13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和定理 课件-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形内角和定理”，通过三类三角形争论内角和的情境导入，衔接小学认知，以测量、剪拼等动手操作为支架，引导学生从直观验证过渡到几何证明，构建完整学习脉络。 其亮点在于融合数学思维与探究，通过小组合作剪拼、多种证法（如添加平行线转化角）培养推理意识，结合损坏零件求角度等实际问题体现应用意识，小结归纳辅助线与转化思路，助力学生构建知识体系，也为教师提供丰富教学案例与分层练习资源。

13.3.1 三角形的内角 第十三章 三角形 学习目标 2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点） 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180°.（重点） 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新课 情境引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 锐角三角形 测量 480 720 600 600＋480＋720＝1800 （学生运用学科工具—量角器测量演示） 剪拼 A B C 2 1 （小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程） (有误差) (只能对有限个三角形使用这些方法) 新知探究 我们在小学已经知道，任意一个三角形的三个内角的和等于180°，是如何得出这一结论的？请你用手中的三角形纸片进行探究. 知识点一 三角形内角和定理 测量 1 方法 剪拼折叠 2 方法 几何画板 3 方法 【提示：本页方法2和3有链接，点击对应方法跳转至页面或打开文件】 这些“验证” 不是“数学证明”，需要通过推理的方法来证明： 三角形三个内角的和等于180°. 命题证明 A B C 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 画图写出 已知求证 证明过程 ？ A B C A B C A B C A B C B C A B A B C B 图1 图2 图3 图4 B C A 图5 A B C ······ 将三个角拼合到一起的目的是什么呢？ 为了得到了一个平角. 有了平角，根据平角定义，就得到了180°. B B C C A l 此操作过程中，直线l与边BC有什么样的位置关系？ A B C B C A B C 依据这个启发能发现怎样的证明思路呢？ 直线 l∥BC l 1 2 3 4 5 依据平角定义，得到 180° 证明思路 ： 过点A作直线l， 使得l∥BC 利用平行线的性质，将∠B和∠C进行转移 图1 三角形三个内角的和等于180°. 命题证明 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 画图写出 已知求证 证明过程 A B C l 1 2 3 4 5 证明：过点A作直线l，使得l∥BC. ∵l∥BC， ∴∠2=∠4 （两直线平行，内错角相等）. 同理 ∠3=∠5. ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1+∠4+ ∠5=180°（平角定义）. ∴∠1+∠2+ ∠3=180°（等量代换）. 证法一 观察下图拼图方法，模仿前面的证明过程，还可以怎样证明三角形内角和定理？ A B C B A 图2 A B C l 1 2 3 4 5 证明：延长BC，过点C作直线l，使得l∥AB. ∵l∥BC， ∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）. ∠2=∠5（两直线平行，同位角相等）. ∴∠1+∠2+ ∠3=180°（等量代换）. ∵∠3，∠4，∠5组成平角， ∴∠3+∠4+ ∠5=180°（平角定义）. A B C l 1 2 3 4 5 证法二 以上的证明思路为， 依据平角定义，得到180°； 利用平行线的性质，转移角 你受到了什么启发？你还能用这个思路的其他方法证明此定理吗？ C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m 图6 图7 图8 添加平行线 （辅助线） 14 （备用图2） A B C 依据平角定义，得到180°； 除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？ 两直线平行，同旁内角互补． F 1 4 2 3 D E A B C （备用图1） 思路②的方案如何添加辅助线？ 利用平行线的性质，转移角 添加平行线（辅助线） l 2 1 用下列方法证明三角形内角和定理. A B C l 【证法二】 A B C l 【证法三】 A B C F D E 【证法四】 A B C l 【证法一】 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 辅助线 归纳小结 依据平角定义，得到180°； 两直线平行，同旁内角互补． 利用平行线的性质，转移角 添加平行线 （辅助线） 思路 （转化法） 将正确答案填到相应的横线上。 ① 在△ABC中，∠A＝30°，∠B ＝ 65°，则∠C ＝_______ ② 在△ABC中，∠C＝ 42°，∠A ＝ ∠B，则∠B ＝ _______ ③ 在△ABC中，∠A＝∠B ＝∠C，则∠A ＝ _______ ④ 在△ABC中，∠C＝ 36°，∠A：∠B ＝ 1：2，则∠B ＝ _______ 85° 69° 60° 96° 隐含条件：三角形三个内角的和等于180° 知识点二 运用三角形内角和定理 实际问题（二） 一个已损坏的三角形零件如图经检验量得， ∠A＝３１° ∠B＝５９°，你能推算出另一个角的度数吗？ A B 实际问题 数学化 数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务 18 1．如图，∠B＝30°，∠CAD＝65°且AD平分∠CAE，则∠ACD等于（　　） A．95° B．65° C．50° D．80° 解：∵∠CAD＝65°，AD平分∠CAE， ∴∠CAE＝2∠CAD＝130°， ∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°， ∵∠B＝30°， ∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+50°＝80° D 课堂小测 2．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线交AB于点D，DE∥BC，交AC于点E，∠A＝60°，∠BDC＝80°，则∠EDC的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 解：∵CD是∠ACB的角平分线， ∴∠BCD＝∠ACD． ∵∠BDC＝∠A+∠ACD， ∴80°＝60°+∠ACD． ∴∠ACD＝∠BCD＝20°． ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝20°． B 课堂小测 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，且AD与CE交于点H，若∠B＝50°，则∠AHC的度数为 　 　°． 130 解：∵∠B＝50°，∠CEB＝∠ADB﹣90°， ∴∠EHD＝180°﹣50°＝130°， 又∵∠EHD＝∠AHC， ∴∠AHC＝130° 课堂小测 4．如图，将直角三角板ABC与直尺贴在一起，使三角板ABC的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数等于 　 　． 25° 解：如图，由于直尺的两条边是平行线， ∴∠1＝∠3， ∵∠ACB＝90°＝∠2+∠3， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣65°＝25°， 课堂小测 5.已知如图，AD是△ABC的角平分线，点D、E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠BEF+∠ADC＝180°．∠AFG与∠G相等吗？为什么？ 解：∠AFG＝∠G，证明如下： ∵∠BEF+∠ADC＝180°（已知）， ∠BEF+∠GED＝180°（平角的定义）， ∴∠GED＝∠ADC（同角的补角相等）． ∴AD∥GE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠AFG＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∠G＝∠CAD（两直线平行，同位角相等）， ∵AD是∠BAC的平分线（已知）， ∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）， ∴∠AFG＝∠G（等量代换）． 课堂小测 课前自测 1.（百色中考）三角形的内角和等于( ) . B A. B. C. D. 图1 2.（南宁中考）如图1，中， ， ，则 等于( ) . B A. B. C. D. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 24 3.（教材第16页习题11.2第1题变式）已知三角形三个内角的度数如图2 所示，求图中 的值.请将下面的解题过程补充完整. 图2 解：根据三角形的内角和定理，得_____ . 解得____ . 180 30 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 25 知识点 三角形内角和定理 方法指导 运用三角形内角和定理求角的度数的方法：（1）已知两个角的度 数，求第三个角的度数，直接利用三角形内角和定理求解；（2）已知 一个角的度数及另外两个角之间的等量关系，或不知道任何一个角的度 数，只知道三个角之间的数量关系，一般根据“三角形内角和为 ” 这个隐含的等量关系列方程（或方程组）求解. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 26 思路点拨 根据已知条件，无法直接求出各内角的度数，则考虑用方程 思想求解.设，则 ， ，再根据三角形 的内角和等于 列方程求解. 自主解答 解：设，则 ， . 根据题意，得 . 解得 . 例 在中， ， ，求 的三个内 角的度数. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 27 ， . 的三个内角的度数分别为 ， ， . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数． 分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数． 解：∵∠A＝∠B＝∠ACB， 设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°. ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝×90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°. 1.在△ABC中，∠A=80°， ∠B=52°， 则∠C=_____. 2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:3:5,则最大的角为_____. 3.在△ABC中， ∠A=∠B=∠C，则∠A=____. 4.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C，则此三角形为三角形，若∠A+∠B<∠C，则此三角形是______三角形; 5.一个三角形中最多有____个锐角，最少有____个锐角，最多有____个直角,最多有__个钝角; 6.已知等腰三角形的底角为40°,则它的顶角为_____. 48° 100° 60° 钝角 3 2 1 100° 7.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1:2，则这个等腰三角形的顶角为___________. 8.在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°,则∠A=____. 90°或36° 84° 9.如图四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处，若∠1=∠2=44°，则∠B为( )． A．66° B．104° C．114° D．124° C $