第17章　二次函数与几何综合 课件 2026年中考数学一轮复习（云南）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数与几何综合核心考点，紧密对接中考说明，按“线段表示-最值求解-面积计算”分层梳理，重点覆盖竖直线段、斜线段长度表示及三角形、四边形面积计算等高频题型，归纳动点存在性、线段比值最值等常考问题，体现备考针对性。 课件亮点在于“一题多角度+分层突破”实战设计，如通过构造直角三角形用三角函数化斜为直求PR长最大值，培养学生推理意识与模型观念。提分关键总结设动点坐标、面积转化等技巧，助力学生掌握解题方法，教师可依此高效指导中考冲刺，提升复习实效。

第17章　二次函数与几何综合 类型一　二次函数与线段问题 三 (一题多角度)如图①，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P为直线BC下方抛物线上一点，设点P的横坐标为m. 能力点一　设函数解析式上动点坐标 (1)点P的坐标为 (用含m的代数式表示)，m的取值范围为 ； 能力点二　表示竖直方向的线段长 (2)如图②，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，则点D的坐标为 ，点E的坐标为 ，DP的长为 ，EP的长为 ；(均用含m的代数式表示) (m，m2－2m－3) 0<m<3 (m，0) (m，m－3) －m2＋2m＋3 3m－m2 能力点三　表示水平方向的线段长 (3)如图③，过点P作PF∥x轴，分别交直线BC于点F，交y轴于点G，则点F的坐标为 ，点G的坐标为 ，PF的长为 ，PG的长为 ；(均用含m的代数式表示) 能力点四　表示不与坐标轴平行的线段长 (4)如图④，过点P作PH⊥BC于点H，PH的长为 (用含m的代数式表示)． (m2－2m，m2－2m－3) (0，m2－2m－3) －m2＋3m m －(m2－3m) 【提分关键】 (1)设动点坐标的方法：设动点的横坐标，代入对应的函数解析式，得到动点的纵坐标； (2)特点：竖直方向直线上点的横坐标相等． 计算方法：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得线段长． (3)特点：水平方向直线上点的纵坐标相等． 计算方法：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得线段长． (4)遇到斜直线的解题步骤 第一步：以所求解线段长为一边构造直角三角形； 第二步：找与其相似的直角三角形(一般情况下，二次函数图象与坐标轴交点构成的直角三角形与其相似)； 第三步：利用三角函数或相似列等量关系式求解． (一题多角度)已知抛物线y＝x2＋bx－8经过点A(－2，0)，它与x轴的另一交点为B，与y轴的交点为C，P是第四象限内抛物线上一点． (1)求b的值； 解：把A(－2，0)代入抛物线y＝x2＋bx－8中，得 4－2b－8＝0，解得b＝－2. (2)如图①，连接OP，PC，若OP＝PC，求点P的坐标； 解：过点P作y轴的垂线，交y轴于点Q， 由(1)得抛物线的解析式为y＝x2－2x－8， ∵OP＝PC，∴△OPC为等腰三角形， ∴点P在OC的垂直平分线上，∴OQ＝CQ， ∵点C的坐标为(0，－8)， ∴点Q的坐标为(0，－4)，∴点P的纵坐标为－4， 将y＝－4代入y＝x2－2x－8中， 解得x＝＋1或x＝－＋1(舍去)， ∴点P的坐标为(＋1，－4)． (3)如图②，连接BC，过点P作x轴的垂线，与BC交于点D，过点P作PQ∥x轴交抛物线于点Q，设w＝PQ＋DP，求w的最大值； 解：设点P的横坐标为p，∴P(p，p2－2p－8)， ∵PQ∥x轴，∴点P和点Q关于抛物线的对称 轴直线x＝1对称， ∴Q(2－p，p2－2p－8)， ∵B(4，0)，C(0，－8)， 易得直线BC的解析式为y＝2x－8， ∵PD⊥x轴，∴D(p，2p－8)， ∴PD＝2p－8－(p2－2p－8)＝－p2＋4p， ∴w＝PQ＋DP＝p－(2－p)－p2＋4p＝－p2＋6p－2 ＝－(p－3)2＋7， ∵－1<0，点P在第四象限内， ∴当p＝3时，w取得最大值，最大值为7. (4)如图③，连接BC，过点P作PR⊥BC于点R，求线段PR长的最大值； 解：过点P作x轴的垂线，交BC于点D. ∵PD⊥x轴，CO⊥x轴，∴PD∥OC， ∴∠OCB＝∠RDP， ∵B(4，0)，∴OB＝4，∵C(0，－8)， ∴OC＝8，在Rt△OBC中，BC＝＝4， ∴sin∠OCB＝＝＝，∴sin∠RDP＝＝， 由(3)得PD＝－p2＋4p＝－(p－2)2＋4， ∵－1<0，∴当p＝2时，PD取得最大值，最大值为4， ∴PR的最大值为PD·sin∠RDP＝. 【提分关键】 1．利用二次函数性质求线段最值 (1)求竖直线段MN的长的最大值(如图) 第一步：设点M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)； 第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n； 第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质求最值． (2)求斜线段MP的长的最大值(如图) 利用锐角三角函数化斜为直，得MP＝MN·sin∠MNP，再根据(1)的步骤解题即可． 2．线段数量关系问题 根据所给线段数量关系列方程求解． 3．利用对称性质求线段和最值时的点坐标，即将军饮马问题(如图，求PA＋PB值最小时点P的坐标) (1)求点B关于对称轴l对称的点C的坐标； (2)连接AC交直线l于点P，此时点P满足要求； (3)用待定系数法求AC的函数解析式； (4)将l对应的x的值代入AC的函数解析式可得点P的坐标． (5)如图④，连接BC，过点P作y轴的平行线，与BC交于点D，连接OP交BC于点E，求的最大值； 【分层分析】 要求的值，考虑利用平行线分线段成比例进行转化，将 转化为，利用二次函数的性质求解即可． 解：∵PD∥y轴，∴PD∥OC，∴△DEP∽△CEO， ∴＝＝＝－(p－2)2＋， ∵－<0，点P在第四象限内， ∴当p＝2时，有最大值，最大值为. (6)如图⑤，连接AC，在抛物线的对称轴上找一点M，使△AMC的周长最小，求出此时点M的坐标及△AMC的周长． 【分层分析】 因为AC长为定值，要求△AMC的最小值，只需求AM＋MC的最 小值即可，根据两点之间，线段最短，将点A转化为点B，当 B，M，C三点共线时，即为△AMC周长的最小值． 解：由(1)知，该抛物线的解析式为y＝x2－2x－8，∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，点M在对称轴上，设点M的坐标为(1，m)， ∵点A(－2，0)，C(0，－8)，∴AC＝＝2， ∵点A关于对称轴直线x＝1的对称点为点B(4，0)，如答图，连 接BC，与对称轴的交点即为点M，此时△AMC的周长取得最小值 ，由(3)得直线BC的解析式为y＝2x－8， ∴把M(1，m)代入直线BC的解析式y＝2x－8中，解得m＝－6，即点M的坐标为(1，－6)， ∵AM＝BM，∴AM＋CM＝BM＋CM＝BC， ∵BC＝4，∴△AMC的周长＝BC＋AC＝4＋2. 类型二　二次函数与面积问题 (一题多角度)如图①，在平面直角坐标系中，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，连接AC，BC. 能力点一　表示三角形面积 (1)△ABC的面积为 ； (2)若D是第一象限内直线AC上一动点，其横坐标为m，请用含m的式子表示出△BCD的面积； 9 解：∵A(－2，0)，C(0，3)，易得直线AC的解析式为y＝x＋3， ∴D，AB＝6， ∴S△BCD＝S△ABD－S△ABC＝AB·|yD－yC|＝m(m>0)． (3)若D是第四象限内直线y＝－2上一点，是否存在点D，使得S△ACD＝S△ABC？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在，过点B作AC的平行线交直线y＝－2 于点D，连接AD，CD，如答图， 则根据同底等高得S△ABC＝S△ACD， 设直线BD的解析式为y＝x＋b， 把B(4，0)代入得b＝－6，∴y＝x－6， 令y＝x－6＝－2，得x＝，∴D. 能力点二　表示四边形面积 (4)如图②，抛物线y＝－x2＋x＋3分别过A，B，C三点，若D为第一象限内抛物线上一点，设点D的横坐标为m，请用含m的代数式表示四边形COBD的面积． 解：由题意得D， 0<m<4，连接OD，则 S四边形COBD＝S△COD＋S△BOD＝OC·xD＋OB·yD ＝×3m＋×4× ＝－m2＋3m＋6(0<m<4)． 【提分关键】 方法一　直接公式法 当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式S＝AB·h，其中AB是△ABC在坐标轴上或平行于坐标轴的边，h为AB边上的高．   ①S△ABC＝|xB－xA|·|yC| ②S△ABC＝|xB－xA|·|yC－yA| 方法二　转化法 对于三边都不与坐标轴平行(或都不在坐标轴上)的三角形面积的计算： 1．分割法   S△ABC＝BD·(AF＋CE) 2．补形法   S△ABC＝S四边形AMNC－(S△ABM＋S△BCN) 3．和差法   S△ABC＝S△AOC＋S△BOC－S△AOB 【方法拓展】其他求面积方法 如图①，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等． 如图②，同底三角形的面积比等于高的比． 如图③，同高三角形的面积比等于底的比． (一题多角度)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，作直线AC，连接BC. (1)如图①，在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得四边形PABC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在，过点P作PN∥y轴，交AC于点N， 由题易知，点A，B，C的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，(0，3)， ∴AB＝4，OC＝3， 直线AC的解析式为y＝x＋3，∴S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6. ∵S四边形PABC＝S△PAC＋S△ABC，S△ABC为定值，∴要使四边形PABC的面积最大，即使△PAC的面积最大．设P(x，－x2－2x＋3)，则N(x，x＋3)， ∴PN＝－x2－3x. ∴S△PAC＝S△APN＋S△CPN＝PN·OA＝×(－x2－3x)×3＝－2＋. ∵－<0，－3<x<0，∴当x＝－时，S△PAC的值最大， 此时y＝－2－2×＋3＝. ∴存在点P，使得四边形PABC的面积最大，点P的坐标为. (2)如图②，在直线AC上方的抛物线上，是否存在点Q，使得S△QAO＝S△QOC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 【分层分析】设点Q坐标，用含未知数的式子表示，点到坐标轴的距离即两个三角形的高，两个三角形的面积相等，即可解出点Q的坐标． 解：存在，连接QO，设点Q的坐标为(q，－q2－2q＋3)， ∵点A，C的坐标分别为(－3，0)，(0，3)， ∴S△QAO＝AO·yQ＝－q2－3q＋，S△QOC＝CO·|xQ|＝－q， ∴当S△QAO＝S△QOC时，－q2－3q＋＝－q，解得q＝或 q＝(舍去)，∴点Q的坐标为. (3)如图③，若G是抛物线上的点，且位于对称轴的左侧，是否存在点G，使得S△GBC＝？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由； 【分层分析】假设点G存在，可考虑作GD∥y轴交BC的延长线于点D，利用补形法表示出S△GBC，列等量关系式求解． 解：存在，过点G作GD∥y轴，交BC的延长线于点D. 则S△GBC＝S△GBD－S△GCD＝GD·(xB－xG)－GD·(xC－xG)＝GD·(xB－xC)＝GD.∵S△GBC＝，∴GD＝9.易得直线BC的解析式为y＝－3x＋3， 设G(g，－g2－2g＋3)，则D(g，－3g＋3)， ∴GD＝－3g＋3－(－g2－2g＋3)＝g2－g＝9， 解得g1＝，g2＝(不合题意，舍去)， 在抛物线中，当g＝时，y＝，∴G. 故存在点G，使得S△GBC＝，此时点G的坐标为. (4)如图④，若H是第二象限内抛物线上的一个动点，过点H作HD⊥x轴于点D，交AC于点E.是否存在点H，使得AE将△HAD分为面积比为2∶3 的两部分？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【分层分析】利用面积公式将面积之比转化为线段比值，设点坐标，把线段用含未知数的式子表示出来，即可求得点H的坐标，注意未指明两个三角形面积比的顺序，需要分类讨论． 解：存在，设H(d，－d2－2d＋3)，则E(d，d＋3)，D(d，0)， ∴HE＝－d2－3d，DE＝d＋3， ∵S△AEH＝AD·HE，S△AED＝AD·DE，∴＝. ∵线段AE将△HAD分为面积比为2∶3的两部分，∴需要分两种情况： ①当＝时，即3HE＝2DE，∴3(－d2－3d)＝2(d＋3)，解得d1＝－，d2＝－3(不符合题意，舍去)，当d＝－时，－d2－2d＋3＝， ∴H； ②当＝时，即2HE＝3DE，∴2(－d2－3d)＝3(d＋3)，解得d3＝－，d4＝－3(不符合题意，舍去)，当d＝－时，－d2－2d＋3＝，∴H. 综上所述，点H的坐标为或. $