连接交于点，交于点，过点A作于点H．由折叠可知：，进而证明，由此可得，再利用证明，可得，由此求出，，进而求出，继续利用三角形相似可得，求出，，由即可求出． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，且， ∴， 由折叠可知， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ②过点A作于点H．    在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中， 由折叠可知垂直平分， ∴，且， ∵， ∴ 解得， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点，交于点，过点A作于点H．    由折叠可知：，，， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴． 【变式1】如图1，的对角线与交于点，为上一点，，点在上． (1)若，为中点，连接，，求证：； (2)连接，． ①如图2，若为矩形，且，，求的值； ②如图3，若为菱形，为中点，连接，，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）延长，交于点H，由平行四边形的性质证明得，结合已知得，设，则，，推理得出，F为中点，再利用中位线的性质可得结论； （2）①连接交于点G，证明，由已知得出，，进而得，即可得出答案； ②延长，交于点G，证明，得，再证明，，设，则，，，，进而求得，再由得关于t的方程，解方程进一步求解即可 【详解】（1）证明：延长，交于点H， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴F为中点， 又∵G为中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：①连接交于点G， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴； ②延长，交于点G， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，中位线的判定及性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形、矩形以及菱形的性质等内容，熟练运用特殊四边形性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【变式2】如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质对应边成比例求出的长，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由四边形为平行四边形可知， ， ， ， 又， ． （2）解：由（1）得 ， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】矩形中，，M为边的中点，点P为对角线的中点，以点P为顶点作，交边于点E，交边于点F． (1)如图，则=___________． (2)求证：． (3)作射线与射线交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点N，连接，，易证得四边形是矩形，进而证得，于是可得，据此即可得出答案； （2）利用相似三角形的性质及线段的和差关系即可得出结论； （3）延长交于，由，，设，，，，由可得，于是可得，进而可得，，，，在中，根据勾股定理可得，解得，于是可得，，，根据，可证得，于是可得，进而可得，设，根据，可证得，于是可得，由此构建方程，解方程即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，取的中点N，连接，， ∵，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 是的中点， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于， ∵，， 设，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：（负根舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 可得：， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程等知识点，添加适当辅助线构造相似三角形、利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 题型十六 相似三角形与二次函数综合 解｜题｜技｜巧 1.设动点坐标：用二次函数表达式表示动点纵坐标； 2.证相似：根据坐标计算线段长度，或找相等角证三角形相似； 3.列等式：用相似比列含动点横坐标的方程，解方程求坐标（注意自变量范围）。 【典例1】已知点坐标为，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，直线与抛物线的另一个交点为点，连结，．    (1)当点的纵坐标为时，求点的坐标； (2)判断以点为圆心，为半径的圆与轴的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)； (2)以点为圆心，为半径的圆与轴相切，见解析； (3)见解析． 【分析】将点的纵坐标代入抛物线，可得点的坐标，再根据待定系数法可得直线的解析式，联立抛物线和直线解析式即可得到点的坐标； 设点的坐标为，根据两点间的距离公式得到的长，依此即可求解； 分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，．可证，根据平行线的性质和等量代换可得，可得，再根据相似三角形的性质即可求证． 【详解】（1）解：当时， 可得：， 解得：，（负值舍去）， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立直线的解析式和抛物线的解析式， 可得：， 解得：，（不符合题意舍去）， 点的坐标是； （2）解：设点的坐标为， 则 ， 又点的坐标为， 点到轴的距离为， 以点为圆心，为半径的圆与轴相切； （3）证明：如下图所示，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，． 由可知，， 由可知，点的坐标是； 点到轴的距离为， ， ， ，，都垂直于轴， ， ， ， ， ， ．    【点睛】 本题主要考查了二次函数综合题、涉及直线解析式的确定、函数图象交点的求法、两点间的距离公式、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想的运用等知识点． 【变式1】如图，已知二次函数（为常数，且）的图象经过点，并与轴相交于、两点（点在点右侧），且． (1)求二次函数的解析式； (2)若是线段上一点，且以、O、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)设直线为直线l，将二次函数的图象在直线l下方的部分沿直线l翻折到直线l的上方，图象其余的部分不变，得到一个新图象，问是否存在与新图象恰有三个不同公共点且平行于的直线？若存在，请求出所有符合条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 坐标为或 (3)存在，或 【分析】（1）通过作垂直轴，利用三角形面积公式求出长度，结合得到等腰直角三角形的边长，进而确定、坐标，再代入三点坐标用待定系数法求出二次函数解析式； （2）分和两种相似情况，根据相似比求出长度，结合等腰直角三角形性质求出点坐标； （3）先求出直线解析式，再分过抛物线左边与交点且平行的直线、与翻折后抛物线相切且平行的直线两种情况，分别计算出直线解析式． 【详解】（1）解：如图1中，作轴于E， ， ， ， ， ， ， ，， 二次函数经过、、三点， 解得 抛物线的解析式． （2）解：如图2中， 由（1）可知，，， ，， ①当时，有，即， ，过D作轴于M，则是等腰直角三角形， ，， ， ②当时，有， 即， ，同理可得， 综上所述点坐标为或． （3）解：如图3中， 直线的解析式为，设所求直线的解析式为， ①设直线与抛物线的左边的交点为，则过平行的直线与新图象有3个不同公共点， 令，则，交点， ，代入得， ． ②设l下方部分翻折后的抛物线为L，则与平行且和L相切的直线也符合条件， 的解析式为， 由 消去得， 由题意， ， ，直线为， 综上所述：存在两条符合条件的直线的解析式为或． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式的求解（待定系数法）、三角形面积公式的应用、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、一次函数与二次函数的交点问题（含相切时判别式的应用）及抛物线的翻折变换．掌握相似三角形的分类讨论、抛物线翻折后解析式的推导以及利用判别式判断直线与抛物线相切的方法是解题的关键． 【变式2】如图所示，抛物线坐标轴交于、、，其顶点是． (1)求该抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）过点D作轴于点F，和都是等腰直角三角形，可得，即可证得结论； （3）利用勾股定理求得的三边的长，然后分点P在x轴和y轴两种情况讨论，设出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：是直角三角形，理由如下： 过点D作轴于点F， 在中， ∵， ∴， ∴ ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）解：坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，理由： 由（2）知，，， ∵，，故当P是原点O时，； 当是直角边时，若与是对应边， 设P的坐标是，则， ∴，即， 解得， 则P的坐标是，不是直角三角形，则不成立； 当是直角边，若与是对应边时， 设P的坐标是，则， 则，即， 解得，故P是时，一定成立； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，此时，两个三角形不相似； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，符合条件． 总之，符合条件的点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24九年级上·浙江·期中）已知，且，，则∠C的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应角度数是解题关键． 利用相似三角形的对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解： ， 对应角相等，即，，． 在中，根据三角形内角和定理： ． 故选：C． 2．（24-25九年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点G．若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，则可证明，利用相似三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若，则下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答． 【详解】解：A．因为，所以，故A符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C不符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：A． 4．（10-11九年级·浙江·期中）如图，在锐角三角形中， ， ，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为 【答案】4.8s或3s 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质．根据对应角不同进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解． 【详解】解：设经过 后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似， ，， 由图得：， ①当时， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， 解得：； 经过 或 后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似． 故答案为： 或 ． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的两条中线、交于点，若，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形重心的定义和性质，掌握三角形三边中线的交点为三角形的重心和重心的性质是解题关键．根据题意得出点F为的重心，即得出． 【详解】解：∵的两条中线、交于点， ∴点F即为的重心， ∴． 故答案为：2． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）两个相似多边形面积之比为，其周长之差为6，则较小的多边形的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比是解题关键．根据这两个相似多边形面积比，即得出其周长比为，结合其周长之差为6，即可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形面积之比为， ∴其周长比为． 设较小的多边形的周长是，则较大的多边形的周长是， ∴， 解得：， ∴较小的多边形的周长是． 故答案为：12． 7．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理得出比例式是解答此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______； (2)请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 【答案】(1)点 ；． (2)答案见解析． 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． （1）由位似变换定义∶位似中心为对应顶点连线所在直线的交点，可确定位似中心．有对应边长比可求出和位似比； （2）位似变换有两种∶正向位似，反向位似．题给为反向位似，还存在满足（1）中条件的正向位似，即位似中心，画出另一个位似变换得到的． 【详解】（1）解：作图连接，，交与点， 故位似中心为点 ． 和位似 位似比为对应边长之比，即和位似比． 由勾股定理得∶，． 故位似比． 故答案为：点 ，． （2）解：画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 位似中心点 ，与位似比为，绘图如图（连接，，．取其中点为，，，连接得到） 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理，相似三角形判定与性质等知识．添加合适辅助线，构造平行线是解题的关键． 如图：作，交于N，交于M.设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图：作，交于N，交于M． 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 设，则， ， ， 又 是的中位线， ， ． 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，在中，直径与弦相交于点，连结弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是     A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据已知条件设，则，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据三角形内角和定理以及对顶角相等得出，根据等角对等边即可判断①，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可得出②，从而求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，设，则， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴，故②正确， 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，中，，于，则以下结论中；①；②；③；④若，点是的黄金分割点；其中正确的结论个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据垂直定义可得：，从而可得，再根据已知易得：，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，即可判断①；根据面积法可得：的面积，即可判断②；再证明，从而利用相似三角形的性质可得，，最后进行计算即可判断③，再根据黄金分割的定义即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 的面积 ， 故②正确； ，， ， ， ，， ， ， 故③正确； ，， ， 点是的黄金分割点， 故④正确； 综上所述：上列结论中，其中正确的结论个数为个， 故选：D． 4．（22-23九年级上·浙江金华·期中）在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 【答案】或6 【分析】此题考查相似三角形的性质，题目只说两个三角形相似并没有说明对应角，应该分两种情况讨论．根据题意可得或，或，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：∵与相似， 而， 若， 则，即， 解得； 若， 则，即， 解得； 综上所述，的长为或6． 故答案为或6． 5．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的判定方法证明三角形相似． （1）证明，根据相似三角形的性质得到，根据垂直的定义证明结论； （2）证明，根据相似三角形的性质得到，根据为线段中点，得出，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ，又， ， ， 即； （2）解：为线段中点， ，， ，， ， 6．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，是上一点，已知． (1)求证：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似，进而求解即可； （2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：，， ， ， ． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，对角线交于点，，点在线段上，且． (1)若，请用的代数式表示； (2)求证：； (3)延长交于点，若为的中点，，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等弧所对圆周角相等得，再由圆内接四边形的性质可得结论； （2）分别证明，，再根据证明即可得到结论； （3）连接，，设交于点，根据题意得出是的直径，，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，得出，，进而证明，勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵四边形内接于， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是所对圆周角， ∴． 在与中， ， ∴ ∴． （3）解：如图，连接，，设交于点， ，为的中点， ，，， 是的直径，， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线是解答本题的关键 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，，，． (1)问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ． (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由； (3)迁移应用：如图3是将绕点按顺时针方向旋转到一定角度得到，当点在直线上方，且时，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)成立，见详解 (3) 【分析】此题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）①根据旋转的性质和勾股定理即可解答； ②证明，并根据8字形即可解答； （2）同理可知：当锐角存在时，（1）中的两个结论还成立； （3）过点作于，过点作，交的延长线于，证明，则，设，，则，由勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①由旋转得：，，， ，， ； 故答案为：； ②如图 1，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：当锐角存在时，（1）中的两个结论仍成立，理由如下： 如图 2，由旋转得：， 由（1）同理得：， ，， ， ； （3）解： 如图 3，过点作于，过点作，交的延长线于 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， ， ，， ， ， ， ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，， ∴，，，． ∴，． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，等面积转换． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】C 【分析】连接，由点是的重心，点是边的中点，可得点在一条直线上，且，，通过可得，从而得到，通过，可得，再根据四边形的面积为6，可得出，进而可得出的面积． 【详解】解：如图所示，连接，   ，点是的重心，点是边的中点， 点在一条直线上，且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值． 【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点、、三点共线时有最大值，． 故答案为： ． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例求解； （2）证明，利用相似三角形的对应边成比例证明； （3）设，则，，在中，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：由题知，， 若，则． 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， 即， ． （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． （3）解：设， 则，． 在中，， 即， 解得． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 7．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，最小值，最大值 【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点 ∴， ∴，， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）解：存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则 设． ∵四边形和四边形都是矩形， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ， ∴在中，， 即，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 8．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，∵， ∴，， ∴， 解得， ∴．    【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $