2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

该高中数学课件围绕直线与圆的位置关系展开，涵盖相交、相切、相离三种关系及代数法、几何法两种判断方法，包含求弦长、切线方程等应用。通过“海上生明月”情景导入，类比初中知识与两直线位置关系判断方法，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，如例1对比代数法与几何法判断位置关系，结合“牛刀小试”分层练习，培养学生数学思维与运算能力。融入数形结合思想，如用垂径定理求弦长，体现数学眼光与语言，助力学生理解知识本质，也为教师提供结构化教学资源。

第二章 直线与圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系 (第1课时) ·选择性必修第一册· 1 学习目标 理解直线和圆的三种位置关系． 会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．（重点） 会用代数法来判断直线与圆的位置关系．（重点） 能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题．（难点） 2 3 4 情景导入 01 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 创设背景，引入新知 创设背景，引入新知 把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线， 那么在日出的过程中，体现了直线和圆的哪些位置关系？ “海上生明月，天涯共此时。” 02 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 代数法判断位置关系 探究新知 回顾初中知识，我们知道，直线与圆有三种位置关系： (1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，没有公共点． 回顾 在本章2.3.1的学习中， 我们是如何用方程定量计算研究两条直线的位置关系的？ 联立两条直线方程，构成方程组， 方程组解的个数即可得到两直线交点的个数，从而得出两条直线位置关系. 探究新知 类比 类比以上方法， 得出如何用方程定量计算研究直线与圆的的位置关系的方法. 联立直线方程和圆的方程，构成方程组， 方程组解的个数即可得到直线与圆交点的个数， 从而可判断直线与圆的位置关系. 探究新知 例 1： 解析 代数法 探究新知 总结 第 1 步 联立：将直线方程和圆的方程联立 第 2 步 消元：消元得到一元二次方程 代数法判断直线与圆的位置关系的步骤： 第 3 步 算∆：计算一元二次方程的∆，得出∆的正负性 第 4 步 定论：根据∆的正负性，下结论 探究新知 追问 分析 已判断直线与圆有两个交点，若能求出两个交点坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长 解析 代数法计算弦长： 计算出直线与圆的两个交点坐标，直接用两点间的距离公式求弦长即可 总结 牛刀小试 练1： 解析 牛刀小试 练2： 解析 03 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 几何法判断位置关系 探究新知 思考： 观看以下动画， 思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 探究新知 思考：将以上动画的三个瞬间定格如下： 再次思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 提示 分析下面三个图中的两个量：d与r的大小关系,你会有怎样的结论？ d: 圆心到直线的距离；r：圆的半径 直线与圆 相交 直线与圆 相切 直线与圆 相离 d = r d > r d < r 几何法 应用新知 例 1： 解析 探究新知 追问 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 知识小贴士： 分析 根据垂径定理，可以构造一个直角三角形， 然后利用勾股定理即可求得弦长. 解析 探究新知 总结 第 1 步 算r：将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径r. 第 2 步 算d：计算圆心到直线的距离d， 1.几何法判断直线与圆的位置关系的步骤： 2.几何法计算弦长： 借助垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理求弦长即可 第 3 步 下结论：根据d与r的大小关系，下结论 牛刀小试 练3： 解析 牛刀小试 练4： 解析 思考 比较练3和练4中两种求弦长的方法，有何体会？ 探究新知 思考：与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么 优点？ 用方程判断是定量计算分析，若相交或相切可以直接求出交点（切点）坐标 思考：例1中两种解法（代数法和几何法）判断位置关系的差异是什么？ 解法1：即代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组，有无实数解的情况判断直线圆位置关系，完全代数的方法，比较容易想到，计算量比较大. 解法2：即几何法是利用图形中的相关几何量(圆心到直线的距离，圆的半径)的大小比较，判断直线与圆位置关系. 利用图形的几何性质，有助于简化计算. 04 求圆的切线方程 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 应用新知 例 2： 分析 解析 代数法 探究新知 总结 第 1 步 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； 第 2 步 写方程：用点斜式写出直线的方程:y−y0=k(x−x0)； 1.代数法求过圆外一点P(x0,y0)的切线方程： 2.注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② 若解方程∆=0只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 第 3 步 联立算∆：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程， 计算∆； 第 4 步 列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程 应用新知 例 2： 分析 解析 几何法 探究新知 总结 第 1 步 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； 第 2 步 写方程：用点斜式写出直线的方程:y−y0=k(x−x0)； 1.几何法求过圆外一点P(x0,y0)的切线方程： 2.注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② 若解方程d=r只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 第 3 步 算d和r：计算圆心到直线的距离d和圆的半径r； 第 4 步 列方程：利用d=r建立方程，求出k，即可求得切线方程 牛刀小试 解析 练5： 应用新知 解析 练6： 05 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 重要题型 重要题型专练 题型一 判断直线与圆的位置关系 例题 解析 重要题型专练 题型二 求弦长、根据弦长求参数值 例题 解析 重要题型专练 题型二 求弦长、根据弦长求参数值 例题 解析 重要题型专练 题型三 根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 例题1 法一 重要题型 题型三 根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 例题 法二 应用新知 方法总结 代数法 几何法 根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程， 利用建立不等式（方程），即可解出参数的范围（值） 求圆心到直线的距离d和圆心半径r， 利用 建立不等式（方程），即可解出参数的范围（值） 重要题型 题型四 求过圆上一点的圆的切线方程 例题 法一 重要题型 题型四 求过圆上一点的圆的切线方程 例题 法二 应用新知 方法总结 法一 法二 求过圆上一点P的圆C的切线方程 先判断点P在圆上，则点P为切点；然后用切点和圆心坐标，求直线PC的斜率；然后利用切线与直线PC垂直，求出切线斜率；最后用点斜式即可求切线方程. 设切线的斜率为k，点斜式写出切线方程， 利用建立方程，求出k的值，最后最后用点斜式即可求切线方程. 注意：若方程无解，则说明切线斜率不存在. 重要题型 题型五 求过圆外一点的圆的切线方程 例题 解析 应用新知 方法总结 求过圆外一点P的圆C的切线方程 第一步：设切线的斜率为k，点斜式写出切线方程 第二步：求圆心到切线的距离（含k的式子）； 第三步：利用（相切）建立方程，求出k的值 第四步：最后用点斜式即可求切线方程. 注意：若方程只有一个解，则说明有一条切线的斜率不存在. 真题感知 06 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 课堂笔记 07 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 课堂笔记 课堂笔记 08 小结及课后作业 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 课堂小结 作业布置 作业1：完成教材：第93页 练习1,2,3. 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系》.  09 课后练习答案 2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时) 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 直线 与圆 的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 圆 ，即 ， 其圆心坐标为 ，半径为 ， 圆心到直线 的距离 ， 直线与圆的位置关系为相切. 故选：C （1）直线 与圆 交于 两点，则弦 的长（    ） A． B． C． D． 设圆 的圆心为 ，半径 ， 因为 到直线 的距离 ， 所以 . （2）已知直线 与圆 交于 两点，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 圆 的圆心 ， 所以圆心 到直线 的距离为 ，则 ， 而 ，所以 ，解得： . 故选：A. 已知直线方程 ,圆的方程 .当m为何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 将直线 代入圆的方程,得 EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT , ∴当 ,即 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 已知直线方程 ,圆的方程 .当m为何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2. 圆心(2,1)到直线 的距离 . ∴当 ,即 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 已知过点P(2,2) 的直线l与圆 相切,求直线l的方程. 圆 的圆心坐标 ，半径 ， 又 ，所以 ， 易知 在圆 上，且直线l与圆相切 所以 ，所以 所以，所求切线方程为： ，即 已知过点P(2,2) 的直线l与圆 相切,求直线l的方程. 圆 的圆心坐标 ，半径 ， 设过点 的直线的斜率为 ， （1）当k不存在时，直线l为： ，易知与圆不相切，不符合题意； （2）当k存在时，则直线方程 ，即 ，由于直线和圆相切，故 ，得 ， 所以，所求切线方程为： ，即 过点M（2，4）向圆 引切线，求其切线的方程． 由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故点M在圆外． 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，故 ，解得 ． 所以切线方程为24x－7y－20＝0． 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切． 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2． 1．（高二上·浙江·期末） 直线与圆的位置关系是（     ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 圆化为标准方程为， 可得圆心为，半径为4， 则圆心到直线的距离，故直线与圆相交. 故选：A. 2．（24-25高二上·天津·期中） 直线与圆相交，所得的弦的长为 . 因为圆即：， 则圆心到直线的距离：， 由弦长公式可得弦长为：. 故答案为：. 3．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C．2 D． 因为圆，所以圆心为，半径为. 设圆心到直线距离为：. 因为直线与圆截得的弦长为.所以. 解得：. 故选：. 4．（24-25高二上·北京延庆·期末） 若直线与圆相切，则实数的值为（     ） A． B． C．或 D．或 圆的标准方程为，有，解得或3． 故选：C 5．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 依题意，由圆的圆心到直线的距离，解得，. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海闵行·期末） 已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 由于点在圆上，所以，所以圆， 所以圆心，，所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为，化简得. 故答案为： 7．（24-25高二上·陕西西安·期中） 过点作圆的切线，切线方程为 . 由，可得圆的圆心，半径为， 当过的直线斜率不存在时，直线方程为，易得直线与圆相切， 当过的切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，切线方程为， 所以切线方程为或． 故答案为：或． $