精品解析：四川省成都外国语学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

成都外国语学校2025-2026高二上学期10月检测 数学试题 考试时间：120分钟试卷 满分：150分 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､座位号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形OABC中，（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知向量与共线，则（ ）． A. B. C. D. 4. 已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知直线，若，则的值为（ ） A. 0或1 B. 0 C. 1 D. 不存在 6. 如图，由矩形与矩形构成的二面角为直二面角，为中点，若与所成角为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（   ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知，则（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 点在直线上 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 10. 如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OC，BC，AB上的点，且，，则（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. 当时， C. D. 当时， 11. 如图，正方体的棱长为2，分别为正方形的内切圆上的点，下列说法正确的是（ ） A. 若分别为的中点，则棱与平面所成角的余弦值为 B. 若平面与平面平行，则平面到平面的距离的最小值是 C. 直线与所成角的最大值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上. 12. 假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35 据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______． 13. 已知，直线过原点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________. 14. 已知三棱锥中，，，，二面角的余弦值是．则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，则： （1）恰有1罐中奖的概率为多少？ （2）能中奖的概率为多少？ 16. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求a的值； （2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； （3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 17. 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，棱AC，A1C1的中点分别为M，N． （1）求证：B1N⊥C1M； （2）求异面直线BN与C1M所成角的余弦值； （3）求平面A1BM与平面ABC1所成二面角的正弦值． 18. 设直线的方程为 （1）求证：直线经过定点，并求此定点坐标. （2）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为，求的最小值并求此时直线的方程. 19. 如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置. （1）如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面. （2）如图2，若二面角为直二面角，分别是的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围. （3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，分别在线段上（不包含端点），且为的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校2025-2026高二上学期10月检测 数学试题 考试时间：120分钟试卷 满分：150分 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､座位号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形OABC中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的加减运算计算即可. 【详解】. 故选：A 2. 如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案. 【详解】正方体中，点为上底面的中心， 所以， 故， 因为，所以，. 故选：B. 3. 已知向量与共线，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示和模的公式进行计算即可． 【详解】由题意知，， 又因为，所以， 解得，所以 ∴． 故选：D． 4. 已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】若，，，则或m，l异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误． 故选：C． 5. 已知直线，若，则的值为（ ） A. 0或1 B. 0 C. 1 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求出，再验证得解. 【详解】若，则，解得或， 当时，直线与直线重合，不合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：所以. 故选：C 6. 如图，由矩形与矩形构成的二面角为直二面角，为中点，若与所成角为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，作出直线与所成的角，结合已知利用余弦定理求解即得. 【详解】取的中点，连接，如图， 矩形中，为中点，则，即四边形是平行四边形， 有，因此是直线与所成的角或其补角， 显然，则是二面角的平面角，有， 即有，而平面，于是平面，平面， 则，由，得，令，则， 在中，由余弦定理得， 解得，所以. 故选：D 7. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在一轮活动中，两人全答对，在另一轮活动中，只有一个人答对的情况下利用独立事件的乘法公式可得. 【详解】由题意可得在一轮活动中，两人全答对，在另一轮活动中，只有一个人答对， 所以其概率为. 故选：A. 8. 如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点到平面的距离分别为，利用空间点到平面距离公式，求出平面的法向量，即可求出结论. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则点到平面距离为，① 点到平面距离为，② 由①②可得， 所以到平面的距离为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知，则（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 点在直线上 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据题意求斜率和倾斜角；对于B：代入点即可判断；对于C：先求向量，进而分析判断；对于D：根据斜率关系分析直线垂直. 【详解】因为， 对于选项A：直线的斜率，所以直线的倾斜角是，故A错误； 对于选项B：因为，所以点在直线上，故B正确； 对于选项C：因为，且， 所以向量为不为直线的一个方向向量，故C错误； 对于选项D：因为直线的斜率，且， 所以直线与直线垂直，故D正确； 故选：BD. 10. 如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OC，BC，AB上的点，且，，则（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. 当时， C. D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算、数量积的定义与运算律，结合选项依次计算即可求解. 【详解】A：由， 得， 所以， 得，所以四边形为平行四边形， 即四点共面，故A正确； B：当时， ，故B错误； C：由， 得，所以， ，所以， 所以，则， 即，故C正确； D：由，得， ， ， 得 ， 因为，的值无法判断， 所以不一定成立，故不成立，故D错误. 故选：AC 11. 如图，正方体的棱长为2，分别为正方形的内切圆上的点，下列说法正确的是（ ） A. 若分别为的中点，则棱与平面所成角的余弦值为 B. 若平面与平面平行，则平面到平面的距离的最小值是 C. 直线与所成角的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，运用线面角的向量法可求棱与平面所成角的余弦值；利用向量法求得平面到平面的距离的最小值判断B；利用直线与可以垂直判断C；利用两点间的距离公式求得的最小值判断D. 【详解】以正方体的中心为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 对于A，由题意可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设棱与平面所成的角为， 所以， 所以棱与平面所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，由题意易得与平面互相平行，从而可得平面的一个法向量为， 设，， 则到平面的距离， 当且仅当时，， 所以到平面的最小距离为，同理可得到平面的最小距离为，符合题意， 所以平面到平面的距离的最小值是，故B正确； 对于C，当是的中点，是的中点，是的中点时， 易证，所以直线与所成角的最大值为，故C正确； 对于D，由条件，设， ， 则，同理可得， ， 所以 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上. 12. 假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35 据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一. 它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个， 因此所求的概率为=0.5. 故答案为：. 13. 已知，直线过原点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，求出，，数形结合得到直线l的斜率的取值范围. 【详解】如图，当直线l分别经过A，B时为临界情况，又，， 当直线从OB位置逆时针转动到OA位置时，由倾斜角和斜率的关系可知． 故答案为：. 14. 已知三棱锥中，，，，二面角的余弦值是．则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据展开计算求出，再代入可得，进而分析出要要体积最大，则最大，利用基本不等式得到，过作面的垂线，则三棱锥的外接球球心必在该垂线上，根据列方程求出半径即可. 【详解】如图：平面即平面，平面即平面，即二面角的余弦值为， 过作，垂足为，过作，垂足为， 则， 又，，则， 设 则 ， 所以，即， 所以，则， 过作面的垂线，垂足为，连接， 则， 即三棱锥当以为顶点时高为，要体积最大，则最大， ,要最大，则需最大， 在中， 所以，当且仅当时等号成立， 此时为等边三角形，即，又，所以重合， 图形如下：设的中心为，连接 在中，，，， 所以， 过作面的垂线，则三棱锥的外接球球心必在该垂线上，设为点，设球的半径为， 则， 所以 即，解得， 所以外接球的表面积是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用求出的大小，然后设出球心，列方程求出半径. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，则： （1）恰有1罐中奖的概率为多少？ （2）能中奖的概率为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）“恰有1罐中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖；（2）“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况；如果设A=“中奖”，B=“恰有一罐中奖”，=“第一罐中奖”，=“第二罐中奖”，通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题. 【小问1详解】 设事件A=“中奖”，事件B=“恰有一罐中奖”， 事件=“第一罐中奖”，事件=“第二罐中奖”， 那么事件=“两罐都中奖”，=“第一罐中奖，第二罐不中奖”， =“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且， 因为互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 ， 我们借助树状图来求相应事件的样本点数， 可以得到，样本空间包含的样本点个数为， 且每个样本点都是等可能的，因为，所以 ， 故恰有1罐中奖的概率为 【小问2详解】 因为两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 ，由（1）可知样本空间包含的样本点个数为，, 所以, 故能中奖的概率为 16. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求a的值； （2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； （3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 【答案】（1） （2）众数为65分，平均数为71.8分 （3）68分 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1，可求出的值； （2）根据众数和平均数的定义求解即可； （3）根据频率分布直方图计算出第40百分位数，即可得出结果. 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1， 可得，解得， 【小问2详解】 估计本次竞赛成绩的众数为分， 估计本次竞赛成绩的平均数为 分. 【小问3详解】 由题意，成绩位于前百分之六十的考生为良好，则良好认定的分数线是第40百分位数， 前两个矩形面积之和为， 前三个矩形面积之和为， 设第40百分位数为，则， 则，解得， 因此，估计良好认定的分数线为68分. 17. 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，棱AC，A1C1的中点分别为M，N． （1）求证：B1N⊥C1M； （2）求异面直线BN与C1M所成角的余弦值； （3）求平面A1BM与平面ABC1所成二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为棱AC，A1C1的中点分别为M，N， 所以，因为正三棱柱侧棱与底面垂直，所以平面， 显然有 因为底面是正三角形，A1C1的中点为N， 所以，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设该正三棱柱的所有棱长为2， ， 因为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的性质进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 异面直线BN与C1M所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设平面A1BM的法向量为， ， 有， 设平面的法向量为， ， 则有， 所以平面A1BM与平面ABC1所成二面角的余弦值的平方为：， 因此平面A1BM与平面ABC1所成二面角的正弦值为：. 18. 设直线的方程为 （1）求证：直线经过定点，并求此定点坐标. （2）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为，求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】（1） 因为直线，即。 令，解得， 所以直线过定点. （2） 或 （3） 6， 【解析】 【分析】（1）整理可得，进而分析定点； （2）分类讨论直线是否过坐标原点，结合直线的斜率求参数的值，进而可得方程； （3）先求参数的取值范围和截距，进而求面积，结合基本不等式求最值和方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直线， 当直线过原点时满足条件，则，解得， 可得直线的方程为：； 当直线不过原点时，则直线斜率为， 则，解得， 可得直线的方程为：； 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 令，解得，解得； 令，解得，解得或； 综上所述：. 则 ， 当且仅当，即时取等号. 所以（为坐标原点）面积的最小值是6，此时直线方程为. 19. 如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置. （1）如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面. （2）如图2，若二面角为直二面角，分别是的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围. （3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，分别在线段上（不包含端点），且为的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：. 【答案】（1） 证明：由题意知， 而是的中点， 所以， 又平面平面， 平面平面平面， 所以平面， （2） （3） 证明：S是四面体的表面积，，令与面所成角为， ， ， 因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是， （取不到等号）， ， ， . 【解析】 【分析】（1）由题可得，结合平面平面，即可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设，根据求出的范围，将平面与平面所成锐二面角的余弦值表示为的函数，再求范围. （3）是四面体的表面积，可证， ，从而证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内作的垂线作为轴，所以轴， 如图以为坐标原点，分别以为轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为，设， 所以， 则， 所以， . 设平面的法向量， 得， 取， ， 解得. 设平面的法向量， 得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为，则 ， 由于在上单调递增，故， 故， 所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $