精品解析：重庆市第十八中学2025-2026学年高二上学期10月学习能力摸底数学试题

重庆市第十八中学2025-2026学年（上）10月学习能力摸底 高二数学试题 （命题人：卢友权 审题人：罗强） 考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】若则存在非零实数使成立，代入计算即可以求出. 【详解】存在非零实数使成立 ， 故选：C 2. 圆的周长等于( ) A. π B. 2π C. 4π D. 2π 【答案】D 【解析】 【详解】分析：将圆的一般式方程化成标准方程，得，由此可得圆的半径，再由圆的周长公式即可求出该圆的周长. 详解：圆的一般方程为， 将圆化成标准方程得. 由此可得圆的圆心为，半径， 因此该圆的周长为. 故选D. 点睛：本题考查将圆的一般方程转化成标准方程，从而得到圆心和半径，属于基础题. 3. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线斜率的取值范围，进而求得的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率为，即， 所以直线倾斜角的取值范围为：. 故选：D. 4. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理和和角公式得到，得到，由三角形面积公式得到，再利用余弦定理求出，得到答案. 【详解】，由正弦定理得，， 又， 所以， 因为，所以，故， 因为，所以， 由三角形面积公式可得，故， 由余弦定理得， 解得或（舍去）， 故三角形周长为. 故选：B 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出参数，再由平行线间的距离得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，经验证符合题意， 所以直线即与直线之间的距离． 故选：C． 6. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量从而求解. 【详解】如图，“鳖臑”是由正方体的四个顶点构成的， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为， 则，，，，， 则，， ， 则异面直线与夹角的余弦值为，故B正确. 故选：B． 7. 方程表示圆心在轴上的圆，当半径最小时，方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析得，再化为标准方程，利用二次函数的性质得到半径的最小值即可. 【详解】由题意得，则， ， 则，对称轴为，代入得最小值为， 此时圆的方程为. 故选：D. 8. 已知，是圆上两点，且. 若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆相交的弦长可得中点的轨迹为，又根据直线，的方程可知，交点的轨迹方程为，若恰为的中点，即圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得实数的取值范围. 【详解】圆，半径为， 设中点为，且直线与圆的相交弦长为， 即， 所以点的轨迹方程为， 又直线过定点， 直线过定点， 且， 则点是两垂线的交点，所以在以为直径的圆上， 则圆心，半径， 所以点的轨迹方程为， 由于直线的斜率存在，所以点的轨迹要除去点， 若点恰为中点可知圆与圆有公共点， 即，， 即， 解得， 即， 故选：A. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列四个命题中错误的有（ ） A. 直线的倾斜角越大，其斜率越大 B. 直线倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义逐一判断即可. 【详解】解：对于A，当倾斜角为锐角时，斜率大于0，当倾斜角为钝角时，斜率小于0，故A错误； 直线倾斜角的取值范围是，故B正确； 若一条直线的斜率为，此时可以为负角，而直线倾斜角的取值范围是，故C错误； 当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ACD. 10. 已知圆和圆，则（ ） A. 圆的半径为4 B. 轴为与的公切线 C. 圆与公共弦所在的直线方程为 D. 圆上到直线的距离为1的点有3个 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，将圆化为标准方程，得到半径；B选项，由圆和圆的圆心和半径得到轴为与的公切线；C选项，两圆相减得到公共弦所在直线方程；D选项，求出圆的圆心到直线的距离为半径的一半，得到D正确. 【详解】A选项，圆化为标准方程为，故半径为2，A错误； B选项，圆的圆心为，半径为1，轴为的切线， 又圆的圆心为，半径为2，轴为的切线， 轴为与的公切线，B正确； C选项，与相减得，， 故圆与公共弦所在的直线方程为，C正确； D选项，圆的圆心到直线的距离为， 由于圆的半径为，， 故圆上到直线的距离为1的点有3个，D正确. 故选：BCD 11. 有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 直线与直线所成的角为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正四面体的表面积即可判断A；利用割补法，结合体积公式即可判断B；根据异面直线所成角的定义平移直线到直线，求解即可判断C；根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合空间向量法即可求解D. 【详解】对于A，因为，所以． 蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成， 故该几何体的表面积为，故A正确； 对于B，该几何体的体积为，故B正确； 对于C，因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，又因为，所以，故C正确 对于D，设的中点为，连接、，则，， 则即二面角的平面角． 建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、， 则，， 则，故D错误.    故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是准确题解题意中“蒺藜形多面体”的定义，结合图1和图2直观想象“蒺藜形多面体”的几何特征，对多面体分割计算表面积和体积，再借助正方体求解异面直线所成的角与二面角. 三、填空题：（本小题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在题中的横线上．） 12. 点关于直线对称的点为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设所求对称点的坐标为，由对称性可得，解方程组可得． 【详解】设所求对称点的坐标为，由对称性可得，解得， 所以所求对称点的坐标为， 故答案为：． 13. 经过点的直线与圆相切于，两点，则四边形的面积为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据圆的性质和勾股定理求出切线长，再将四边形面积分割成两个三角形的面积求解即可. 【详解】由题可知圆的圆心，半径， 如图，连接，则， 因为，是圆的切线， 所以，， 所以， 所以四边形的面积， 故答案为：12. 14. 已知非零向量、，若，且，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件化简数量积，再设应用换元法列出一元二次不等式组计算求解. 【详解】因为，所以， 设，且，所以， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 在上取点，使得，连接， 在中，点、分别为、上的三等分点，则有 又面、面 由线面平行的判定定理：面 又且，∴四边形为平行四边形 则有，又面、面，∴面 由于面、面，，∴面面 又面，∴面 （2）存在，，理由如下： 假设在棱上存在点，使得面 连接，交于 ∵面，面，面面 由线面平行的性质定理： 则在中，，易知， ∴，∴点为棱的中点，即． 【解析】 【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明面面，即可证明平面； （2）假设在棱上存在点，使得面，由线面平行的性质定理即可得点为棱的中点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设直线方程为，代入所过点坐标求得参数值； （2）求出线段的垂直平分线方程，由此方程与直线方程联立方程组可求得圆心坐标，再计算出半径后可得标准方程． 【小问1详解】 设直线， 将点代入可得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设原点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为2， 线段的中点坐标为，线段的垂直平分线方程为，即. 联立，解得所以圆的圆心坐标为. 圆的半径. 故圆的标准方程为. 17. 在①向量与向量垂直，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目横线上，并完成解答. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_________. （1）求角A； （2）若，，求的周长. （注：若选多个条件作答，则按第一个计分） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①：根据向量垂直的坐标表示，结合正弦定理边化角化简可得；选②：由数量积定义和三角形面积公式化简可得；选③：利用正弦定理角化边，然后由余弦定理可得； （2）利用正弦定理角化边，再结合余弦定理联立求解可得. 【小问1详解】 选①：因为，所以 由正弦定理可得： 因为，所以，即 又，所以 选②：因为 所以，即 又，所以 选③：因为 所以由正弦定理可得： 整理得：，即 又，所以 【小问2详解】 因为，所以由余弦定理可得...① 又，所以由正弦定理可得...② 联立①②解方程组得： 所以的周长 18. 已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1）或 （2）①； ②证明：由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， AI 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①分析可知，即可得方程；②设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. 【小问2详解】 ①若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②略. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点，，且，点在直线上，为的中点，且直线平面. （1）设，，，试用基底表示向量； （2）证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上. 【答案】（1）； （2）证明：不妨设是四面体最长的棱，则在，中，，， ∴，即， 故，至少有一个大于，不妨设， ∴，，构成三角形. （3）证明：设，，，由（1）知. 又，有，，， ∴， ， ， 设，又 ∴ 因为平面，所以存在实数，使得：， ∴ ∴，消元：在有解. 当时，，即； 当时，，解得. 综上，有. 所以对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上. 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法的几何意义有，，即可求； （2）假设四面体的最长棱为，只需以为顶点的其它两组棱中或即得证至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）由平面，令结合向量共面定理有，即得一元二次方程在有解，求的范围且范围长度为即得证. 【小问1详解】 ∵，而， ∴， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛： 1、利用向量线性运算的几何意义，结合几何图形表示向量； 2、利用三角形的性质：两边之和大于第三边(其中假设第三边为最长边)，即可证是否可组成三角形； 3、令，根据线面平行，结合向量共面定理得到参数的方程，进而求范围并且范围长度为即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2025-2026学年（上）10月学习能力摸底 高二数学试题 （命题人：卢友权 审题人：罗强） 考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 圆的周长等于( ) A. π B. 2π C. 4π D. 2π 3. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 18 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 7. 方程表示圆心在轴上的圆，当半径最小时，方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是圆上两点，且. 若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列四个命题中错误的有（ ） A. 直线的倾斜角越大，其斜率越大 B. 直线倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 10. 已知圆和圆，则（ ） A. 圆的半径为4 B. 轴为与的公切线 C. 圆与公共弦所在的直线方程为 D. 圆上到直线的距离为1的点有3个 11. 有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 直线与直线所成的角为 D. 二面角的余弦值为 三、填空题：（本小题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在题中的横线上．） 12. 点关于直线对称的点为_____． 13. 经过点的直线与圆相切于，两点，则四边形的面积为_____． 14. 已知非零向量、，若，且，则的取值范围为_____． 四、解答题：（本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 16. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 17. 在①向量与向量垂直，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目横线上，并完成解答. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_________. （1）求角A； （2）若，，求的周长. （注：若选多个条件作答，则按第一个计分） 18. 已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 19. 已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点，，且，点在直线上，为的中点，且直线平面. （1）设，，，试用基底表示向量； （2）证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $