2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆位置关系的应用，通过台风危害等实际问题导入，回顾坐标法“四步曲”，衔接两点间距离公式，搭建从知识复习到实际应用的学习支架。 其亮点是以拱桥支柱计算、轮船触礁判断等实例驱动，用数学眼光观察现实世界，通过坐标法与综合法、向量法对比培养逻辑推理。题型分类系统，方法总结清晰，助力学生提升数学思维，教师可高效开展教学。

·选择性必修第一册· 第二章 直线与圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系 (第2课时) 1 2 3 学习目标 复习巩固直线与圆的位置关系判断方法； 能用直线和圆的位置关系解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.（重点、难点） 体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.（重点） 情景导入 01 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 创设背景，引入新知 这是生活中一个关于直线与圆位置关系的具体场景，像这种类似的场景生活中还有很多，那么我们是可以应用所学知识，解决生活中一些具体的问题的。 台风“桦加沙”中心从A地以20 km/h的速度向西北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，广州市在A地正西40 km处，则广州市是否会遭遇到台风的危害吗？ 创设背景，引入新知 回顾 在学习《两点间的距离公式》时，我们学会了会运用坐标法解决简单的平面几何问题，请回顾： 用坐标法解决简单的平面几何问题的四个基本步骤： 第 1 步 一建：建立适当的平面直角坐标系， 第 3 步 三算：进行有关代数运算 第 4 步 四译：把代数运算的结果“翻译”成几何结论 第 2 步 二表：用坐标或方程表示点、距离、直线、圆等有关几何要素 今天我们将再一次应用坐标法，解决生活中的一些简单实际问题 02 直线与圆的 位置关系应用 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 应用新知 例3 回顾 建立适当的平面直角坐标系的三大原则是什么？ 原则一 让尽可能多的点落在坐标轴上 原则三 轴对称图形，对称轴一般作为坐标轴 原则二 条件中有两条线垂直，一般的这两条线作为坐标轴 应用新知 例3 思考： 如何建立平面直角坐标系？ 以O为原点，线段AB所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 追问 原点O是圆心吗？ 不是，圆心在 y 轴上 可令圆心坐标 应用新知 转化 建立平面直角坐标系，将实际应用问题转化为怎样的数学问题？ 已知_____________________________________，圆心在________上， 求点的________坐标. 思路 由点在圆上，可以先求______________， 然后代入点的横坐标，求得纵坐标. 应用新知 例3 解 析 应用新知 例3 解 析 应用新知 例3 解 析 探究新知 思考： 如果不用坐标法，用综合法，借助辅助线和直角三角形解该题，如何解答？ 解 析 探究新知 思考： 根据以上两种方法的解题过程，比较综合法和坐标法的特点 综合法 综合法中添加了辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理，并多次使用勾股定理进行计算，过程较复杂 坐标法 坐标法更具普适性，思维难度也低，对学生数学运算素养的提升意义深刻. 牛刀小试 解 析 应用新知 解 析 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 分析 先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如右图， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． 应用新知 例4 解 析 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 解 析 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 思考： 你还能用其他方法解决上述问题吗？ 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 分析 前面我们学过向量，利用向量工具解决平面几何问题也很方便，我们考虑如何利用向量来解决这个问题， 可以利用向量求出点O到直线AB的距离，然后与暗礁分布范围的半径比较大小即可判断，是否会触礁. 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 解 析 所以轮船沿直线返港不会有触礁危险． 探究新知 思考： 比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？ 向量法解决几何问题的步骤，和坐标法很类似： 首先将点、线、面等几何要素用向量表示，其次对这些向量进行运算，最后后把向量运算的结果“翻译”成关于点、线、面的相应结果. 由于向量线性运算给向量表示几何要素带来的便利性，以及向量数量积运算在刻画长度与角度方面的强大功能，使得向量法在解决几何问题中发挥了巨大的作用，使许多问题的解决变得方便且简捷。 03 重要题型 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 重要题型专练 题型一 圆的中点弦问题 例题 解 析 应用新知 方法总结 第 1 步 先求圆的圆心坐标，和半径 第 2 步 利用圆心坐标和弦的中点坐标求所在直线l的斜率 第 3 步 根据垂径定理，利用直线l与弦垂直，求得弦所在直线斜率 第 4 步 利用斜率和中点坐标，即可用点斜式写出直线方程 已知弦的中点坐标，求弦所在直线的方程 重要题型专练 题型二 圆的切线长问题 例题 解 析 重要题型专练 题型三 圆的切点弦的方程问题 例题 解 析 重要题型专练 题型四 直线与圆的位置关系实际应用问题 例题 重要题型专练 题型四 直线与圆的位置关系实际应用问题 解 析 重要题型专练 题型五 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题 解 析 重要题型专练 题型五 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题 解 析 重要题型专练 题型五 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题 解 析 重要题型专练 题型五 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题 解 析 应用新知 方法总结 直线与圆有公共点 直线与圆没有公共点 04 真题感知 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 真题感知 解 析 真题感知 解 析 05 小结及课后作业 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 课堂小结 作业布置 作业1：完成教材：第95页 练习1,2,3. 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系(第2课时)》 06 课后练习答案 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 课后作业答案 练习（第95页） 1. 赵州桥的跨度是37.4 m,圆拱高约为7.2 m，求这座圆拱桥的拱圆的方程. P 课后作业答案 练习（第95页） 1. 赵州桥的跨度是37.4 m,圆拱高约为7.2 m，求这座圆拱桥的拱圆的方程. A B P C x y 课后作业答案 练习（第95页） 2.某圆拱桥的水面跨度是20 m,拱高4 m,现有一船，宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否从桥下通过? 课后作业答案 练习（第95页） A B H O C F E y x 课后作业答案 练习（第95页） A B H O C F E y x 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 若点 为圆 的弦 的中点，求直线 的方程. 的圆心 ，则直线CM的斜率 ， 由垂径定理可得：直线 与 垂直， 故直线AB的斜率 ， 则直线 的方程为 ，即 . 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (1)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 若圆上恰有1个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线 的距离 满足 ， 则 ，解得 ．解得 或 . 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (2)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线 的距离 满足 ， 则 ，解得 ． 解得 或 . 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (3)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 因为圆 上恰有3个点到直线 的距离都等于1, 所以只需要圆心到直线 的距离为 即可, 所以圆心到直线的距离为: ,解得 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (4)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 因为圆 上恰有4个点到直线l的距离都等于1， 所以圆心到直线 的距离小于1， 因此有 . 1．（23-24高二上·全国·课后作业） 若点P(1,1)是圆x2＋(y－3)2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　 　) A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－3＝0 C．2x＋y－3＝0 D．2x－y－1＝0 据题意可知直线AB与点P和圆心C(0,3)连线垂直，故kAB＝－＝，从而得直线AB方程为y－1＝(x－1)，整理得直线AB的方程为x－2y＋1＝0. 故选：A 2．（2025·江西萍乡·二模） 过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（    ） A．16 B．4 C．21 D． 圆的圆心，半径， 则， 所以. 故选：B 3．（高二·全国·课后作业） 过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（     ） A． B． C． D． 根据题意，设，圆的圆心为，半径，有，则，则以为圆心，为半径为圆为， 即，公共弦所在的直线即直线： 则，两式相减可得；故选：B. 4．（高二上·宁夏银川·期末）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（     ） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 如图，建立平面直角坐标系，则，， 设圆的方程为：，代入，则有， 故圆的方程为：， 令，则，故， 故选：D. 5．（2024·北京通州·一模）已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（     ） A． B． C．2 D． 圆圆心， 则圆心直线的距离， 要想圆上到直线的距离为的点恰有一个， 由图得：. 故选：A. $