精品解析：江苏省邗江中学2025-2026学年高一上学期10月检测数学试卷

2025-2026江苏省邗江中学高一上学期10月检测 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，，若，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 已知为正实数，，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值3 D. 的最小值为16 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 设关于的方程的解为，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，则__________. 13. 已知命题p：“，”是假命题，则实数的取值范围是___________. 14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算 （1）； （2）已知，求的值： 16. 设全集，集合，，其中． （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 17. 已知，，，且，证明： （1）； （2）. 18. 设. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围（用集合表示）； （3）解关于的不等式. 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； （1）写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“下位点”，又是点的上位点，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026江苏省邗江中学高一上学期10月检测 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称命题的否定是存在命题，也就是量词变化，结论要否定，从而可以作出判断. 【详解】由命题， 则是， 故选：B. 2. 如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合运算和韦恩图求解即可. 【详解】由图可知，阴影部分在M和S的公共部分中，则阴影部分在中， 又阴影部分不在P中，则阴影部分在中， 所以阴影部分为. 故选：B 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可. 【详解】，，. 故选：D. 4. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】对于A项，，因为0，所以，即，A项错误； 对于B项，例如，，而，B项错误； 对于C项，由，得，所以，C项正确； 对于D项，例如，，但，D项错误． 故选：C． 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】通过解不等式得到解集，再通过集合间的关系结合充分条件、必要条件的定义可解. 【详解】解：由，可得，即； 由，可得或，即； 是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件． 故选：C． 6. 已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出为真命题时的范围，进一步可得答案． 【详解】由，得， ，， 则当时，取最小值2，所以， 命题，则，即， 若命题均为假命题，则且，即， ∴实数的取值范围为． 故选：B. 7. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，，代入不等式求解即可 【详解】因为方程的两根分别是和， 所以，解得或， ，， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C 8. 已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，若x接近 时，函数与均为负值，显然不成立，当时，因 当时，若即时，结论显然成立．若时只要即，综上所述， 故选：B 考点：1、一元二次不等式的应用；2二次函数图像． 【方法点晴】本题主要考查的是二次函数与一元二次不等式的应用，属于难题题，当时，显然不成立；当时，因为所以仅对对称轴进行分类讨论即可． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，，若，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出集合，分和两种情况结合包含关系求解即可. 【详解】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或， 解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. 10. 已知为正实数，，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值3 D. 的最小值为16 【答案】ACD 【解析】 【分析】由基本不等式可得A正确；举反例可得B错误；反向代入结合基本不等式可得C正确；展开之后由完全平方式可得D正确； 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当 或等号成立，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 设关于的方程的解为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题意可得和为方程的两根，且，，根据韦达定理可得，，从而判断AB选项；通过化简，进而可判断C选项；令，结合题意可得方程在上的两个解为和，进而得到，可得，利用作差法即可判断D选项. 【详解】因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根，且，， 所以，即，， 又，所以， 所以，，故AB正确； 而 ，故C错误； 因为关于的方程的解为， 令，即， 所以关于的方程在上有两个解， 结合题意，可得方程在上的两个解为和， 所以， 所以， 又，且， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解决一元二次不等式解集相关问题，常常转化为对应一元二次方程的根的问题，进而结合韦达定理求解. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算． 【详解】，即， 又， 所以， 故答案为：． 13. 已知命题p：“，”是假命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，再由不等式恒成立讨论的取值即可求解. 【详解】由题可得“，恒成立”是真命题 当时，则有恒成立，符合题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后将都表示成的形式即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算 （1）； （2）已知，求的值： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 因为，所以，即， 因为， 所以， 所以原式. 16. 设全集，集合，，其中． （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【小问1详解】 ， “”是“”的必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 17. 已知，，，且，证明： （1）； （2）. 【答案】（1） 因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2） ， 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 设. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围（用集合表示）； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3） 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为. 【解析】 【分析】（1）分析可知，且是方程根，利用韦达定理运算求解； （2）分析可知，结合一次函数性质分析求解； （3）整理可得，分类讨论最高项系数的符号以及根的大小解不等式. 【小问1详解】 若关于的不等式的解集为， 可知，且是方程根， 则，解得. 【小问2详解】 当时，不等式恒成立， 整理可得， 注意到， 令，可知是关于的增函数， 可得， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 关于的不等式，整理可得， （i）若，则，解得； （ii）若，方程的根为或， 由解得； （iii）若，方程的根为和， ①当，即时，由解得或； ②当，即时，由解得； ③当，即时，由解得或； 综上所述：若，解集为； 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为. 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； （1）写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“下位点”，又是点的上位点，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值，并说明理由. 【答案】（1）“下位点”； “上位点” （2） 结论正确：点既是点的“下位点”，又是点的上位 证明：∵点是点的“上位点”， ∴，且，，，均大于0，∴ ∴，即， ∴点是点的“下位点”； 同理，，即， ∴点是点的“上位点”. （3） 由题意对任意，都成立 即总存在正整数，使不等式成立 则对任意，都成立 对任意，为正整数恒成立 所以正整数的最小值为4049. 【解析】 【分析】（1）根据上位点和下位点的定义，找出满足条件的坐标即可. （2）要判断点与点和点的上下位关系，需要根据定义分别计算相应的比值并比较大小. （3）根据条件找到满足要求的最小正整数，需要通过上下位关系列出不等式求解. 【小问1详解】 ∵, ∴的一个“下位点”可以是；的一个“上位点”可以是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $