安徽省池州訕东至县兰溪初级中学2024-2025学年上学期九年级数学期末模拟卷

九年级（上）数学期末模拟卷（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1.抛物线与轴交点的坐标为(     ) A.   B. C. D. 2.反比例函数的图象经过点，则下列点也在此函数图象上的是(     ) A. B. C. D. 3.抛物线的对称轴是(     ) A. 直线 B. 直线 C. 轴 D. 直线 4.在中，，，，则的值是(     ) A. B. C. D. 5.如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积比为(     ) A. ： B. ： C. ： D. ： 6.关于二次函数，下列说法错误的是(     ) A. 图象开口向下 B. 图象顶点坐标是 C. 当时，随增大而减小 D. 图象与轴有两个交点 7.如图，在中，，，于点，，若、分别为、的中点，则的长为(     ) A. B. C. D. 8.如图，中，，点在上，若，，则的长度为(     ) A. B. C. D. 9.在同一坐标系中，直线和抛物线是常数，且的图象可能是(    ) A. B. C. D. 10.如图，矩形中，，点在上，且：：，点在边上运动，以线段为斜边在点的异侧作等腰直角三角形，连接，当最小时，的值为(     ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.已知：：，则：______． 12.如图，是边延长线上一点，请添加一个条件：______，使∽． 13. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为， 若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______ 14.在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． ______用含的式子表示； 若将该抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线仍经过，则平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为______． 三、解答题：本题共9小题，共90分。 15.计算：． 16.如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． 求出与之间的函数表达式； 直接写出当取何值时，矩形面积最大． 17.已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与轴的另一交点到原点的距离为，求该二次函数的解析式． 18.如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点顶点为网格线的交点． 在给定的网格中，以点为旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段点、的对应点分别为、，画出线段； 在给定的网格中，以点为位似中心将放大为原来的倍，得到点、、的对应点分别为、、，画出． 19.如图，一航船在处测到北偏东方向上有一小岛，航船向正东方向以海里小时的速度航行小时到达处，又测到小岛在北偏东方向上．参考数据：， 求处到小岛的距离结果保留整数； 已知小岛周围海里内有暗礁，问：航船继续向正东方向航行，有无触礁危险？ 20.如图，四边形中，平分，，为的中点，与交于点． 求证：∽； 若：：，，求的长． 21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点、，且点的横坐标为，点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点． 求反比例函数的表达式； 若点在轴上，且的面积为，求出点的坐标． 22.某公司销售一种商品，进价为元件，经过市场调查发现，该商品的日销售量件与当天的销售单价元件是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单件元件 日销售量 求与的关系式； 求该商品每天获得的利润元的最大值； 若因批发商调整进货价格，该商品的进价变为元，该公司每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该公司为了不亏本，至少需按元件销售，而物价部门规定，销售单价不超过元件，在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，则的最小值为______． 23.如图，中，，，为边上一动点不与、重合，、的垂直平分线交于点，连接、、和，与相交于点，设． 请用含的代数式表示的度数； 求证：∽； 若，求的值． 九年级（上）数学期末模拟卷（一） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11. ：  12. 答案不唯一  13.   14. ；  ．  15. 解： 原式 ．  16. 解：四边形是矩形，，，，， ，， ∽， ， ， 当时，矩形面积最大．  17. 解：抛物线与轴的另一交点到原点的距离为， 抛物线与轴的另一交点的坐标为或， 当抛物线与轴的另一交点的坐标为时， 设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 抛物线的解析式为 即； 当抛物线与轴的另一交点的坐标为时， 设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 抛物线的解析式为 即； 综上所述，抛物线的解析式为或．  18. 解：如图，线段即为所求； 如图，即为所求．   19. 解：如图，作，垂足为点， 根据题意可得，，， ， 海里， 在中， ，， 海里，海里， 在中， ， 海里， 海里． 答：处到小岛的距离约海里； 如图，过点作，垂足为点， ， 海里海里， 答：航船继续向正东方向航行，有触礁危险．  20. 解：证明：平分， ， ， ∽； 由得，∽， ，， ：：，， ，即， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ．  21. 解：一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点、，且点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， 反比例函数的表达式为； 中，令，则， ，   ， ， 或．  22. 解：设与的关系式为， 将和代入， 可得：， 解得：， 与的关系式为； 由题意得： ， ， 当时，有最大值，最大值为， 该商品每天获得的利润的最大值为元； ．  23. 解：、的垂直平分线交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； 证明： 如上图，，， ， 、的垂直平分线交于点， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ：：， 即， ∽； 由得，当时，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ．  【解析】 1. 解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项B是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，也是轴对称图形； 选项D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 故选：． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 根据轴对称图形、中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 2. 解：反比例函数的图象经过点， ， ， 在选项中，，所以不符合题意； 在选项中，，所以符合题意； 在选项中，，所以不符合题意； 在选项中，，所以不符合题意； 故四个选项中，只有在此函数上， 故选：． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确同一反比例函数图象上点的坐标都符合是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标的特征即可得出答案． 3. 解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴． 故选：． 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴是直线是解答此题的关键． 由于，对称轴，即对称轴为轴． 4. 解：，，， ， ， 故选：． 本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．熟练掌握锐角三角函数余弦的定义是解题的关键． 先根据勾股定理求出，然后再利用余弦的定义解答即可． 5. 解：把向两边延长，交于点，交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即的面积与阴影部分的面积比为：：， 故选：． 本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 根据已知把向两边延长，交于点，交于点，先证明，然后求出它们的面积比即可解答． 6. 解：，       图象开口向下， 故A选项说法正确，此选项不符合题意； 顶点坐标是， 故B选项说法正确，此选项不符合题意； 抛物线对称轴为直线． 当时，随增大而减小， 即当时，随增大而减小， 故C选项说法正确，此选项不符合题意； 抛物线开口向下，顶点坐标为在第三象限， 抛物线与轴没有交点， 故D选项说法错误，此选项符合题意； 故选：． 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为． 由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 7. 解：由题意，在中，，， ， ， ， 在中，， 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 故选：． 本题考查了解直角三角形，三角形的中位线定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据已知可得，先在中求出的长，再在中求出的长，最后利用三角形的中位线定理即可解答． 8. 解：，，， ， ， ， ∽， ， ， ， 故选：． 在中，由锐角三角函数求得，再由勾股定理求得，证明∽，求得． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的应用，解决本题的关键是得到∽． 9. 解：、由一次函数的图象可得：，则，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，则，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线在轴的左侧，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，则，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数的图象可得：，则，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线在轴的左侧，故选项正确． 故选：． 本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 本题可先由一次函数图象得到的正负，再与二次函数是常数，且的图象相比较看是否一致． 10. 解：如图，取的中点，连接，，作射线， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， ，是的中点， ， ， ，，，在以为圆心的圆上， ， ，， ， ， 平分， 点在的平分线上， 易知当时，最小， 此时，如图， 平分， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设， ：：， ， 在中，， ， ， ， ， ． 故选：． 本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识． 如图，取的中点，连接，，作射线，证明，，，在以为圆心的圆上，得点在的平分线上，当时，最小，此时，画出图，根据是以为斜边的等腰直角三角形，证明，可得，设，根据：：，可得，根据含度角的直角三角形和勾股定理可得，进而可得结论． 11. 解：：：， ， ：：：． 故答案为：：． 本题考查比例关系，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 首先根据已知条件：：，得出，然后代入所求式子即可． 12. 解：添加：． ，， ∽． 故答案为：答案不唯一． 本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定可得出结论． 13. 解：根据题意，作，树高为，且，，； ，， ， ∽， ，即，解得． 故答案为：． 根据题意，画出示意图，易得：∽，进而可得，即，代入数据可得答案． 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 14. 【分析】 本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是用含的代数式表示平移后抛物线的顶点坐标． 由点在抛物线上，即可得； 将该抛物线向右平移个单位得，而平移后的抛物线仍经过，可解得，故平移后抛物线为，顶点为，由可得，根据二次函数性质可得答案． 【解答】 解：点在抛物线上， ， ； 故答案为：； 由得， 抛物线为， 将该抛物线向右平移个单位得， 平移后的抛物线仍经过， ， 解得舍去或， 平移后抛物线为，顶点为， 令 是关于的二次函数 ， ，即， 时，平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为， 故答案为：． 15. 本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 16. 解：见答案 ， 当时，矩形面积最大为． 本题主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、二次函数的最值等知识，得到∽是解题的关键． 根据矩形的性质证明∽，对应边成比例即可得与之间的函数表达式； 根据矩形面积列出二次函数，然后根据二次函数的性质即可得结论． 17. 先确定抛物线与轴的另一交点的坐标为或，然后利用交点式分别求出两种情况下的抛物线解析式． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 18. 本题考查作图位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质，属于中考常考题型． 利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； 利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 19. 本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 过作，垂足为点，在中，根据三角函数求得的长，再在中运用三角函数即可求解； 过点作，垂足为点，根据三角形的面积公式出，与海里比较即可． 20. 本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 由平分得到，然后结合，得证∽； 先由相似三角形的性质得到与的长，然后由点是的中点得到，从而有，再结合、得到，即有，进而得到∽，最后由相似三角形的性质求得的长． 21. 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． 由一次函数求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的表达式； 由一次函数求得的坐标，然后根据三角形面积公式求得，进一步即可求得的坐标． 22. 解：见答案； 见答案； 由题意得： ， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，又， ， 解得：， 最小值为， 故答案为：． 本题考查一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目． 根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式； 根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值； 根据题意得，，可得抛物线开口向下，对称轴为直线，根据在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，又，得到，求解即可． 23. 本题是相似形综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明∽是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得出，，由等腰三角形的性质得出结论； 证出，由相似三角形的判定可得出结论； 设，由含度的直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得出，，则可得出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $