第3章 圆锥曲线与方程（举一反三讲义·培优篇）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学圆锥曲线与方程单元复习讲义通过题型框架图系统梳理知识体系，将椭圆、双曲线、抛物线的焦点三角形、距离最值等十五大压轴题型按“定义性质-几何应用-代数运算”逻辑分层，用对比表格呈现三类曲线的通性通法与特殊技巧，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型-例题-变式”三阶训练设计，如椭圆焦点三角形问题结合余弦定理与面积公式培养数学思维，抛物线焦点弦问题通过参数方程转化提升数学语言表达能力。基础题夯实通性通法，压轴题深化综合应用，助力学生分层提升，为教师提供精准教学的典型案例与分层指导依据。

第3章 圆锥曲线与方程全章十五大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 椭圆中的焦点三角形问题 1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【解题思路】结合勾股定理及椭圆的定义求出的值，进而据此求出的面积． 【解答过程】由题可知，，又， 解得，所以焦距， 因为P在椭圆上，所以， 又因为，所以， 所以， 所以的面积为． 故选：D． 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义即可求得答案. 【解答过程】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 3．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由椭圆的定义及余弦定理进行求解． 【解答过程】在椭圆C中，，，所以. 由椭圆的定义，得. 在中，由余弦定理，得. 因为，所以， 即，所以. 所以的面积. 故选：D. 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 【答案】12 【解题思路】根据椭圆的定义可得. 【解答过程】 由椭圆可得， 由椭圆的定义可知， 故， 故答案为：12. 5．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）由（1）和结论，利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 题型2 椭圆中的距离最值问题 1．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【解答过程】由椭圆方程可知， 且焦点在x轴上，则，    因为，可知点在椭圆内， 又因为，即， 则， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立， 所以的最小值为2． 故选：A． 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案. 【解答过程】解：由题意，，， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值是25． 故选：D． 3．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的定义可知，则，则求的最小值，即求的最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【解答过程】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线距离最小即可， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C. 4．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为____________. 【答案】/ 【解题思路】设的下焦点为，由椭圆定义得出，则，当且仅当点为延长线与的交点时取等号，即可得解. 【解答过程】在椭圆中，，，则， 故是的上焦点，设的下焦点为， 由椭圆定义可得，故，如下图所示： 则， 当且仅当点为延长线与的交点时取等号. 故的最大值为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【解题思路】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【解答过程】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是. 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 1．（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据双曲线的定义结合题干求出的长，再利用余弦定理求出，进而得到，最后通过面积公式即可求出. 【解答过程】点是双曲线左支上的点，， 又，设，，解得，， 又双曲线，，， ， ， . 故选：D. 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【解答过程】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 3．（25-26高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解题思路】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解. 【解答过程】由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 故选：A. 4．（2026高二上·广东广州·专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于，两点，若，则的周长为_____________. 【答案】12 【解题思路】根据双曲线的定义求的周长. 【解答过程】如图， 由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得 ，又 ， 所以 . 所以的周长为12． 故答案为：12. 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线的焦距为是的两个焦点. (1)若双曲线的离心率为，求的方程； (2)若双曲线的实轴长为，是上一点， 使得，求三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由焦距及离心率定义计算即可得； （2）由双曲线定义结合勾股定理计算可得，再利用三角形面积公式计算即可得. 【解答过程】（1）由双曲线的焦距为，则，故， 由双曲线的离心率为，则，故， 则，故的方程为； （2）由双曲线的实轴长为，则，故， 由双曲线的焦距为，则， 由双曲线定义可知，又， 则， 即，则， 则三角形的面积. 题型4 双曲线中的距离最值问题 1．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【解题思路】求出双曲线方程，利用双曲线的性质将转化即可求解. 【解答过程】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，    设双曲线的右焦点为， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：B. 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】D 【解题思路】结合已知条件，利用双曲线的定义推出，结合曲线与圆的位置关系推出，进而求出最大值． 【解答过程】双曲线方程为，则， ， ，， 又 、分别是圆和上的点， 即、在以为圆心，半径为的圆上， ， ． 故选：D． 3．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【解答过程】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 4．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为__________. 【答案】9 【解题思路】由条件求出双曲线方程，利用双曲线的定义将转化即可求解. 【解答过程】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4， 设双曲线的右焦点为，则， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时等号成立， 故的最小值为9. 故答案为：9. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 . (1)求双曲线的方程； (2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)9 【解题思路】（1）利用待定系数法求双曲线方程； （2）首先利用双曲线的定义，结合数形结合，求距离和的最小值. 【解答过程】（1）由条件可知，，，得，， 所以双曲线方程为：； （2）∵是双曲线的左焦点， ∴，，，， 设双曲线的右焦点为，则， 由双曲线的定义可得，则， 所以 ，    当且仅当三点共线时，等号成立， 因此，的最小值为9. 题型5 抛物线中的距离最值问题 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知，为抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解题思路】根据平移关系，将问题化为已知为抛物线上的一动点，，求的最小值，结合抛物线的定义求最小值. 【解答过程】将抛物线向左平移1个单位长度，可得抛物线； 将 向左平移1个单位长度，可得点， 问题化为已知为抛物线上的一动点，， 求的最小值， 抛物线的焦点为，准线， 过作准线的垂线，垂足为， 过作准线的垂线，垂足为， 则=，当且仅当三点共线时， 取最小值为. 故选：C. 2．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义得，设圆的圆心为，半径为，当三点共线时，最小，即，进而得当三点共线时，最小，即可求解. 【解答过程】由题意有：抛物线的焦点为，准线方程为：， 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 所以， 设圆的圆心为，半径为，则， 当三点共线时，最小，此时， 所以， 所以当三点共线时，最小，所以， 所以. 故选：B.    3．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【解答过程】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为__________. 【答案】/ 【解题思路】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，利用抛物线方程和圆的方程计算即可得. 【解答过程】由题意知的准线为，设点到的距离为， 则由抛物线定义可得， 圆的圆心为，半径为，则到的距离， 则， 当且仅当都在直线上，且在下方时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 【答案】(1) (2)存在，，的最小值为13 【解题思路】（1）根据椭圆的标准方程求解椭圆的右焦点，进而求得抛物线方程； （2）利用抛物线的定义进行转化，根据三点共线解点的坐标，以及的最小值. 【解答过程】（1）由题意知，椭圆的右焦点为，则，， 所以抛物线的方程为. （2）存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，理由如下： 如图所示，根据抛物线的定义得， 所以当三点共线时，点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 此时点为直线与抛物线的交点，又直线的方程为， 联立，解得或（舍去），则点， 此时最小，且最小值为， 因此在曲线上存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 且的最小值为13. 题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题 1．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】中点弦的问题，利用点差法求解即可. 【解答过程】易知点在椭圆内部，则弦所在直线与椭圆必然有两个交点， 设过点与椭圆相交于，两点， 则， 两式相减，得 ， 又，， 所以 ，即直线的斜率为. 所以直线的方程为：，即. 故选：A. 2．（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【解答过程】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，并得到，利用点差法得到，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【解答过程】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 故选：A. 4．（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是___________. 【答案】 【解题思路】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答过程】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故答案为：. 5．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）已知椭圆离心率，且过点 (1)求椭圆的标准方程. (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点.求弦长； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求得的值. 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）由题意可知，椭圆的左焦点为， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，其方程为， 联立消去可得， ，设点、， 由韦达定理可得，， 由弦长公式可得. 题型7 双曲线的弦长与“中点弦”问题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B.    2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法求出直线斜率，再利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可求解． 【解答过程】设端点，，作图如下：    由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】易知当直线轴时，满足题意的不存在；当不垂直轴时，结合双曲线的几何性质和弦长公式建立方程求出直线的斜率即可. 【解答过程】由题意知，，则. 若直线轴时，，代入方程， 解得，所以，此时直线不满足题意； 当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时， 设，， ，消去得， 则， 所以 ， 又，所以，整理得， 得或，解得（舍去）或， 所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条. 综上，满足题意的直线有2条. 故选：C. 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则_____________． 【答案】 【解题思路】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【解答过程】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为：. 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. (3)在（2）的条件下，求弦长. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据斜率乘积得到方程，化简即可； （2）利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可； （3）联立直线与双曲线方程，再利用弦长公式即可得到答案. 【解答过程】（1）因为点，点，点， 所以，， 因为直线与直线的斜率之积是，所以， 化简得，又因为直线、的斜率存在，则. 故动点的轨迹的方程为. （2）设，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有，又为线段AB的中点， 则有，代入得， 所以，所以直线的方程为，即. 将代入双曲线方程得，， 整理得，此时， 所以直线与双曲线有两个不同的交点， 所以直线的方程为. （3）由（2）可得， 所以弦长 . 题型8 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由题可得，利用向量的坐标运算、抛物线的定义及韦达定理即可求解. 【解答过程】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 2．（25-26高二上·广东江门·期末）已知斜率为1的直线经过抛物线：（）的焦点，且被抛物线截得的弦长为6，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线的方程为，与抛物线联立，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求解. 【解答过程】由题意，设直线的方程为， 与抛物线交于 两点，设， 由消去可得：，则， 由抛物线的定义可知，所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解题思路】设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得. 【解答过程】如下图所示：    易知，不妨设； 设直线的方程为，与联立消去得， , 由韦达定理可知； 由可得；联立解得，即； 根据焦点弦公式可得； 代入计算可得. 故选：C. 4．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为____________. 【答案】13 【解题思路】求出抛物线的方程，利用弦长公式求解即可. 【解答过程】由抛物线 的焦点为 ，可得 ，即 ， 抛物线方程为 ， 过焦点 且斜率为 的直线 方程为 ， 联立抛物线方程与直线方程：， 得 ，整理得 ， 设 ， ，则 ， ， 弦长公式为： 故答案为：. 5．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线的焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）先求出抛物线的焦点坐标，根据抛物线的焦点即可写出方程； （2）设，联立方程组，利用抛物线定义，结合韦达定理求解. 【解答过程】（1）根据题意，直线与轴的交点为， 所以抛物线的焦点， 则抛物线的标准方程为； （2）设，， 当直线的斜率不存在时为，此时，不符合题意： 故设， 联立方程组，得， 则， 根据抛物线定义， 得，所以直线的方程为或. 题型9 圆锥曲线中的面积问题 1．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】讨论直线的斜率，设联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式及四边形面积公式得，求出对应面积，比较大小即可得. 【解答过程】当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 由，消去得，， ，，， 用代替可得，则， 令，故，则，当且仅当时取等号； 当直线的斜率不存在时，将代入椭圆得，则，，故， 同理，当直线的斜率为零时，，，故， 所以四边形面积的最小值为. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线过点求出直线方程，与双曲线渐近线联立求出交点坐标，再根据两点间距离公式、点到直线的距离公式及三角形面积公式求解即可. 【解答过程】双曲线的左焦点为，，，渐近线为. 直线的斜率为， 因为直线过点，所以直线方程为，即. 联立，解得，可设. 联立，解得，可设. 所以. 点到直线的距离为. 所以. 故选：D. 3．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线，为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题设直线的方程为，，进而结合向量关系，韦达定理得，再根据计算面积即可. 【解答过程】由题知直线的斜率不为，故设方程为，， 联立方程得 ， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，，解得， 所以的面积为. 故选：C. 4．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为____________． 【答案】 【解题思路】记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【解答过程】由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点，与双曲线的右支交于两点. 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 又，则，所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）结合代入法，焦点的坐标进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线互相垂直斜率的关系进行求解即可； （3）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【解答过程】（1）椭圆的左右焦点分别为， 设，则， 因为点是椭圆上一点， 则 ， 所以，从而. 所以椭圆的方程为：. （2）证明：直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，则， 由已知，所以的斜率分别为， ， 故，所以； （3）设直线，显然，由，解得或， ∴，则， 由上可知，直线， 则， 由，得，解得或， ，则， 由上可知，直线，， 由（2）知，， 则. ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 题型10 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 1．（2026·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D. 2．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点，联立直线与的方程求出，同理求出，代入并借助基本不等式求出最大值. 【解答过程】椭圆的焦点，设， 直线的方程为：，由消去， 得，则，同理， 因此. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 3．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【解答过程】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 4．（2026·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程； （2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围. 【解答过程】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 5．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知椭圆，其中，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且. (1)求椭圆的方程. (2)已知斜率分别为，的两条直线都过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，及，四点.若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）联立方程组得到韦达定理，再应用面积公式计算求解参数即得椭圆方程；    （2）设直线再联立方程组，应用弦长公式计算，再结合基本不等式计算最大值. 【解答过程】（1）依题意知，即. 设，，         由消去后整理得， ， 即，由韦达定理知，.     ， ，解得，         ，即椭圆的方程为.      （2）设直线的方程为，，. 由得， ，，         ，同理得， ，     由，设，则，， ，，，     的最大值为，当且仅当时取得最大值.    题型11 圆锥曲线中的向量问题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】先依题意写出直线的方程， 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算计算即得结果. 【解答过程】由双曲线的方程可知，右焦点坐标为， 的直线方程可设为， 设，，则， 联立可得， ，， ， ． 故选：B． 2．（25-26高三·全国·二轮复习）已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程并与抛物线联立，结合已知条件及根与系数的关系即可求解． 【解答过程】因为抛物线的焦点为， 故可设直线方程为，，， 与抛物线方程联立可得，所以， 由，可得，据此解得，即， 的面积为． 故选：B． 3．（25-26高二上·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】由椭圆方程可知点的坐标，根据向量可得，，将代入椭圆方程运算求解即可. 【解答过程】椭圆的右顶点，上顶点， 设，则， 由可得，解得，即， 又由，则， 将代入椭圆方程，得， 即，解得或（舍），所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据离心率可构造方程求得，进而得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和向量相等的坐标表示可构造方程组求得结果. 【解答过程】（1）由题意知：，解得：，椭圆方程为. （2） 由题意知：直线斜率，可设，则， 设，， 由得：， ，， ，，且， ，即，，解得：. 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【解答过程】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 题型12 椭圆中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 【答案】(1)； (2)过定点，定点坐标为. 【解题思路】（1）利用椭圆的性质计算参数即可； （2）设直线l方程及M，N坐标，先推导椭圆的第三定义，将斜率关系转化，再构造齐次化方程计算参数即可. 【解答过程】（1）设椭圆的焦距为，则， 当P为椭圆上顶点时，此时，所以， 即该椭圆方程为：； （2）过定点， 易知，由于直线l不过A点，可设， 设， 则， 所以，则， 椭圆方程可化为 ， 则， 易知，则是上述方程的两个根， 即，所以， 即，过定点. 2．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程． (2)过点且不过原点的直线与椭圆交于A，B（异于点）两点，分别记直线PA，PB的斜率为．证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】(1)将离心率和点代入计算即可； (2) 设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理表示直线PA，PB的斜率后计算证明. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，点在椭圆上， 所以， 解得， 则椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，设过点的直线方程为， 与椭圆方程联立方程组，整理得， 设交点的坐标分别为，则有， ， 因为，所以， 则 故为定值，定值为. 3．（25-26高三上·天津西青·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率定义及条件，结合的关系，可得的值，即可得答案. （2）设，，将直线与椭圆方程联立，根据韦达定理，可得，表达式，进而可得表达式，根据条件，可得，根据数量积公式，化简整理，可得或，代入直线方程，分析检验，即可得答案. 【解答过程】（1）由题意： ，解得， 所以方程是 . （2）证明：设，，联立， 消可得， 由，得， ， ， 则， 因为，所以， 又因为，所以，， 所以，即， 所以，即， 解得或，均满足， 当时，，直线过点，与已知矛盾， 当时，，直线过点， 综上，直线过定点，定点坐标为. 4．（25-26高二上·湖南·期末）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在轴上存在定点，使得为定值． 【解题思路】（1）由椭圆定义、勾股定理、直角三角形面积公式求解即可； （2）设直线与椭圆联立，设定点，由韦达定理化简数量积，让含m的项系数为 0，即可求出定点的坐标. 【解答过程】（1）设，又，则， 由得，∴解得， 故． （2）由（1）知，左焦点． 因为直线斜率不为0，可设直线的方程为， 联立直线的方程与椭圆方程，得． 设，则， ． 设定点，则， 代入得：， 令此式与无关，则，则， 此时， 因此，在轴上存在定点，使得为定值． 5．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1). (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用正方形对角线相等且面积为8计算出b，c，进而求出椭圆C的方程. （2）根据点设出直线斜截式后联立化简即可求解. （3）根据已知条件对和的关系进行先猜后证，再联立两直线方程后即可求解. 【解答过程】（1）由四边形是面积为8的正方形得：，解得， 由，解得. 综上，椭圆C的方程为：. （2）由直线MN过点，故设直线MN：，，，且有， 联立，化简得，其中， 由（1）得，则，， 则. 综上，的值为. （3）由（2）中韦达定理得，，，    根据形式先猜后证：，即，进而得，证明成立. 设过P平行于BM的直线方程为，直线AN的方程为， 联立，得，代入，得，代入直线AN的方程得. 综上，点Q在定直线上. 题型13 双曲线中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率及的值，求出的值，代入双曲线方程即可. （2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和和两根之积，根据进行化简，进而求出定点坐标. 【解答过程】（1）因为，， 所以，故的标准方程为. （2）证明：设直线的方程为，，. 由，得， 则，，， 又，则，， 因为，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，则直线过定点. 综上，直线过定点． 2．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意列方程，解方程即得答案； （2）设过 的直线方程为 ，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得到，利用两点式写出直线，两式相除得到点横坐标与的关系式，再利用韦达定理，可解出点横坐标，即得答案. 【解答过程】（1）由双曲线 的右焦点为 ，得 ， 即 ， 过 垂直于 轴的弦长为 6， 可得点在双曲线上，即 ， 联立，解方程组得：， 故双曲线 的方程为 （2）由（1）知双曲线 ，右焦点 ， 左顶点 ，右顶点 ， 设过 的直线方程为 （）， 代入双曲线方程得 整理得 设 ，，则 是上述方程的两个实根， 且 直线 的方程为， 直线 的方程为， 两式相除得， 代入 ， 计算： 由韦达定理，，代入得 ， 利用 ，解得 ， 代入得：， 因此 ，解得 ， 即 ，. 故交点 的横坐标恒为 ，即 在定直线 上. 3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线C：的焦距为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且的最小值是. (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为，，直线：与C的右支交于M，N两点. （i）求实数m的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【解题思路】（1）运用向量点积与双曲线范围最值； （2）（i）将直线与双曲线方程联立，整理为关于的一元二次方程，再利用“直线与双曲线右支交于两点”的条件，解不等式组得到参数的取值范围； （ii）先直线的斜率，利用韦达定理代入的表达式化简，最终得到定值. 【解答过程】（1）设， 则， 所以， 因为在双曲线上，所以，所以， 所以， 又因为，所以当时，取得最小值为，所以， 因为，所以，又因为焦距为所以，即， 由，可得，所以双曲线的方程为. （2）（i）设， 由，得：， 由直线与双曲线的右支交于两点，可得． 解得，所以的取值范围是； （ii）双曲线的左右顶点，斜率， 故，代入， 得 由（i）可知，可得 代入，可得 即是定值． 4．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. (1)求C的方程. (2)若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. (3)设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，定值是. 【解题思路】（1）利用中点坐标公式可得，再利用两点间距离公式即可求解C的方程； （2）利用点差法来求中点弦斜率，即可得中点弦直线方程； （3）利用直线与双曲线联立方程组，由韦达定理来证明斜率比值为定值即可. 【解答过程】（1）设，因为是以为底边的等腰三角形，所以，即， 因为，所以， 又由，所以可得，则， 即， 所以C的方程为； （2）设，，则，两式相减得. 因为P，Q关于点对称，所以，，则， 所以直线的方程为，即. （3）如图，作出符合题意的图形， 设，，直线的方程为. 由，得到，则且， 由韦达定理得，， 则 ， 即为定值，定值是. 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）由得，由点在C上求得，即可得到方程； （2）（i）设，，利用斜率公式证明； （ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（i）中结论，可求出，进而可得结论． 【解答过程】（1）因为，所以，则双曲线， 又点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． （2）证明：（i）易知，，设，， 则，，即， 而， 所以， 又，所以， 故，为定值． （ii）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以． 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点． 题型14 抛物线中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·山东淄博·期末）已知点为坐标原点，直线经过抛物线的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）抛物线的焦点的坐标为，代入直线方程解得，进而得到抛物线方程； （2）设直线的方程并与抛物线方程联立，由韦达定理得，计算并利用条件求，确定直线过的定点. 【解答过程】（1）抛物线的焦点的坐标为， 因为直线经过焦点，将代入直线方程得：，解得， 所以抛物线的方程为； （2）证明：设直线的方程为，联立，消去得， 其判别式，即， 由韦达定理得， ， 代入得：， 因为，所以，即，解得， 此时恒成立，满足条件， 直线的方程为，所以直线过定点. 2．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）由焦半径公式求出p即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解； （3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解. 【解答过程】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以 ，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以 ． 因为，， 所以，即为定值． 3．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3. (1)求的方程； (2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若直线关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据焦半径公式得，解出即可； （2）设直线方程，与抛物线方程联立方程组，设，两点坐标，利用直线，关于轴对称，结合斜率公式和韦达定理化简计算即可. 【解答过程】（1）由题意得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）证明：当直线方程为时，显然不合题意， 则可设直线的方程为，，， 由得，，即， 所以，. 因为直线，关于轴对称，所以， 即，化简，得， 所以，所以， 所以直线的方程为，恒过定点. 4．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)①； ②证明见解析 【解题思路】（1）根据题意得出点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）①设点、，可知，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出、的值，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值； ②设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理得出，求出直线、的方程，将这两直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论. 【解答过程】（1）由题意可知，点、关于轴对称， 又因为，且在轴左侧，则， 将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的标准方程为. （2）①设点、，易知抛物线的焦点为， 因为直线的斜率为，故直线的方程为， 又因为在轴左侧，结合图形可知， 联立，消去可得，解得，， 故； ②证明：如图所示： 易知点、，设点、， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，故， 因为与点不重合，故，即，同理可得， ，故直线的方程为①， 同理可知直线的方程为②， 由①②可得，即， 将代入上式得，解得， 故，解得，故点在定直线上. 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N． ①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）由抛物线的定义得到轨迹方程； （2）①设出直线的方程为，直曲联立，得到，可得，再由斜率的定义，进而可得结论；②由点斜式写出直线的方程，得到过定点，再由三角形面积公式表达出面积，结合弦长公式和二次函数的值域确定最小值. 【解答过程】（1）由题可知，点P到点的距离与到的距离相等， 所以曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为． （2）①设， 由题意可知的斜率不为0，设直线的方程为， 联立得，消去，得， 显然，所以， 直线的方程为，联立得， 消去，得，整理得， 则是方程的两根，， 所以，所以，同理可得， ， 因为，所以； ②由①知的方程为：，所以， 所以， 令，则， 所以过定点． 所以 ， 当且仅当时，面积最小，最小值为. 题型15 圆锥曲线中的存在性问题 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【解题思路】（1）根据渐近线方程设双曲线方程为，代入A点求解即可； （2）设，，直线MN的方程，结合韦达定理求出及关于k的表达式，同时根据MN的方程求出及的值，再据此求出的表达式，结合韦达定理化简该表达式即可求解t的值． 【解答过程】（1）设双曲线方程为：， 因为点在双曲线上，所以，所以， 所以双曲线的方程为． （2）如图所示， 设，，直线MN的方程为， 与双曲线方程联立可得， 即，， 则，， 直线MA的方程为， 令可得， ， 同理可得， ， 所以存在满足． 2．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，为椭圆右顶点，为椭圆上顶点，且，，为椭圆右焦点，过的直线（不与重合）与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【解题思路】（1）根据平行线的性质，结合代入法进行求解即可； （2）设出直线的方程与椭圆的方程联立，根据一元二次方程根的判别式、韦达定理，结合假设法、直线的斜率公式进行求解即可； （3）根据椭圆弦长公式，结合三角形面积公式、点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可. 【解答过程】（1）由题意得，所以， 因为∥，所以，所以， 又因为，， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 联立方程得， ， 由韦达定理得，， 假设存在点，使得， 则， 即， 即，所以， 所以，所以， 所以存在点，使得. （3）由（2）得 ， 因为点到直线的距离， 所以的面积， 令，则，， 因为当时，，当且仅当时，取等号， 所以，当且仅当，即时取最大值， 所以的面积的取值范围为. 3．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【解题思路】（1）根据双曲线方程和双曲线的性质，利用待定系数法，即可求解双曲线方程； （2）①首先求直线的方程，与双曲线方程联立，求弦长，并求点到直线的距离，再代入面积公式，即可求解；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，当直线的斜率为0时，分别求出点的坐标，再代入验证，即可求解. 【解答过程】（1）设双曲线的半焦距为． 因为点在双曲线上，得． 因为离心率为，所以， 又，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）知双曲线． ①直线斜率为，，故直线的方程为， 代入双曲线得， ，， 所以． 又点到的距离为， 故的面积为． ②设， 当直线斜率存在且不为0时，设， 代入双曲线得， ，，， 所以 ， 若为常数，则为常数， 设，为常数，则对任意的实数恒成立，， 所以，所以，此时． 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 直线斜率不存在时，， 则，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值． 4．（25-26高二下·江西九江·期末）如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． (1)求p的值； (2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析； （ⅱ）存在，. 【解题思路】（1）设，，，联立抛物线并应用韦达定理，结合已知求参数值； （2）（ⅰ）设，，，，联立抛物线并应用韦达定理及（1）结果，求得，即可证； （ⅱ）由分析得，则，进而得，应用导数几何意义求抛物线在点C处切线方程，进而得、，可证EG的中点为P，并求得，易得到直线的距离是到直线的距离和的一半，即可得. 【解答过程】（1）由题意，直线AB斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，，解得或（舍）， 所以； （2）（ⅰ）证明：直线AC斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，同理，又，所以， 直线CD斜率必存在，设， 联立，得，， 所以，解得，满足， 所以直线CD过定点，即P的坐标为； （ⅱ）由，且，，， 得， 所以直线CD的方程为，由直线CD与直线AB相交，可得， 联立，解得， 因为抛物线方程为，所以， 抛物线在点C处切线方程为， 所以，同理， 又，所以EG的中点为P， 联立，得， 由及，所以， 综上，在线段的同一侧，又是的中点， 所以到直线的距离是到直线的距离和的一半， 所以，即. 5．（2026·陕西榆林·二模）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，且当 轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)若点在轴上方，直线与圆交于两点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在. 【解题思路】（1）根据已知条件列出关于的方程，解方程； （2）联立直线与椭圆方程，求弦长，计算，根据数量关系证明； （3）与的面积之比用，表示，转化为点坐标求解. 【解答过程】（1）因为轴时，， 所以点在椭圆上，则， 又，联立解得， 所以椭圆的方程为：． （2）证明：当的斜率为零时，为椭圆长轴端点， ， 则， 当的斜率不为零时，设的方程为： ， 设， 由消去 得， ， 所以， 又， 则， 因此，即， 所以． （3）根据题意得，，， ， 则， 同理， 而，， 由（2）知， 于是，， 所以， 整理得，则 或（舍去）， 因为，而， 解得，即，所以存在点满足题意． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆锥曲线与方程全章十五大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 椭圆中的焦点三角形问题 1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 3．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 5．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 题型2 椭圆中的距离最值问题 1．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 3．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 4．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为____________. 5．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 1．（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 4．（2026高二上·广东广州·专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于，两点，若，则的周长为_____________. 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线的焦距为是的两个焦点. (1)若双曲线的离心率为，求的方程； (2)若双曲线的实轴长为，是上一点， 使得，求三角形的面积. 题型4 双曲线中的距离最值问题 1．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 3．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 4．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为__________. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 . (1)求双曲线的方程； (2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 题型5 抛物线中的距离最值问题 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知，为抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 2．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为__________. 5．（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题 1．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是___________. 5．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）已知椭圆离心率，且过点 (1)求椭圆的标准方程. (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点.求弦长； 题型7 双曲线的弦长与“中点弦”问题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则_____________． 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. (3)在（2）的条件下，求弦长. 题型8 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 2．（25-26高二上·广东江门·期末）已知斜率为1的直线经过抛物线：（）的焦点，且被抛物线截得的弦长为6，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 4．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为____________. 5．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线的焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程. 题型9 圆锥曲线中的面积问题 1．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线，为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为____________． 5．（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 题型10 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 1．（2026·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 5．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知椭圆，其中，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且. (1)求椭圆的方程. (2)已知斜率分别为，的两条直线都过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，及，四点.若，求的最大值. 题型11 圆锥曲线中的向量问题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（25-26高三·全国·二轮复习）已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 题型12 椭圆中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 2．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程． (2)过点且不过原点的直线与椭圆交于A，B（异于点）两点，分别记直线PA，PB的斜率为．证明：为定值． 3．（25-26高三上·天津西青·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 4．（25-26高二上·湖南·期末）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 5．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 题型13 双曲线中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 2．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线C：的焦距为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且的最小值是. (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为，，直线：与C的右支交于M，N两点. （i）求实数m的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 4．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. (1)求C的方程. (2)若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. (3)设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 题型14 抛物线中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·山东淄博·期末）已知点为坐标原点，直线经过抛物线的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点. 2．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 3．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3. (1)求的方程； (2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若直线关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标. 4．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N． ①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值． 题型15 圆锥曲线中的存在性问题 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，为椭圆右顶点，为椭圆上顶点，且，，为椭圆右焦点，过的直线（不与重合）与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)求的面积的取值范围． 3．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26高二下·江西九江·期末）如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． (1)求p的值； (2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 5．（2026·陕西榆林·二模）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，且当 轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)若点在轴上方，直线与圆交于两点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $