山东省淄博市淄博实验中学、淄博齐盛高级中学2025-2026学年高二上学期第一次限时训练数学试卷

命题人：王树颖、吴宝 使用时间：2025年10月 淄博实验中学、淄博齐盛高中2024级（高二）第一次限时训练 数 学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1.在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为() A.3件都是正品B.至少有1件次品C.3件都是次品D.至少有1件正品 2.若直线的倾斜角为45°，直线1经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线与12的位置关系是() A.垂直 B.平行 C.重合 D.平行或重合 3.已知事件A和事件B相互独立，B为事件B的对立事件.若P(A)=P(B)=0.4,则P(A+B)=() A.0.24 B.0.56 C.0.76 D.0.84 4.某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为100,100,50.按学生所在年级进行分层，用分层随机抽 样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心.从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有 一名来自高二年级的概率为() A号 B. c. 3 7 D:10 5.设向量e,e2,e不共面，己知AB=e+e2+e,BC=e,+e2+e,CD=4e,+8e2+4e,若A,C,D三点共线， 则1=() A.1 B.2 C.3 D.4 D C 6.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，已知AB=AD=AA1, A B ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，则直线AC,与BB,所成角的余弦值为() A.3 B.6 C.3 2 D.V6 3 2 7.已知A(-2,3)、B(2,1),若斜率存在的直线1经过点P(0,-1),且与线段AB有交点，则1的斜率的取值 范围为() A.[-2,] B.（-0,-2]U[1,+0)C.[-1,2] D.（-m,-1]U[2,+w) 8.在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的 长B4B,且它们所在平面形成的二面角C-AB-五的大小为号活动弹子M N分别在对角线AC和BP上移动，且始终保持AM-B趴 =a(0<a<1),则MN的长 AC BF 度最小时a的取值为() 试卷第1页，共4页 A. B. C.6 15 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),则下列结论正确的是（) A.向量a与向量6的夹角为 B.cL(a-b) C.向量：在向量8上的投影向量为2Q》 D.向量与向量a,五共面 10.从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1,2）和2个白球（编号为3,4）的口袋内任取2个 球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事 件“取到了编号为1的小球”，则（) A.甲和乙为互斥而不对立事件 B.丙和丁为互斥而不对立事件 cp甲)-号 D.甲和丁为独立事件 11.如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面垂直，BD=2,DE=1,点P在线段EF上（包含 端点)，下列说法正确的是() E A.存在点P,使得直线DP/I平面ACF B.存在点P,使得直线DP⊥平面ACF D出 C.直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是 9元 D.三棱锥A-CDB的外接球被平面ACF所截得的截面面积是 8 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.在空间直角坐标系中，点A(-1,1,1),B(-2,0,1),P(0,1,3),则P到直线AB的距离为 13.甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者等可能地将球传给另外两个 人中的任何一人，则4次传球后球在乙手中的概率是一 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB=2,E, F分别为PC,CD的中点，PA=m(m>O),且二面角E-BD-C的平面角大于60°，则m的取值范围 是 试卷第2页，共4页 命题人：王树颖、吴宝 使用时间：2025年10月 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球。 (1)若这5个球分别标有数字1,2,3,4,5，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两 次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率. 16.(15分)如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,AP=AB=2AD=2CD, E为棱PC上的动点. D A: (I)求证：BC⊥AB: (2)若PE=2EC,求直线DE与平面PBC所成角的正弦值. 17.(15分)每年的3月14日为国际数学日，也被称为“兀日”，某学校在国际数学日举办了“数学知识竞 赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，己知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率 分别为、？；在第二轮此赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为P、g假设甲、乙两人在每轮比赛中是 不影响，若甲、乙各有一轮胜出的概率为，甲、乙两轮都胜出的概 (1)求p和q的值： (2)求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率. 试卷第3页，共4页 18.(17分)如图，在四棱锥A-BCFG中，△ABC是边长为4的等边三角形，四边形BCFG为菱形， ∠CBG=60°，平面ABC⊥平面BCFG,D为棱AB的中点，记平面ABC和平面AFG的交线为l. D B (1)证明：11/BC; (2)求点D到平面ACF的距离： )在线段c0(不含端点)上是否存在一点B,使得直线DB与平面ACr所成角的正弦值为Y6?若存在， 10 求E的位置；若不存在，请说明理由、 19.(17分)如图，在平面四边形ABCD中，△ABC为等腰直角三角形，△ACD为正三角形，∠ABC=90°， AB=2,现将△DAC沿AC翻折至△SAC,形成三棱锥S-ABC,其中S为动点， (1)证明：AC⊥SB; (2)若SC⊥BC,求三棱锥S-ABC的体积 (3)求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值 试卷第4页，共4页 高二数学第一次限时训练答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A c D C B ⊙ A ABD AD 题号 11 答案 ACD 7.C【详解】由直线的斜率公式可得： 3-(-1) 1-(1=1 -2-0 -2:kg=2-0 结合图形，要使直线1经过点P(0,-1),且与线段AB有交点，1的斜率需满 足k≤-2或k≥1. 8.A由题意知，AB⊥BC,AB⊥BE, “∠CBE就是二面角C-AB-E的平面角，即∠CBE=元， 以B为原点，以BA,BE所在直线分别为x,y轴，过B点作z轴⊥平面ABEF, 建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(2,0,0), C(0,1V3),F(2,30),.AC=（2,15),BF=(23,0),设M(x,y,),N(m,n,0), 由4M-BN=a(0<a<1),可知A=a4C,丽=aBF, AC BF ∴(x-2,y,z)=a(2,15),(mn,0)=a(2,3,0), x-2=-2a n=3a,解得r=2-2a,M(2-2n,a5aw(a,3a,0). [m=2a ..y=a z=3a ÷wN=(2-2a-2a)}2+a-3a)+(Nka)°=23a2-16a+4=23a 82 8 23+ 23 当a= 时，af取到最小值，即2W取到最小值故选：A 10.AD 【详解】因在一次取球中，甲事件与乙事件不可能同时发生，除了这两个基本事件外，还有 事件恰有2个红球”，故甲和乙为互斥而不对立事件，即A正确： 而在一次取球中，丙事件与丁事件可以同时发生，如同时取到了编号为1和3的小球，则两 事件都发生了，即丙和丁不是互斥事件，即B错误； 因为从袋子中随机地取出2个球，共有12,13,14,23,24,34等6种情况， 且P用-言子)=名分P甲)2专P用P 所以甲和丁为独立事件，故C错误，D正确.故选：AD, 11.ACD 【详解】对于A,取EF的中点G,连接DG,令AC∩BD=O,连接FO,FD,如图， 在正方形ABCD中，O为BD的中点，BDEF是矩形，则DO/IGF且DO=GF, 故四边形DGFO是平行四边形，则DG/FO,又FOC平面ACF,DG丈平面ACF,故DG/ 平面ACF,则当点P与G重合时，直线DPI/平面ACF,故A正确. 对于B,假定存在点P,使得直线DP⊥平面ACF,而FOC平面ACF,则DP⊥FO, 又DG/FO,从而有DP⊥DG,因∠EDB=90°，点P在线段EF上（包含端点）， 则∠PDG<∠EDB=90°，产生矛盾，故假设不成立，故B错误. 对于C,平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEFO平面ABCD=BD, 则P在平面ABCD上的射影在直线BD上，故∠PDB是直线DP与平面ABCD所成角， 在矩形BDEF中，当P与E不重合时， ∠PDB=∠DPE,sim∠PDB=sin∠DPE=DE 1 1 DE2+Bp+Bp,而0<BP≤2， 则 5≤simn∠PDB<1:当P与B重合时，∠PDB=T,sim∠PDB=l, 2 ss血∠PD8≤1，故CE确. 因此，V5 对于D,因平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF平面ABCD=BD, 且DEC平面BDEF,DE L DB,故DE⊥平面ABCD, 如图，将三棱锥A-CDE放入长方体中，则三棱锥A-CDE的外接 球即长方体的外接球， 又四边形BDEF是矩形，则点F为长方体的一个顶点，此时三棱锥 A-CDE的外接球被平面ACF截得的截面即△ACF的外接圆 由BC=√2，在△ACF中，AF=CF=VBC2+BF2=V5,且FOLAC, 则si∠FAC-PO-VBO+BF-V2V6 AF AF √33 由正弦定理得△ACF的外接圆直径2R= 咖∠ACV2则R= CF 3 2√，其面积为πR:-9 故D正确.故选：ACD. 12.32 2 【详解】设直线AB的单位方向向量为， 点A(-1,1,1),B(-2,0,1),P(0,1,3),AP=(1,0,2),AB=(-1,-1,0), A⑧=V1'+←1+02=互，AP=+02+2=5, 2 :P到直线4B的距离为d=P-(AP.= √2 3√2 2 2 故答案为： 3V2 2 13. 16/0.3125 【详解】前4次传球接球的情况有：乙甲乙甲、乙甲乙丙、乙甲丙甲、乙甲丙乙、乙丙甲乙、 乙丙甲丙、乙丙乙甲、乙丙乙丙、丙甲乙甲、丙甲乙丙、丙甲丙甲、丙甲丙乙、丙乙甲乙、 丙乙甲丙、丙乙丙甲、丙乙丙乙，共16种， 第4次传球传给乙的情况有：乙甲丙乙、乙丙甲乙、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙丙乙，共5 希，设第4次传球传给乙的事件为A,则八利=居 14 【详解】因为PA⊥底面ABCD,AB,ADC底面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD,又∠DAB为直角，所以PA,AB,AD两两垂直， 以A为原点，AB,AD,AP分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则D0,2.0j,B0o).C(220).PQ0叫，因为g为PC的中点，所以L） 所以面=(12.0)，历=Q1号设i=(ky为Y面B08的法向量 BD.=x+2y=0 则 驱=+%=0’ 令y=1得i= 2 易知，平面BCD的一个法向量为=(0，O,1),由图可知，二面角E-BD-C的平面角为锐角， 而列 记为0，则cos6= 成园 2,解得> 215 所以m的取值范围是 21 5 1×4+1+ 215 5,+0 1su号 【详解】(1)不放回连续取两次的样本空间2，={1,2)，1,3)，1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),3,2),(4,2), (5,2),(4,3),(5,3),(5,4)} .n(2)=20 记两数之和为3的倍数为事件A,则事件A={1,2),1,5),(2,4),(4,5),(2,1), (5,1),(4,2),(5,4)}.n(①=8 ∴PA0=8-3 205 (2)设5个球记为a,4,b,b,b,则有放回地取出两个的样本空间 22={(a,a),(a,a2),(a,b),(4,b),(a,b),(a,a),(a,a2),(42,b) (a2,b2),(a2,b),(b,a),(b,a2）,(b,b),(b,b2),(b,b),(b,a), (b2,a2),(b2,b),(b2,b2),(b2,b),(b,4),(b,a2),(b,b),(b,b),(b,b)} n(22)=25记“两球颜色恰好不同的概率为事件B,则B={(a,b),(a,b2),(a,b), (a2,b),(a2,b2),(a2,b),(b,a),(b,a2),(b2,4),(b2,a2),(b,a),(b,a2)} m(8)=12,P®)=12 25 16.(a)证明见解析2)5 【详解】(1)连接AC,取AB的中点F,连接CF,则AF=二AB=CD 又：AB‖CD,AFCD,四边形ADCF为平行四边形，CF=AD=1AB, ∠ACB=90°，即AC⊥BC,又PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC, 又，AC∩PA=A,ACC平面PAC,PAc平面PAC,∴.BC⊥平面PAC, 又AEC平面PAC,.BCL AE (2)以A为坐标原点，AD,AB,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=a.则AP=AB=2AD=2a, 依题意得D(a,0,0),C(a,a,0),B(0,2a,0),P(0,0,2a）, 则BP=(0,-2a,2a),CP=(-a,-a,2a), 所=2c.丽-孤+p(9 3 设平面PBC的法向量为i=(,,二0)， 则 i.BP=-2%,+25,=0, 取y。=1,得2。=1，x。=1..=(1,1,1) i.CP=-a-%+2a匹=0， 设直线DE与平面PBC所成角为O,则有sinO= cos(DE,)- D驱列4-3 DE3 a 3 :直线DB与平面P8C所成角的正弦值为5 34 223 17.(0p=59=5 300 【详解】(1)记事件A=“第一轮比赛中甲胜出”，事件A=“第二轮比赛中甲胜出”， 记事件B=“第一轮比赛中乙胜出”，事件B2=“第二轮比赛中乙胜出”， 由思意得44，BA相互独立.且P(4)广子P(4)nP(8)号P,)g 记事件D=“甲，乙各有一轮胜出”，事件E=“甲，乙两轮都胜出”， 则rm4+i42a瓦1=[a-m-后0-9+- r-4AAa)p号0-8 112 q+。卫= 4 35 5 3 从而有 12 ，解得p= 4 9 p4=25 5 （2)记事件G=“甲两轮都胜出”，事件H=“乙两轮都胜出”， 339 事件K=“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”，P(G)=一×。= 248 ,P(H)=三× 4520 3515 K0-Ao网-a+a-品品8品是2- 300 18.1)证明见解析(2)2下B)存在，CB=cG或CB=cG 5 9 【详解】(1)，四边形BCFG为菱形，.FGBC, ,FGc平面AFG,BC丈平面AFG,∴.BC∥平面AFG, ,BCC平面ABC,平面ABC和平面AFG的交线为I,∴.LlIBC. (2)取BC的中点O,连接OA,OG, ,△ABC是边长为4的等边三角形，.OA⊥BC, ,四边形BCFG为菱形，∠CBG=60°，∴，ACBG为等边三角形，OG⊥BC, ,平面ABC⊥平面BCFG,平面ABC∩平面BCFG=BC,OGC平面BCFG,OG⊥BC, ∴.OG⊥平面ABC,以O为坐标原点，以OA,OB,OG所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直 角坐标系，则O(0,0,0)A(2√3,0,0)，B(0,2,0),C(0,-2,0),D(√3,1,0)，F(0,-4,2√3)，G(0,0,2√3)， AC=(-2V5,-2,0),AF=(-2√5，-4,23)，AD=(←5,1,0)， 设平面ACF的法向量为=(x,y,z), m.AC=-2√3x-2y=0 m.AF=-2√3x-4y+23:=0 令x=1,则y=-√3，z=-1,m=0,-√3，-1)， ∴.点D到平面ACF的距离d= aD.m(5)x1+1x(同)+0x(-2ws 园 V+(+明 (3)假设在线段CG(不含端点)上存在一点E,使得直线DE与平面ACF所成角的正弦 值为6.设C=2CG.0<<1, 10 则Di=Dc+CE=DC+cG=（5,3,00,2,25（5,2n-3,267), :平面ACF的法向量为m=4√5。-，直线DB与平面4Cn所成角的正弦值为Y6 0 m.DE ·cos(m,DE〉 25-4W3 6 m DE V5×V3+(2-3)+12 10 整理得36-371+7=0，解得3-或月-了所以在线段©0（不含端点）上存在点B,当 4 c图-减B-写0G时，直线g与平面ACF所成角的正我