第二章 直角三角形的边角关系 习题课件　2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“锐角三角函数（正切）”核心知识点，涵盖正切定义、坡度及应用，课堂导入从直角三角形边长关系切入，通过基础计算、坐标问题等例题搭建支架，衔接勾股定理，逐步过渡到综合应用。 其亮点在于融入中考真题、真实情境（如公路桥引坡坡度）和分类讨论题，借助几何直观与推理意识，培养学生数学眼光与思维。例题分层设计，从概念辨析（易错点）到实际应用，提升学生运算能力与模型意识，教师可直接用于课堂或分层作业，提高教学效率。

第二章直角三角形的边角关系 4解直角三角形 第1课时己知两边解直角三角形 A 基础题 知识点已知两边解直角三角形 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1,AB=v5,则tanA的值为 C A. B. 2V5 C. 1-2 D.2 5 2 3 4 5 6 8 9 10 111213 1415 2.在△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=4,欲求∠A的度数，最适 宜的做法是(C) A.计算tanA的值求出 B.计算sinA的值求出 C.计算coSA的值求出 D.先根据sinB求出∠B,再利用90°一∠B求出 8 9 101112131415 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4,AC=2v2,则∠A的度数为 (B） A.30° B.45 C.60° D.75 12 3 5 4 7 6 8 1011 9 12131415 4.在△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=2V3,则AB=4,∠A的 度数为60°· 12 3 45 78 6 10 9 1112131415 5.如图，AD⊥CD,AB=13,BC=12, C CD=3,AD=4,则sinB= 5 13 A 1 23 5 4 7 6 8 9 1011 12131415 B 6.（东营广饶县期末)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，BC=3,AB=5,求∠A的正弦、余弦、 正切的值. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=5, :.AC=VAB2-BC2=V52-3z=4. :sinA=胎=景cosA=%=手 tanA AC 4 3 4 5 6 8 9 10 1112131415 7.已知：在△ABC中，∠C=90°. (1)若a=6,b=2V3,求∠A,∠B,c; 解：：在Rt△ABC中，tanA= tanA=6=V3. 23 .∠A=60°，∠B=90°-60°=30°. ∴.c=2b=2×2V3=4V3. 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 (2)若a=24,C=24V2,求∠A,∠B,b. 解：在Rt△ABC中，b2=c2-a2, .b=24..tanA==1. ∴.∠A=∠B=45°. 12 34 56 78 101112131415 9 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC,∠B,LC的对边分别为a,b,C, 且b=8V5,∠BAC的平分线AD=6正，解这个直角三角形. D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12131415第二章 直角三角形的边角关系 4 解直角三角形 第3课时 解非直角三角形 1 知识点1 在锐角三角形中构造直角三角形解题 第1题图 1.（淄博高青县期中）如图，在 中， ， ， ，则 的长为 ( ) C A. B. 2 C. D. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2.（临沂中考）如图，在中，对角线，相交于点 .若 ，，，则 的面积是____. 24 第2题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 3.若等腰三角形的底边长为，面积为 ，则它的顶角的度数 为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 4.如图，四边形 是一片水田，某村民小组需要计算其面积，测得 如下数据： , , , ， .请你计算出这片水田的面积.（参考数据： ，，， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 解：作于点 ， ， ， . . . . ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 . 这片水田的面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 知识点2 在钝角三角形中构造直角三角形解题 5.（益阳中考）如图，在平面直角坐标系 中， 有三点，， ，则 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 6.如图，四边形中，，， ，求 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 解：过点作，交 的延长线于点 . 在 中， ， . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 易错点 因考虑问题不全面而漏解 7.（东营期中）在中， ，， ，则 ______. 8或4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 8.【分类讨论思想】已知是的高，， ， 则 ___________. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 9.（泰安新泰市校级月考）如图，在中， , ，，则 的长是( ) C A. 4 B. C. 5 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 10.如图，王明同学画了两个不同形状的三角形，并将有关数据在图中 进行了标注，两个三角形的面积分别记为和 ，则( ) C A. B. C. D. 无法确定面积关系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.如图，已知，点在边上，，点，在边 上，.如果，那么 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 12.（襄阳中考）如图，是的中线，， ， . （1）求 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 解：过点作于点 . ， . 在中， ， ， . 在中， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 （2）求 的值. 解：是 的中线， . ，， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 13.（教材九上P45习题 变式与应用）阅读下面材料： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形 中， ， ，，，求 的长.小 红发现，延长与相交于点，通过构造 ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）. 图1 图2 （1）请回答： 的长为___； 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 （2）参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形 中，， ，，，求和 的 长. 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 图3 解：延长与相交于点 . ， . ， . 设，则， ， .在中， ， ，，即. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. ，， . . 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 23 $第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第3课时 坡度问题 1 知识点 坡度问题 第1题图 1.（泰安泰山区期中）如图所示，河堤横断面 迎水坡的坡比是，堤高 ，则 坡面 的长是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 第2题图 2.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为 ，滑梯的坡角 为 ，那么滑梯长 为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 第3题图 3.（阜新中考）如图，为了了解山坡上两棵树间的水 平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 ，两树间的坡面距离 ，则这两棵树 的水平距离约为____.（结果精确到 ，参考数 4.7 据：，， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 第4题图 4.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米， 宽度为30厘米，那么斜面 的坡度为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.（自贡中考）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ,长为6米，坡角 为 ，的坡角 为 ，则 的 长为_____米.（结果保留根号） 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 6.（丽水中考改编）学校校园内有一小山坡 （如图），经测量，坡 角 ，斜坡 长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山 坡，使斜坡的坡比是，， 两点处于同一铅垂线上，则开挖后 小山坡下降的高度 ___________米. 第6题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 7.（天水中考）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 的坡度为，文化墙在天桥底部正前方8米处（ 的长），为 了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 .（参考数据：， ） （1）若新坡面坡角为 ，求坡角 度数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 解： 新坡面坡角为 ，新坡面的坡度为 ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 （2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造 后，文化墙 是否需要拆除？请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 解：文化墙 不需要拆除， 理由如下： 作于点，则 米， 新坡面的坡度为 . . 米. 坡面的坡度为， 米， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 米. 米. （米） 米. 文化墙 不需要拆除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置 时，，已知木箱高 ，斜面坡角 为 ，则木箱端点距地面 的高度为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 9.（泰安中考）如图，某校教学楼后面紧 邻着一个山坡，坡上面是一块平地. ，，斜坡长 ，斜 坡的坡比为 .为了减缓坡面，防止 10 山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测，当坡角不超 过 时，可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚不动，则坡顶 沿至少向右移____时，才能确保山体不滑坡.（取 ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 10.（淄博中考改编）如图，与斜坡 垂直的太 阳光线照射立柱（与水平地面 垂直）形成 的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡 上.若米， 米，斜坡的坡角 ，求立柱 的高.（结果精确到0.1 米） 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） _________________________________________________________ 0.530 _________________________________________________________ 0.848 _________________________________________________________ 0.625 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 解：延长交于点 . 在中，米，， ， （米）. （米）. ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 ， . 在中， ， （米）. 答：立柱 的高约为19.2米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.（广安中考）广安市政府对城市建设进行了整改. 如图，已知斜坡长米，坡角（即 ）为 ，，现计划在斜坡中点 处挖去部分斜 坡，修建一个平行于水平线的休闲平台 和一条 新的斜坡 .（下面两个小题结果都保留根号） （1）若修建的斜坡的坡比为，求休闲平台 的长是多少米； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 解：， ， ， ， . 米， 米. 是的中点， 米. 米. 的坡比为 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 （米）. 米. 答：休闲平台的长为 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）一座建筑物距离点33米远（即米），小亮在 点测 得建筑物顶部的仰角（即）为 .点，，，， 在同 一个平面内，点,,在同一条直线上，且，问建筑物 高 为多少米？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 解：过点作于点，则四边形 为矩 形.米， ， 米. （米）. ，即 ， （米）. 米. 答：建筑物高为 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 $第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第1课时 仰角、俯角问题 1 知识点 仰角、俯角问题 1.（哈尔滨中考）如图，某飞机在空中 处探测到它的正下方地平面上 目标，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台 的 俯角 ，则飞机与指挥台 的距离为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2.（岳阳中考）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如 图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部 处的仰 角为 ，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度 为 1.5米，则气球顶部离地面的高度 是____米.（结果精确到0.1米， ，， ） 9.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 3.（东营河口区期中）如图，数学兴趣小组的同学们要 测量某大桥主架顶端离水面的高，在桥外一点 测 得大桥主架与水面的交汇点的俯角为 ，大桥主架的 顶端的仰角为 ，测得与大桥主架的水平距离 为100米，则大桥主架顶端离水面的高 为( ) B A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 4.（孝感中考）综合实践课上，航模小 组用航拍无人机进行测高实践.如图，无 人机从地面的中点 处竖直上升30米 到达处，测得博雅楼顶部 的俯角为 ，尚美楼顶部的俯角为 .已知 博雅楼的高度为15米，则尚美楼的高度 为___________米. （结果保留根号） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 5.（东营东营区一模）如图，在直升机的镜头下，观测东营市清风湖 处的俯角为 ，处的俯角为 .若此时直升机镜头处的高度 为300米，点，，在同一条直线上，则， 两点间的距离为 ______________米.（结果保留根号） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 6.（宿迁中考）如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔 底 部的俯角为 ，信号塔顶部的仰角为 .已知教学楼 的高度为 ，求信号塔的高度（计算结果保留根号）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 解：过点作，垂足为 . 由题意，得 ， 在中， ， . 在中， ， . . 答：信号塔的高度为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 第7题图 7.（抚顺中考）如图，某城市的电视塔 坐落在 湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔 的 高度，在点处测得塔尖点的仰角 为 ，沿射线方向前进200米到达湖边点 处，测得塔尖点在湖中的倒影的俯角 为 ，则电视塔 的高度为________米 （结果保留根号）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 第8题图 8.（孝感中考）如图，有甲、乙两座建筑物，从甲 建筑物点处测得乙建筑物点的俯角 为 ， 点的俯角 为 ， 为两座建筑物的水平距 离.已知乙建筑物的高度为 ，则甲建筑物的 高度为____（ ， ， ，结果保留整数） 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9.（张家界中考）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为2023年旅游新 特色.某数学兴趣小组用无人机测量奇楼 的高度，测量方案如下： 如图，先将无人机垂直上升至距水平地面的点 处，测得奇楼 顶端的俯角为 ，再将无人机沿水平方向飞行到达点 ，测 得奇楼底端的俯角为 ，求奇楼的高度.（结果精确到 ，参 考数据：，， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：延长交直线于点，则， 根据题意，得， ， 在中， ， . . 在 中， ， . . 答：奇楼的高度约为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 10.（台州中考）如图，某翼装飞行员从离水平地面高 的 点处出发，沿着俯角为 的方向，直线滑行到达点 ，然 后打开降落伞以 的俯角降落到地面上的点 .求他飞行的水平距离 .（结果精确到，参考数据：, , ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 解：过点作于点， 于 点 . 由题意，得 ， ， ， ， ， ， .解得， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 . . ，解得 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $第二章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 第1课时 正切 1 知识点1 正切 1.（云南中考）在中， ,,，则 的 正切值为( ) A A. 3 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 第2题图 2.如图，已知在中， ， ，，则 的长是( ) C A. 2 B. 8 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 第3题图 3.如图，锐角 的顶点在原点，始边在 轴的正半轴上， 终边上一点的坐标为，那么 的值等于( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4 4.（泰安新泰市月考）已知为锐角，且，则 的取值范 围是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 5.在中， ，，，分别是，， 对边，如 果，那么 __. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6 6.如图，在中，， , 于点,，求, 的 值. 解：，， ， . ， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7 知识点2 坡度 第7题图 7.为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得 图中所示的数据（单位：米），则该坡道的坡度是 ( ) A A. B. 4 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 8.如图表示甲、乙两山坡的情况，则____坡更陡（填“甲”或“乙”）. 乙 第8题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9.小明沿着坡度为的直路向上走了 ，则小明沿垂直方向升 高了____ . 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10 易错点 对正切的概念理解不清 10.（东营期中）在中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角 的正切值( ) D A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大4倍 D. 没有变化 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11 11.（邵阳中考）如图，,, 是小正方形的顶点， 且每个小正方形的边长为1，则 的值为 ( ) B A. B. 1 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12 12.【真实问题情境】如图，一座公路桥离地面高度为6米，引桥 的水平宽度为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为 ，使 其坡度为，则 的长是( ) 第12题图 C A. 36米 B. 24米 C. 12米 D. 6米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13 13.如图，等腰三角形的腰长, 的长为5，底边长为6，则 __. 第13题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14 14.【分类讨论思想】已知是的一个锐角，且 ， ，则 的值为_____. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15 15.如图，在中， ，于点 ， ，，求 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 解：在 中， ， ， . ， . . 在 中，由勾股定理，得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17 16.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折 叠，使点与点重合，折痕为，求 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解：根据题意，得 . 设 ，则 . 在 中， ， 即 ， 解得 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 17.（泰州中考）如图，点在反比例函数 的图 象上，且横坐标为1，过点 作两条坐标轴的平行线， 与反比例函数的图象相交于点, ，则 直线与 轴所夹锐角的正切值为___. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 $第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第2课时 方向角问题 1 知识点 方向角问题 1.（河北中考）已知岛位于岛的正西方，由岛，分别测得船 位 于南偏东 和南偏西 方向上，符合条件的示意图是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 第2题图 2.（广州中考）如图，海中有一小岛，在处测得小岛 在 北偏东 方向上，渔船从 处出发，由西向东航行 到达处，在处测得小岛 恰好在正北方向上， 则此时渔船与小岛 的距离为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 第3题图 3.如图，一艘轮船从 处以每小时50海里的速度沿南偏 东 方向匀速航行，在处观测灯塔 位于南偏东 方向上，轮船航行半小时到达处，在 处观测灯 塔位于北偏东 方向上，则处与灯塔 的距离是 ( ) D A. 海里 B. 海里 C. 50海里 D. 25海里 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 4.如图，一艘轮船由南向北航行到处时，发现与轮船相距40海里的 岛在北偏东 方向.已知 岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航 向，轮船______（填“有”或“没有”）触礁的危险. 没有 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 5.（南宁中考）如图，一艘渔船由西往东航行，在点测得海岛 位于 北偏东 的方向，前进20海里到达点，此时，测得海岛 位于北偏 东 的方向，则海岛到航线的距离 等于______海里. 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 6.如图，小明从处出发，沿北偏东 方向以 的速度步行后到达 处，接着向正南 方向步行一段时间后到达终点，在 处观测到出发 时所在的处在北偏西 方向上，求小明步行的总 路程.（结果精确到，参考数据： ， ，， ， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 解：过点作于点 ，由题意，得 ， ， ， 在中， ， ， . 在中， ， ， . 小明步行的总路程为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7.气象台发布的卫星云图显示，代号为 的台风 在某海岛（设为点）的南偏东 方向的点 生成，测得.台风中心从点 以 的速度向正北方向移动，经 后到达 海面上的点处.因受气旋影响，台风中心从点 开始以的速度向北偏西 方向继续移动.以 为原点建立如 图所示的直角坐标系，则台风中心生成点 的坐标为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 __________________，台风中心转折点 的坐标 为__________________________.（结果保留根 号） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.（聊城中考）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门 楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图所示，城门楼在角楼 的正 东方向处，南关桥在城门楼的正南方向 处.在明珠大 剧院测得角楼在北偏东 方向，南关桥在南偏东 方 向（，，，四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤 的距 离.（结果精确到，参考数据： ， ，， ， ， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 解：过点作于点，过点作 于 点，则四边形 是矩形， . 设，则 . 在中， ， . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 在中， ， ，解得 . . 答：明珠大剧院到龙堤的距离约为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.（株洲中考）如图为某区域部分交通线路图， 其中直线，直线与直线,, 都垂 直，垂足分别为点、点和点 （高速路右侧 边缘），上的点位于点的北偏东 方 向上，且，上的点位于点 的北偏东 方向上，且 ， ，点和点是城际线 上的两个相邻的站点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （1）求和 之间的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 解：过点作于点， . . 答：和之间的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （2）若城际火车平均时速为 ，求市民小强乘坐城际火车从 站点到站点 需要多少小时？（结果用分数表示） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 解： 点位于点的北偏东 方向上， . . . ， ， ， 则 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 . 城际火车平均时速为 ， 市民小强乘坐城际火车从站点到站点 需 要 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $第二章 直角三角形的边角关系 回顾与思考（二） 直角三角形的边角关系 1 01 山东中考考点针对练 考点1 锐角三角函数 1.（东营垦利区期末）已知中， ， ， ，那么下列各式中正确的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2.（淄博张店区期中）如图，在 的网格中，每个 小正方形的边长均为1.若点，， 都在格点上，则 的值为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 考点2 特殊角的三角函数值 3.（淄博桓台县期末）已知在中， ， ， 则 的度数是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 4.（泰安期中）若锐角 满足，则 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 5.（泰安肥城市期中）在中，， 均为锐角，且 ，则 的形状是____________. 等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 6.（泰安新泰市期中）计算： （1） ； 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 考点3 解直角三角形 7.（泰安泰山区期中）在 中，有下列情况，则直角三角形可 解的是( ) B A. 已知， B. 已知 ， ， C. 已知 ， D. 已知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 8.（泰安泰山区期末）如图，在中， ， ， ，则 的长为( ) B 第8题图 A. B. 2 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 9.（泰安肥城市四模）如图，在平面直角坐标系中放入矩形纸片 .将纸片翻折后，点恰好落在轴上，记为，折痕为 ，已知 ，，则点 的坐标是________. 第9题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 10.（泰安期中）如图，在中，是边上的高，是边 上的中线， ，， . （1）求 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 解：是边 上的高， . 在 中， ， ， . . 在中， ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 （2）求 的值. 解：是边 上的中线， . . 在中， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考点4 三角函数的实际应用 11.（泰安中考）在一次综合实践活动中，某学校 数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量. 如图，在塔前处，测得该塔顶端 的仰角为 ， 后退到 处有一平台， 55 在高的平台上的处，测得的仰角为 ，则该电 视发射塔的高度为____.(精确到,参考数据： ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 12.（东营河口区期中）如图，这是小强洗漱时的侧面示 意图，洗漱台(矩形靠墙摆放，高 ， 宽，小强身高为 ，下半身 ，洗漱时下半身与地面成 ，身体前倾成 ， 脚与洗漱台的距离（点，， 在同一条 直线上），此时小强的头部与地面 的距离是多少？ (结果精确到 ,参考数据：, , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 解：过点作于点，过点作 于点 . ， ， . ， . ， , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 . . 答：此时小强的头部与地面 的距离约为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 02 核心素养提升练 13.学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的同学决定用自己学到的 知识测量电视塔的高度，他们把“测量电视塔的高”作为一项课题活动， 并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 课题 测量电视塔的高 测量示意 图 ________________________________________ 说明： 是高为1.5米的测角仪， 在点处测得电视塔顶 的仰角 ，在点 处测得此时电 视塔顶的仰角 ，， 三点在同一条直线上) 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 175米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 （1）请根据上表中的测量数据，求电视塔的高 约为______米； (结果精确到0.1米，参考数据：， ， ，，， 267.2 __________________________________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 （2）“工程简介”中电视塔的高度为268米，请结合本次测量结果，提 出一条减小误差的合理化建议. __________________________________________________ 解：测量过程中，测角仪的精确度不够高，计算过程有误差等 （答案不唯一，合理即可），进行多次测量求其平均数即可减小误差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 $第二章 直角三角形的边角关系 6 利用三角函数测高 1 知识点1 测量底部可以到达的物体的高度 第1题图 1.（长沙中考）如图，为测量一棵与地面垂直 的树的高度，在距离树的底端30米的 处， 测得树顶的仰角为 ，则树 的高度 为( ) C A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 1 2 3 4 5 6 7 8 2 第2题图 2.如图，王师傅在楼顶上点处测得楼前一棵树 的 顶端的俯角为 .若水平距离 ，楼高 ，则树 高约为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 3 第3题图 3.（百色中考）如图，从一栋二层楼的楼顶点 处看 对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点 处 的俯角为 ，看到楼顶部点处的仰角为 ，已 知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高 是 ( ) A A. 米 B. 米 C. 米 D. 12米 1 2 3 4 5 6 7 8 4 知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度 第4题图 4.荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建 于明嘉靖年间，周边风景秀丽.现在 塔底低于地面约 ，某校学生测得 古塔的整体高度约为 .其测量塔 顶相对地面高度的过程如下：先在地 面处测得塔顶的仰角为 ，再向古塔方向行进后到达 处，在 处测得塔顶的仰角为 （如图所示），那么 的值约为_______ （参考数据：，结果精确到） . 1 2 3 4 5 6 7 8 5 5.（淄博博山区期中）如图，一电线杆 竖立在 山坡上，从地面的点看，测得杆顶端点 的仰角 为 ，向前走到达点，又测得杆顶端点 和杆底端点的仰角分别为 和 . （1）求 的度数； 1 2 3 4 5 6 7 8 6 解：延长交直线于点 ， 则 .由题意，得 ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （2）求该电线杆的高度.（结果精确到 ） 1 2 3 4 5 6 7 8 8 解：设 ， 由题意，得 . ,即 . . ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ， . ， ,即 . 解得 . . 答：该电线杆的高度约为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 6.如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 的高度， 沿旗杆正前方米的点 处出发，沿斜面坡度 的斜坡前进4米到达点，在点 处安置测 角仪，测得旗杆顶部的仰角为 ，量得仪器的高 为1.5米.已知点，，，， 在同一平面内， 8.7 ，，则旗杆 的高度是____米. （结果精确到0.1米.参考数据： ， ，， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 11 7.（淄博中考）如图，希望中学的教学 楼和综合楼 之间生长着一棵高度 为12.88米的白杨树 ，且其底端点 ，， 在同一条直线上， 米.在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度 测算出综合楼的高度，他在教学楼顶处测得点的仰角为 ，点 的 俯角为 .问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请 求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由.解答过程中可 直接选用表格中的数据哟！ 1 2 3 4 5 6 7 8 12 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） _____________________________________________________ 0.287 ______________________________________________________ 0.276 ___________________________________________ 0.158 _____________________________________________ 0.156 1 2 3 4 5 6 7 8 13 解：小明能运用以上数据，得到综合 楼的高度.理由如下： 作，垂足为，作 ， 垂足为 ， 由题意可知，米， 米， ， . 在中， ， （米）. 1 2 3 4 5 6 7 8 14 （米）. 米. 在中，米， ， （米）. （米）. 答：综合楼的高度约是37.00米. 1 2 3 4 5 6 7 8 15 8.（绍兴中考改编）九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学 校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量. 图1 （1）如图1，第一小组用一根木条 斜靠在护墙上，使 得与的长度相等，如果测量得到 ， 则护墙与地面的倾斜角 的度数为____ ； 76 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （2）如图2，第二小组用皮尺量得的中点离地面 的高度为1.9米， 则点离地面 的高度为____米； 3.8 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗 杆的高度，在点处测得旗杆顶端的仰角为 ，向前走4米到达 点，测得的仰角为 ，求旗杆 的高度.（结果精确到0.1米，参考 数据：，， ， ） 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 18 图3 解：延长交于点 ， 设，则 . ， . ， . ， .解得 . 答:旗杆 的高度约为5.7米. 1 2 3 4 5 6 7 8 19 $第二章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦 1 知识点1 正弦与余弦 1.（柳州中考）如图，在中， ， ，，则 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.（河池中考）在中， ，， ，则 的值是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.（兰州中考）在中， ，， ，则 ( ) D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.（攀枝花中考）在中，，，的对边分别为，， . 已知，，，则 的值为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.如图，在中，，，于点 . （1）求 的值； 解：， ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 （2）求, 的值. 解： ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 知识点2 锐角三角函数 6.（南充中考）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达 处， 再向正北方向走到处.已知 ，则， 两处相距( ) B A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 7.（滨州中考）在中， .若，则 _ ___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 8.（教材九上P30习题 变式与应用）如图，在 中， ，,, 分别表示 中,， 的对边. （1）求， ; 解：在中， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 （2）求，, ; 解：在中， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 （3）观察（1）（2）中的计算结果，若 ,试猜想 与 ， 与 之间有什么关系吗？ 解：由（1）知 ，由（2）知 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 （4）应用： ①在中， ，，则 的值为__; ②在中， ,,则 __. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 第9题图 9.（泰安泰山区期中）如图，在 中， ,,,于点 ， 设 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 第10题图 10.如图，中， ， ， 的垂直平分线交于点 ，且 ，则 的值是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 第11题图 11.（淄博张店区期中）正方形网格中， 如图所示 放置（点，均在网格的格点上，且点在 上），则 的值为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（杭州中考）在中， ， ，现给出下 列结论：；；； .其 中正确的结论是________.（只需填上正确结论的序号） ②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 13.如图，在中，，垂足为.若， ， ，则 _ _______. 第13题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 14.如图，在中，是边上的高，为 的中点，，， .求： （1）线段 的长； 解:是边 上的高， 为直角三角形. ，， . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 （2） 的值. 解:是斜边 的中点， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 15.如图，在平面直角坐标内，为原点，点 的坐标为，点 在第一象限内， ， . （1）求点 的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 解：过点作于点 ， ， ， ， . 点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 （2）求 的值. 解： ， . 在 中， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 $第二章 直角三角形的边角关系 2 ， ， 角的三角函数值 1 知识点1 特殊角的三角函数值 1.（天津中考） 的值等于( ) B A. B. C. 1 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.（防城港中考）计算： ( ) B A. B. 1 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3.计算： ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 4.（东营河口区期中）计算： （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 知识点2 由特殊角的三角函数值求角的度数 5.（怀化中考）已知 为锐角，且，则 ( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 6.（东营河口区月考）在中，与都是锐角.若 ， ，则这个三角形一定是( ) D A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 7.（白银中考）在中，,都是锐角.若， ， 则 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 8.（东营河口区月考）已知，则锐角 的度数为 ____ . 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 9.（烟台中考）在中， ，， ，则 __. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 知识点3 特殊角的三角函数值的简单应用 10.【真实问题情境】如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干 米处折断倒下，为折断处最高点，树顶落在离树根 处，测 得 ，求 的长.（结果保留根号） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 解： ， . 在 中， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 11.（教材九上P31例2变式）如图所示，秋千链子的长度为 ，静止 时秋千踏板（大小忽略不计）距地面 ，秋千向两边摆动时.若最 大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）为 ，则秋千踏板与地 面的最大距离为多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 解：设秋千链子的上端固定于 处，秋千踏板 摆动到最高位置时踏板位于处，过点， 的 铅垂线分别为，，点， 在地面上，过 点作于点 . 在中，， ， . . . 答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 12.在中，已知 ，，则 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 13.菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若 ，，则点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 14.（1）计算： ； 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）已知 是锐角，且 ,求 的值. 解： 为锐角，由得 ， 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 15.如图1，圆规两脚形成的 称为圆规的张角.一个圆规两脚均为 ，最大张角 ，你能否用该圆规画出一个半径为 的圆？ 请借助图2说明理由. 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 图2 解：是等腰三角形， ， . 过点作于点 ， ， . 能画出一个半径为 的圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 16.【阅读理解问题】（教材九上P34习题 变式与应用）阅读下面的 材料，先完成阅读填空，再按要求答题. ①，，,则 __, _ __； ②，，,则 __, ___； 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 ③，，,则 __, ____； …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角 ，都有 ___, 与 之间的关系是____________. 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （1）如图，在锐角三角形 中，利用三角函数的定义及勾股定理证 明上述你的猜想； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 解：过点作于点，则 . ， ， ， ， . . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 （2）已知为锐角且,求, 的值. 解：， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 $第二章 直角三角形的边角关系 3 用计算器求锐角的三角函数值 1 知识点1 用计算器求非特殊角的三角函数值 1.用计算器计算 的值，以下按键顺序正确的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.计算 的值是（结果精确到 ）( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3.（淄博沂源县期中）三角函数 , , 之间的大小 关系是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 4.（永州中考）下列式子错误的是( ) D A. B. • C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 5.（陕西中考）用科学计算器计算： ______ （结果精确到 ）. 10.02 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 6.用计算器求下列各式的值（结果精确到 ）： （1） ； 解：原式 （2） ； 解：原式 . （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 知识点2 用计算器求非特殊锐角的度数 7.（淄博中考）已知，运用科学计算器求锐角 时 （在开机状态下），按下的第一个键是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 8.已知，那么锐角 的度数约为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 9.在中， ，，，用计算器求 约等于 ( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 知识点3 三角函数的实际应用 10.（台州中考改编）用教室里的投影仪投影时， 可以把投影光线， 及在黑板上投影图像的 高度抽象成如图所示的 ， ， 黑板上投影图像的高度 80 ，与的夹角，则的长约为____ . （结果精确到，参考数据： ， ， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 11.（襄阳中考）襄阳东站的建成运营标志着我市正 式进入高铁时代，同时郑万高速铁路襄阳至万州段 的建设也正在推进中.如图，工程队拟沿 方向开山 修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点 处同 时施工.要使,,三点在一条直线上，工程队从 上的一点取 ，米， ，那么点 与 点间的距离是多少米？（参考数据： ， ， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 解： , . 在中， . （米）. 答：点与点 间的距离约是358.4米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 12.（东营中考）如图，在中， ， ，.若用科学计算器求 的长， 则下列按键顺序正确的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 第13题图 13.（广西中考）如图，焊接一个钢架，包括底 角为 的等腰三角形外框和 高的支柱，则 共需钢材约______.（结果取整数，参考数据： ， ， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 第14题图 14.（泰安中考）如图，某一时刻太阳光从窗 户射入房间内，与地面的夹角 ， 已知窗户的高度 ，窗台的高度 ，窗外水平遮阳篷的宽 ， 则的长度为_______（结果精确到 ， 参考数据： ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图所示,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行, 请你根据图中数据计算回答:小敏身高 ,他乘电梯会有碰头危险 吗?姚明身高 ,他乘电梯会有碰头危险吗?（参考数据: ，， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解：由题意，得 ， . 过点作交于点 ， 在中， ， 小敏乘此电梯不会有碰头危险. ， 姚明乘此电梯会有碰头危险. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 16.施工队准备在一段斜坡上铺台阶方便通行.如图，现测得斜坡上铅垂 的两棵树间的水平距离，斜面距离 ，斜坡总长 （1）求坡角的度数（结果精确到 ）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 解：依题意，得, . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 （2）若这段斜坡用厚度为 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶? （参考数据：,, , ） 解： ， 共需铺台阶 （级）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 $第二章 直角三角形的边角关系 4 解直角三角形 第2课时 已知一边、一锐角解直角三角形 1 知识点 已知一边、一锐角解直角三角形 1.（淄博沂源县期中）由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元 素的过程，叫做解直角三角形.已知一个直角三角形，有如下条件： 利用上述条件，能解这个直角三角形的是( ) B ①两条边的长度； ②两个锐角的度数； ③一个锐角的度数和一条边的长度. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 第2题图 2.如图，在中， ，， ， 则 的长是( ) D A. B. C. 5 D. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3.（泰安期中）在中， ，， ，则 的长为( ) A A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 12.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 第4题图 4.如图，在中，，是 的 平分线.已知，，则 的长为 ( ) D A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 5.在中， ， ，，则 _____， ___. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 6.（湖州中考）如图，已知菱形，对角线，相交于点 .若 ，，则 的长是___. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 7.如图，在中， ， ， ，求这个三角形的其他元素. 解： ， ， . 在中，， ， ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 8.（本课时变式）（淄博沂源县期中）解直角三角形：在 中， ，，，的对边分别为，，，已知 ， . 解： ， ， . . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 9.如图，在中，,分别是,的对边， 为斜边，如果已知两个元素, 就可以求出其他三个 未知元素,, . （1）求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一 种求解过程： 解：第一步：根据 ，求得_____； 第二步：根据，求得 _______； 第三步：根据，求得 _____； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 （2）请你分别给出, 的一个具体数值，然后按照 （1）中的思路，求出,, 的值. 解：令， ， 则 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 第10题图 10.如图，在中，， ， ，，则 的长等于( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 11.（滨州中考）如图，在中，， ，点 是延长线上的一点，且，则 的值为( ) 第11题图 A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 第12题图 12.（安徽中考）如图，在 中， ，点在上， .若 ，，则 的长为( ) C A. B. C. D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 13.如图，在四边形中， ，， ， .若，则 __. 第13题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 14.如图，将等腰直角三角形绕点 逆时针旋 转 后得到.若 ，求图中阴影部 分的面积. 解：根据题意，得 ， ， . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 15.如图，在中，已知， ， ，请 用，表示 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解：作的斜边上的中线 ， 则 ， . 过点作于点 ， 在中， ， 在中， ， 在 中， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 16.如图，在中， ， ， ，是的中点，过点作直线 的垂线，垂足为 . （1）求线段 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 解：在 中， . ， . 是 的中点， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 （2）求 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 解：在中， . 是 的中点， ， . ， 即 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 在中， ， 即的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $