第26章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版五四制九年级上册

第26章 二次函数 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次函数顶点式确定顶点坐标等知识，二次函数的顶点坐标为，据此即可求解﹒ 【详解】解：抛物线的顶点坐标是﹒ 故选：B﹒ 3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得抛物线的解析式为：． 故选：C． 4．抛物线和共有的特征是（    ） A．开口向上 B．都有最高点 C．对称轴都是y轴 D．顶点都是原点 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质判断即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点是原点， 抛物线开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点是， 故抛物线和共有的特征是对称轴都是y轴， 故选：C． 5．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给函数解析式，结合二次函数的图象与性质,得抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大．根据，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， 则抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大． ∵抛物线经过三点， 则，，， ∵， ∴ 故选：D． 6．已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象，可得 函数开口向下，则，故A错误； 顶点在y轴右侧，则，故B正确； 图象与y轴交点在y轴正半轴，则，故C错误； 当时，，则，故D错误； 故选：B． 二、填空题（本题共12小题，每小题4分，共48分．） 7．抛物线的对称轴是 ． 【答案】轴 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，根据对称轴公式解答即可，掌握对称轴公式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为：轴． 8．抛物线在y轴右侧部分呈现 的趋势填“上升”或者“下降” 【答案】下降 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 依据题意，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：中的，， 抛物线开口向下，对称轴为y轴， 轴右侧部分呈现下降的趋势， 故答案为：下降． 9．如果抛物线经过原点，那么m的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标都满足该二次函数的解析式，把点代入抛物线方程，列出关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：把点代入抛物线， 则， 解得， 故答案为：2． 10．抛物线与y轴的交点坐标为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数图像与y轴的交点的坐标． 令，得到，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 11．如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质得出，求一元一次不等式的解集即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 解得， 故答案为：． 12．如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）． 【答案】高 【分析】本题考查了抛物线的性质，根据抛物线的性质即可求解，掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，在抛物线中，， ∴抛物线的开口向下， ∴该抛物线有最高点， 故答案为：高． 13．如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 【答案】10 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， ∴铅球运行水平距离为10米时落到地面． 故答案为：10． 14．已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【答案】 【分析】本题考查根据抛物线的对称性求对称轴，找到表格中函数值相同的两个自变量的值，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：当和时，函数值相等， 即：点和关于对称轴对称， ∴对称轴为直线； 故答案为：． 15．如果当时，二次函数的图像一定不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了二次函数图象特征，判断其经过的象限．关键是根据二次函数的开口方向、对称轴位置和与轴的交点是判断图像经过哪些象限的关键． 先将二次函数化为顶点式，确定其对称轴、顶点坐标，再根据判断开口方向，进而确定函数图象不经过的象限． 【详解】解：将二次函数化为顶点式， 整理得：， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， 当时，，即函数图象过点， 又∵对称轴为，开口向上，且过点，顶点纵坐标， 当时，，顶点在轴下方，但函数过且开口向上， 此时顶点在第三象限，在对称轴右侧随的增大而增大且过，函数图象不经过第四象限； 当时，，顶点在轴上或x轴上方， 综合，无论的取值如何 ，函数图象一定不经过第四象限． 故答案为：四． 16．若拋物线在直线右侧部分是下降的，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了本题考二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定的取值范围即可． 【详解】解：∵拋物线，对称轴为直线，在直线右侧部分是下降的， ∴该函数的开口向下， ， 故答案为：． 17．如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的顶点坐标公式，将抛物线的顶点的横坐标和纵坐标分别用含有a的代数式表示出来，进而可得与之间的关系式． 本题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，熟记公式是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线的顶点坐标公式可得抛物线的顶点的 横坐标为， 纵坐标为， ∴， ∴抛物线的“顶线”是． 故答案为：． 18．已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴，垂足为点G，与直线交于点H．如果，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．用待定系数法可得，由，可得直线解析式为，，设，可得，由，可得，故，即可解得点坐标． 【详解】解：把，代入得： ， 解得， ； 如图： 设直线解析式为，由，可得 ，解得， 直线解析式为， ， 设，则， ，， ，， ， ， 即， ， ， ， 解得或（与重合，舍去）， ， 故答案为： 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点式，顶点坐标；对称轴为直线 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，正确求出函数解析式． （1）将两点坐标代入解析式，解得的值，求出二次函数的解析式即可； （2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，得出顶点坐标和对称轴即可． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∴顶点式为：，顶点坐标为；对称轴为直线． 20．如图，是二次函数的图象． (1)求二次函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，用图象法求不等式的解集，求出二次函数的解析式是解答关键． （1）由图象求出二次函数图象经过的点，代入解析式求解； （2）根据二次函数图象与轴的交点来确定出不等式的解集． 【详解】（1）解：由二次函数的图象可知，二次函数的图象经过， 代入二次函数解析式得 解得， 二次函数的解析式为． （2）解：由图象可知图象与的交点为， 不等式的解集为． 21．已知抛物线的顶点为，它与轴的交点为． (1)求线段的长； (2)平移该抛物线，使其顶点在轴上，且与轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的配方求顶点和待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）求出顶点和与轴的交点坐标，利用两点间距离公式解题即可； （2）先设解析式为，然后写出与轴两交点的坐标，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点的坐标为， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； （2）解：设平移后的解析式为， ∵与轴两交点间的距离为4， ∴与轴两交点为和， 把代入得， 解得， ∴平移后所得抛物线的表达式为． 22．二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式，过点D作轴交于点E，得到点E的坐标，根据计算即可． 【详解】（1）解：把、、代入得： ，解得， ∴函数关系式为：， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴解析式为， 过点D作轴交于点E， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 23．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，（点在点的右侧）与轴正半轴交于点，顶点为．    (1)求的长； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点，如果点与点关于原点对称，且，求△的面积． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键， （1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，从而得到点，再利用点、的坐标得，进而求得的长； （2）根据点、的坐标得直线的表达式为：，由于，可得直线的表达式为：，则点，代入点，求得，进而得到抛物线的表达式； （3）由于点与点关于原点对称，可得点，则新抛物线的表达式为：，联立两个抛物线的表达式得点点，由点、的坐标得，该直线表达式函数值中的，而直线的表达式为：，再根据，可求得，进而求得△的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点， ∵点， ∴， ∴； （2）解：∵点、，设直线的表达式为：， ∴ 解得：， ∴直线的表达式为：， ， ∴直线的表达式为：， ∴点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， ∴（舍去）或， ∴抛物线的表达式为：； （3）解：∵点与点关于原点对称， ∴点，    ∴新抛物线的表达式为：， ∴ 整理得：， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵直线的表达式为：，且， ∴， ∴， ∴△的面积． 24．在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；②216 【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后把代入求解即可； （2）①根据平移求出，代入并化简得，根据线段垂直平分线的性质得出，由两点间距离公式求出，联立方程组并化简得，解方程求出n的值，最后根据正弦的定义求解即可； ②过D作于E，则，则，，，，由题知：，则，根据等角的正切值相等可得出，则，结合①中，可得，然后化简即可． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 因为抛物线经过原点， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后新抛物线顶点， 因为D在上， 把D坐标代入，得， ∴， ∵直线：交y轴于点B， ∴， 又，， ∴，，， ∵线段的中垂线经过点A， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； ②抛物线对称轴为， 设，由，， 过D作于E，则 ∴，，，， 由题知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， 化简，得， 又 ∴． 【点睛】是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 25．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点． (1)求点及点的坐标． (2)连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． 若线段上一点，使，求点的坐标． 若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为， 点的坐标为 (2)点的坐标为．点的坐标为 【分析】（1）令，解一元二次方程，确定点的坐标；将抛物线的解析式配方写成顶点式即可确定顶点的坐标． （2）根据抛物线解析式得到点、点的坐标．连接，过点作于，由勾股定理得出、的长，通过边角关系证明为直角三角形，分别延长、，与轴相交于点，． 根据两组角对应相等的两三角形相似证明，根据相似三角形对应边成比例得到，即，运用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两个解析式解方程组，即可求出点的坐标． 设交轴于点，过点作轴于点，先证明，由相似三角形对应边成比例得出．设，再证明，均为等腰直角三角形，然后用含的代数式表示点的坐标，将其代入抛物线解析式中，求出的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， 当时，，解得或， 点的坐标为． ， 顶点的坐标为； （2）解：抛物线与轴交于点， 点坐标为， ， ，， 对称轴为直线， 点的坐标为． 如图，连接，过点作于， 则点坐标为， 点的坐标为； ， ，， ， 为直角三角形． 分别延长、，与轴相交于点，． ， ， ， ， 又， ， ， 即， ，即， 设直线的解析式为， 则有： ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则有： ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， 点的坐标为；   如图，点在第一象限抛物线上，设交轴于点，过点作轴于点． ∵，，， ， ， ，， ， ， 即， ． 设，则， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 将点代入抛物线， 得到，解得 或（舍去）， ． 所以，当时，点的坐标为． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练应用各知识点是解题的关键． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线和共有的特征是（    ） A．开口向上 B．都有最高点 C．对称轴都是y轴 D．顶点都是原点 5．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共12小题，每小题4分，共48分．） 7．抛物线的对称轴是 ． 8．抛物线在y轴右侧部分呈现 的趋势填“上升”或者“下降” 9．如果抛物线经过原点，那么m的值等于 ． 10．抛物线与y轴的交点坐标为 11．如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 12．如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）． 13．如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 14．已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 15．如果当时，二次函数的图像一定不经过第 象限． 16．若拋物线在直线右侧部分是下降的，则的取值范围是 ． 17．如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是 ． 18．已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴，垂足为点G，与直线交于点H．如果，则点P的坐标是 ． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 20．如图，是二次函数的图象． (1)求二次函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 21．已知抛物线的顶点为，它与轴的交点为． (1)求线段的长； (2)平移该抛物线，使其顶点在轴上，且与轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式． 22．二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 23．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，（点在点的右侧）与轴正半轴交于点，顶点为．    (1)求的长； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点，如果点与点关于原点对称，且，求△的面积． 24．在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 25．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点． (1)求点及点的坐标． (2)连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． 若线段上一点，使，求点的坐标． 若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $