14.2.5第5课时　用“HL”判定两个直角三角形全等 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的“斜边、直角边”判定方法，通过复习已学的SAS、ASA等全等判定，以“斜边和直角边相等是否全等”设问导入，引导学生动手画图剪纸重合，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光，学生通过画图重合直观感知HL判定合理性，例题注重规范推理强化数学思维，表格总结不同条件下的判定方法体现数学语言。这助力学生提升几何直观与推理能力，也为教师提供清晰流程和丰富教学资源。

第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 课时5 用“斜边、直角边”判定三角形全等 1. 理解并掌握直角三角形全等判定“斜边、直角边”条件的内容. 2. 熟练利用“斜边、直角边”条件证明两个直角三角形全等. 3. 通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 学习目标 知识回顾 1. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写为“边角边”或“SAS”). 2. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写为“角边角”或“ASA”). 3. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (简写成“角角边”或“AAS”). 4. 三边分别相等的两个三角形全等(简写为“边边边”或“SSS”). 我们已经学习的三角形全等的判定方法有哪些？ 新课导入 前面学习的三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形.因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对（或相邻）的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了，如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 探究新知 直角三角形全等的判定方法 任意画出一个Rt△ABC ，使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 ° ， B′C′=BC ， A ′B ′=AB ，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ A B C 探究新知 （4）连接A′B′. M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 验证如图 直角三角形全等的判定方法 探究新知 三角形全等的判定方法2 直角三角形全等的方法： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何符号语言： 在Rt△ABC和Rt△△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL) AB=A'B' BC=B'C' 注意：①“H”代表斜边，“L”代表直角边. ②“HL”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要加“Rt”.  例题精讲 例6 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证BC＝AD. 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，   ∴∠C=∠D=90°. 在Rt△ABC和Rt△BAD中，                 ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).     ∴BC=AD. AB=BA AC=BD 1. 下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 (　　) A. 两个锐角分别对应相等 B. 两条直角边分别对应相等 C. 一条直角边和斜边分别对应相等 D. 一个锐角和一条斜边分别对应相等 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图,AC⊥AB,AC⊥CD,要使得△ABC≌△CDA.若以“HL”为判断依据,则需添加的条件是 (　　) A. ∠ACB=∠CAD B. AB=CD C. ∠B=∠D D. BC=DA D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图,∠C=∠D=90°,要判定△ABC≌△BAD,在不添加辅助线和其他字母的情况下,还需要什么条件?把这些条件写出来,并在括号内填上判定它们全等的依据(每条横线上只填写一个条件). (1) 　　　　　　　　　　(　　　);  (2) 　　　　　　　　　　(　　　);  (3) 　　　　　　　　　　(　　　);  (4) 　　　　　　　　　　(　　　). AC=BD HL CB=DA HL ∠CAB=∠DBA AAS ∠CBA=∠DAB AAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图,在四边形ABCD中,CD=CB,∠B=∠D=90°,∠BAC=55°,那么∠BCD的度数为　　　　. 70° 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图,小明和小芳以相同的速度分别从点A,B同时出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,并同时到达点C,D,若CB⊥AB, DA⊥AB,则CB与DA相等吗?请说明理由. CB=DA　理由:由题意,知AC=BD,∵ CB⊥AB,DA⊥AB, ∴ ∠DAB=∠CBA=90°.在Rt△DAB和Rt△CBA中, ∴ Rt△DAB≌Rt△CBA.∴ CB=DA. 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 已知条件 可选择的判定方法 需寻找的条件 一锐角对应相等 ASA或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或者与锐角（或直角）的对边对应相等 斜边对应相等 HL或AAS 可证一直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边对应相等 HL或ASA或AAS 可证斜边对应相等或证已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等 判定直角三角形的方法： D 1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD,CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC _____ （填“全等”或“不全等”），根据________ （用简写法）. 全等 HL A 4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE. 求证：△EBC≌△DCB. 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠CDB=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD, BC=CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 判定直角三角形全等的方法 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 用适当方法判定两个直角三角形全等 6.（教材练习2题）如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF. 求证AE=DF. E A D B C F ┐ ┐ ∵ AE⊥BC，DF⊥BC ∴ ∠AEB＝ ∠ DFC=90° 证明: ∵CE=BF ∴CE－EF=BF－EF 即CF=BE 在Rt△ABE和 RtDCF中 AB=CD(已知) CF=BE(已证) ∵ ∴Rt△ ABE ≌ RtDCF（HL） ∴AE=DF 8.如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，求DE的长． 解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D， ∴∠AEC=∠D=90°， 在Rt△AEC与Rt△CDB中 AC=BC AE=CD , ∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL)， ∴CE=BD=2，CD=AE=7， ∴DE=CD-CE=7-2=5， 9.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF , ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF. ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. E F D A B C ┐ ┐ 随堂演练 2. 如图，AE⊥BD，CD⊥BD，AB = BC，BE = CD，则 ∠ACB = _______. 90° 3. 如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，且 DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？ 随堂演练 A B C D E 教材P43练习 第1题 随堂演练 教材P43练习 第1题 解：D，E 到路段 AB 的距离相等. 理由： ∵C是路段 AB 的中点，∴AC = BC. 又两人同时同速度出发， 并同时到达D，E 两地，∴CD = CE. 又 DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A =∠B = 90°. 在Rt△ACD 和 Rt△BCE 中， A B C D E AC = BC， CD = CE， ∴Rt△ACD ≌ Rt△BCE(HL). ∴DA = EB. 即 D，E 到路段 AB 的距离相等. 随堂演练 教材P43练习 第2题 4. 如图，AB = CD，AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证 AE = DF. A B C D E F 随堂演练 教材P43练习 第1题 证明: ∵CE = BF， ∴CE – EF = BF – EF，即 CF = BE. 又 AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC =∠AEB = 90°. 在 Rt△DFC 和 Rt△AEB 中， DC = AB， CF = BE， ∴Rt△DFC ≌ Rt△AEB(HL). ∴AE = DF. A B C D E F 10．已知：如图①，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD. (1)求证：BD平分EF； (2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为如图②所示时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． (1)证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝CD,AF＝CE)) ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)．∴BF＝DE. 在△BFG和△DEG中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BFG＝∠DEG＝90°,∠BGF＝∠DGE,BF＝DE))， ∴△BFG≌△DEG(AAS)．∴GE＝FG，∴BD平分EF； (2)解：上述结论仍然成立，理由：∵AE＝CF，∴AF＝CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝CD,AF＝CE)) ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)．∴BF＝DE. 在△BFG和△DEG中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BFG＝∠DEG＝90°,∠BGF＝∠DGE,BF＝DE))， ∴△BFG≌△DEG(AAS)．∴GE＝FG，∴BD平分EF. $