第3章 圆锥曲线与方程（单元复习课件）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质，通过单元知识图谱和对比表格将三种曲线的范围、对称性、焦点等核心内容串联，构建起逻辑清晰的知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的分层复习策略，通过求离心率、中点弦等典型题型的逻辑推理和方程建模，培养学生数学思维与表达能力。针对训练题涵盖基础与综合题，助力个性化复习，教师可借此精准把握学情，提升复习效率。

单元复习课件 第3章 圆锥曲线与方程 苏教版2019选修第一册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能清晰阐述椭圆、双曲线、抛物线的定义。熟练掌握三种圆锥曲线的标准方程形式。 3.掌握求圆锥曲线方程的常用方法，能根据不同的已知条件选择合适的方法求曲线方程。能运用圆锥曲线的方程解决与直线与圆锥曲线位置关系相关的问题。 2. 熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、准线（椭圆和双曲线有准线，抛物线有一条准线）、渐近线（仅双曲线有）等。 单元学习目标 单元知识图谱 1. 椭圆的定义和标准方程 (1)定义 平面内与两个定点 F 1， F 2的距离的和等于① (大于｜ F 1 F 2｜)的点的轨迹 叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的② ，两焦点间的距离叫做椭圆的③ ⁠ ⁠. 集合语言： P ＝{ M ｜｜ MF 1｜＋｜ MF 2｜＝2 a ，2 a ＞｜ F 1 F 2｜}，｜ F 1 F 2｜＝2 c ，其中 a ＞ c ＞0，且 a ， c 为常数. 注意　 若2 a ＝｜ F 1 F 2｜，则动点的轨迹是线段 F 1 F 2；若2 a ＜｜ F 1 F 2｜，则动点 的轨迹不存在. 常数　 焦点　 焦距 考点串讲 2. 椭圆的几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 考点串讲 几 何 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：⑥ .对称中心：⑦ ⁠ 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0， －b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为 ⑧ ，短轴长为⑨ ⁠ 焦距 ｜F1F2｜＝2c 离心率 e＝＝∈⑩ ⁠ a，b，c的关系 ⑪ ⁠ 2a　 2b　 (0，1)　 a2＝b2＋c2　 x轴、y轴　 原点　 考点串讲 3. 双曲线的定义和标准方程 (1)定义 在平面内到两定点 F 1， F 2的距离的差的① 等于常数(小于｜ F 1 F 2｜且大 于零)的点的轨迹叫做双曲线.定点 F 1， F 2叫做双曲线的② ⁠，两焦点间的距 离叫做③ ⁠. 集合语言： P ＝{ M ｜｜｜ MF 1｜－｜ MF 2｜｜＝2 a ，2 a ＜｜ F 1 F 2｜}，｜ F 1 F 2｜＝2 c ，其中 a ， c 为常数且 a ＞0， c ＞0. a.当2 a ＝2 c 时， P 点的轨迹是④ ⁠； b.当2 a ＞2 c 时， P 点轨迹不存在. 绝对值　 焦点　 焦距　 两条射线　 考点串讲 (2)标准方程 a.中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为⑤ ( a ＞0， b ＞0)； b.中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为⑥ ( a ＞0， b ＞0). － ＝1　 － ＝1　 4. 双曲线的几何性质 (1)双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 考点串讲 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 几 何 性 质 范围 ｜x｜≥a，y∈R ｜y｜≥a，x∈R 对称性 对称轴：⑦ ；对称中心：⑧ ⁠ 焦点 F1⑨ ，F2⑩ ⁠⁠ F1⑪ ，F2⑫ ⁠ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为 ⑬ ，虚轴长为⑭ ；实半轴长为a，虚半轴长为b x轴，y轴　 原点　 (－c，0)　 (c，0) (0，－c)　 (0，c)　 2a　 2b　 (2)特殊双曲线 等轴双曲线 共轭双曲线 定 义 实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双 曲线. 如果一双曲线的实轴和虚轴分别是 另一双曲线的虚轴和实轴，那么这 两个双曲线互为共轭双曲线. 性 质 (1)a＝b；(2)e＝；(3)渐近线互相垂 直；(4)等轴双曲线上任意一点到中心的 距离是它到两焦点距离的等比中项. (1)它们有共同的渐近线；(2)它们 的四个焦点共圆；(3)它们的离心 率的倒数的平方和等于1. 5. 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F )的距离① ⁠的点的轨迹叫 做抛物线.点 F 叫做抛物线的② ，直线 l 叫做抛物线的③ ⁠. 注意　 定点 F 在定直线 l 上时，动点的轨迹为过点 F 且垂直于 l 的一条直线. 相等　 焦点　 准线　 考点串讲 6. 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 几 何 性 质 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 焦点 ④ ⁠ ⑤ ⁠ ⑥ ⁠ ⑦ ⁠ ⁠ F(，0)　 F(－，0)　 F(0，)　 F(0，－ ) 考点串讲 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 几 何 性 质 准线方程 ⑧ ⁠ ⁠ ⑨ ⁠ ⑩ ⁠ ⑪ ⁠ ⁠ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 离心率 e＝⑫ ⁠ 焦半径(其中P(x0，y0)为抛物线上任一点) ⑬ ⁠ ⁠ －x0 ⑭ ⁠ －y0 x＝－　 x＝　 y＝－　 y＝　 1　 ＋ x0　 ＋y0　 常用结论 1. 椭圆的焦点三角形 以椭圆上的点 P ( x 0， y 0)与两焦点 F 1， F 2为顶点的△ PF 1 F 2叫做焦点三角形. 如图所示，设∠ F 1 PF 2＝θ. (1)当 P 为短轴端点时，θ最大.(2) ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜· sin θ＝ b 2· ＝ b 2tan ＝ c ｜ y 0｜，当｜ y 0｜＝ b ，即 P 为短轴端点时， 取最大值，最 大值为 bc .(3)｜ PF 1｜max＝ a ＋ c ，｜ PF 1｜min＝ a － c .(4)焦点三角形的周长为2( a ＋ c ). 考点串讲 2. 双曲线的焦点三角形与焦半径 F 1， F 2分别为双曲线 － ＝1( a ＞0， b ＞0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上一 点，则 (1) ＝ ，其中θ为∠ F 1 PF 2. (2)△ PF 1 F 2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值 a . (3)当点 P ( x 0， y 0)在双曲线右支上时，｜ PF 1｜＝ ex 0＋ a ，｜ PF 2｜＝ ex 0－ a ；当 点 P ( x 0， y 0)在双曲线左支上时，｜ PF 1｜＝－ ex 0－ a ，｜ PF 2｜＝－ ex 0＋ a . (4)当点 P 在双曲线右支上时，｜ PF 1｜min＝ a ＋ c ，｜ PF 2｜min＝ c － a . 考点串讲 3. 双曲线中两个常见的直角三角形 如图所示， F 1， F 2分别为双曲线 － ＝1( a ＞0， b ＞0)的左、右焦点， A 为右 顶点，过点 F 2向渐近线引垂线，垂足为 C ，过点 A 向 x 轴引垂线交渐近线于点 B ， 则△ COF 2≌△ AOB ，且有｜OC｜＝｜OA｜＝ a ，｜F 2 C｜＝｜AB｜＝ b ，｜OF 2｜＝｜ OB ｜＝ c . 考点串讲 4.抛物线焦点弦的几个常用结论 如图，设 AB 是一条过抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)焦点 F 的弦， AB 所在直线的倾斜角为 α，若 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)， A ， B 在准线 l 上的射影分别为 A 1， B 1，则 考点串讲 (2)｜ AF ｜＝ ，｜ BF ｜＝ ，弦长｜ AB ｜＝ x 1＋ x 2＋ p ＝ ， S △ AOB ＝ ＝ ｜ OF ｜·｜ y 1－ y 2｜. (3) ＋ ＝ . (4)当 N 为准线与 x 轴的交点时，∠ ANF ＝∠ BNF . (5)通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，弦长等于2 p ，通径是过焦点的最短的弦. (6)以弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. (7)以 A 1 B 1为直径的圆与 AB 相切，切点为 F ，∠ A 1 FB 1＝90°. (8)当 M 1为 A 1 B 1的中点时， M 1 A ⊥ M 1 B . (9)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切. (1) x 1 x 2＝ ， y 1 y 2＝－ p 2. 考点串讲 题型一、求离心率的值或取值范围 1.已知椭圆和双曲线的焦点相同，, 分 别为左、右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点.若 轴，则椭圆和双曲线的离心率之 积为___. 1 解析 设，由题可知， . 因为轴，所以 ，所以椭圆和双曲线的离心率之积为 . 题型剖析 2.［江苏常州一中2024高二期中］,分别为双曲线的左、右焦点， 为双曲线左支上的任意一点.若的最小值为，则双曲线的离心率 的取值范围是______. 解析 因为,是双曲线的左、右焦点， 为双曲线左支上的任意一点， 所以，代入 ， 得，当且仅当 时取 等号，又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，所以 ,所以 . 题型一、求离心率的值或取值范围 题型剖析 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的解题方法 （1）结合定义，利用图形中几何量之间的大小关系求解； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线上等）列出所讨论的离心率 适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出离心率的值或取值范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数,一个适当的参数作为自变量来表示这个 函数，通过讨论函数的值域来求离心率的值或取值范围; （4）利用代数基本不等式:代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）构造一个一元二次方程，利用判别式大于或等于0求解. 题型一、求离心率的值或取值范围 归纳总结 题型剖析 23 题型二、圆锥曲线中的中点弦、对称问题 3.［江苏常州2025高二期中］已知抛物线上的点到焦点 的距离为6． （1）求抛物线 的方程； 【解】由题设，抛物线的准线方程为， 由抛物线定义知，可得 ， . （2）过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求直线 的方程． [解] 由题设可知，直线的斜率存在且不为0，设， , 联立抛物线方程，得，整理得 ， 则，又是线段 的中点， ，即，故 . 题型剖析 4.已知椭圆的离心率,点 在该椭圆上. （1）求椭圆 的方程; 【解】由题意知,即, .① 将点的坐标代入椭圆的方程,可得 ,② 由①②可得, . 椭圆的方程为 . （2）若,是椭圆上关于直线对称的两点,求实数 的取值范围. [解] 设,是椭圆上关于直线对称的两点,且弦 的中点 为 .由题意可知直线的斜率 ，又直线恒过定点 , 则 . 点,在椭圆上,, , , 化简可得,即， . 又 线段的中点在直线 上,, . 由得 ,或 , 解得或,即实数的取值范围是 . 题型二、圆锥曲线中的中点弦、对称问题 题型剖析 25 题型三、圆锥曲线中的定点、定值问题 5.（多选）已知抛物线，为坐标原点，直线 交抛物线于，两点. 若 ，则( ) ABD A. B.直线过定点 C.的最小值为 D. 的最小值为2 解析 由题得直线的斜率不为0,则可设直线的方程为 . 联立得，,则, .因为 ，所以,即,解得，则 ，则 ,得，所以直线的方程为,则直线过定点 ，故A,B正确； ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为 ，故C错误； 因为，所以 ，当且仅当 ，即,时，等号成立，故D正确.故选 . 题型剖析 26 圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动直线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数 何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 规律方法 题型三、圆锥曲线中的定点、定值问题 6.已知椭圆的焦距为，且过点 ． （1）求椭圆 的方程. 【解】因为焦距，即，所以 . 又因为椭圆过点，所以，解得, ， 所以椭圆的方程为 . 题型剖析 27 【证明】由题意知，直线 的斜率存在且不为0，设直线的方程为 ， 设,, .由得 ， ，, . （2）设与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（异于椭圆顶点），点为线段 的中 点， 为坐标原点． ①若点在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点 的坐标； 6.已知椭圆的焦距为，且过点 ． 因为点为线段的中点，且点在直线上，所以 ， 即，即 .所以 . 所以线段的垂直平分线的方程为，即 ， 即 .故线段的垂直平分线恒过定点 . 题型三、圆锥曲线中的定点、定值问题 题型剖析 28 ②求证：当的面积最大时，直线与 的斜率之积为定值． 6.已知椭圆的焦距为，且过点 ． （2）设与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（异于椭圆顶点），点为线段 的中 点， 为坐标原点． [解] 由弦长公式得 ，坐标原点到直线的距离 ， 所以 的面积 ,当且仅当 ， 即 时等号成立.所以取最大值时, . 所以直线与的斜率之积为定值 . 题型三、圆锥曲线中的定点、定值问题 题型剖析 29 解决圆锥曲线中的定值问题的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线 方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的 某个值，就是要求的定值.具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变 量的函数，化简消去变量即得定值． 规律方法 题型三、圆锥曲线中的定点、定值问题 题型剖析 30 题型四、圆锥曲线中的存在、探索性问题 7.在直角坐标系中，抛物线 与直线交于， 两点． （1）若，的横坐标分别为，4，求直线的方程及线段 的垂直平分线的方程. 【解】由题意可知，，则直线的斜率，线段 的中点坐标 为，所以直线的方程为，即,线段 的垂直平分线的斜率 为,所以线段的垂直平分线的方程为，即 . （2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有 ?说明理由． [解] 存在符合题意的点 ，理由如下：设点为符合题意的点， ，，直线， 的斜率分别为， ． 联立方程得 ， 因为不恒为0，所以当且仅当时，恒有，此时直线与直线 的倾斜角互 补，即，所以存在点 符合题意． 因为，所以，可得， ，从 而 ， 题型剖析 存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.一般步骤为： ①假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在; ②用待定系数法设出相关量； ③通过分析列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素（点、直线、曲线或参数）存 在，否则元素（点、直线、曲线或参数）不存在. 注：反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法. 归纳总结 题型四、圆锥曲线中的存在、探索性问题 题型剖析 32 1.［江苏南通2025高二期中］已知双曲线 的离心率为2，一个焦点在 抛物线的准线上，则 的顶点到渐近线的距离为( ) A A. B. C. D.3 解析 由题意可知，抛物线的准线方程为，则为双曲线 的一个焦点，即 ， 又因为双曲线的离心率，所以，且，解得 ， 则取双曲线的一条渐近线方程为，即，取双曲线的一个顶点 ， 则的顶点到渐近线的距离 .故选A. 针对训练 33 2.［江苏盐城八校2025高二期末联考］在平面直角坐标系中，过原点 的直线交抛物线 于另一点，且 . （1）求抛物线 的方程； 【解】由解得 或则，, 解得（负值舍去）， 抛物线 的方程为 . （2）已知,为抛物线上的两个动点，且，关于轴对称，，连接 并延长交抛物线于点 不与重合，直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标. [解] 设，,则，由题意知，直线 的斜率存在且不为0，则直线 的方程为，与 联立, 得， ，,则 ， ,则直线的方程为， ， 所以 , 直线的方程为， 直线过定点 . 针对训练 3.［江苏镇江2024高二期中］已知双曲线 的左、右顶点分别为， . （1）若过点的直线交双曲线于，两点，求直线 的斜率范围； 【解】根据题意，过点的直线的方程可设为 ， 联立得 . 因为直线交双曲线于， 两点， 所以 解得且.故直线的斜率的范围为且 . 针对训练 35 （2）过原点的直线与双曲线相交于，两点在轴的上方，直线， 与圆 的另一个交点分别为，，直线与直线的斜率分别为，，求 的值. 3.［江苏镇江2024高二期中］已知双曲线 的左、右顶点分别为， . [解] 设，由题意知，则令 , 所以直线的方程为，联立 得 .所以， . 由于，两点关于原点对称，所以 ， 令直线的斜率为,则 .所以 ， 又 ，所以，即 . 所以， ， 所以 .又，所以 . 针对训练 36 感谢聆听! $