精品解析：福建省福州十八中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

福州第十八中学2025-2026学年第一学期第一次月考 高三数学试题 （满分150分 考试时间120分钟） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则等于（ ） A. {，1，3} B. {1，3} C. {0，1，2，3，4} D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ） A. B. 2 C. D. 4. 函数在上的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 点在圆上，点在直线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.85 C. 0.868 D. 0.88 7. 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 售价x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 根据表中数据得到y关于x的回归直线方程是，则下列说法正确的有（ ） A. B. 回归直线过点 C. 当时，y的估计值为12.8 D. 点处的随机误差为0.4 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为6 D. 若与的夹角为锐角，则 11. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则曲线在点处的切线方程为______. 13. 设且，则的展开式中常数项为_______． 14. 在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点到整点或的有向线段叫做一个T步，从整点A到整点B的一条T路是指由若干个T步组成的起点为A、终点为B的有向折线.则整点到整点的T路的条数为______.（结果用数字表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列中，，是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 16. 2025年漳州市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个. （1）为分析项目研发投入与最终得分的关系，收集了该领域5个项目的研发投入（单位：万元）和最终得分（单位：分），数据如下表： 研发投入 20 30 40 50 60 最终得分 66 69 76 79 84 请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； （2）从上述10个项目中随机抽取3个进行路演展示，记抽中的科技类项目个数为X，求X的分布列和数学期望. （参考公式与数据：，，，） 17. 如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知. （1）求B； （2）若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②. 18. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十八中学2025-2026学年第一学期第一次月考 高三数学试题 （满分150分 考试时间120分钟） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则等于（ ） A. {，1，3} B. {1，3} C. {0，1，2，3，4} D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可； 【详解】解：，， ． 故选：B． 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出复数，进而求出复数的共轭复数. 【详解】因为，所以，复数的共轭复数等于. 故选：B 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高． 【详解】设此圆的底面半径为，高为，母线为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形， ∴， 又，解得， 因此，此圆锥的高． 故选：C． 4. 函数在上的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用辅助角公式可得，应用余弦函数的性质求减区间，结合题设确定正确选项即可. 【详解】由题设，， 令，可得，， ∴在上的单调递减区间是. 故选：C. 5. 点在圆上，点在直线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果. 【详解】由题意可知，圆心， 所以圆心到的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 6. 某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.85 C. 0.868 D. 0.88 【答案】C 【解析】 【分析】本题先由题意得出各个事件之间的关系，再根据条件概率和全概率公式即可求解. 【详解】设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B， 事件表示提出的一台产品是第i车间生产的，， 由题意可得，， 由全概率公式得 所以该产品合格的概率为0.868. 故选：C. 7. 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 8. 一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 由，所以，所以， 作，由， 所以，又，所以， 又，， 所以， 即， 所以球的表面积的最大值为， 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 售价x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 根据表中数据得到y关于x的回归直线方程是，则下列说法正确的有（ ） A. B. 回归直线过点 C. 当时，y的估计值为12.8 D. 点处的随机误差为0.4 【答案】ABC 【解析】 【分析】先算出样本中心点，进而求出，即可判断A,B；然后将代入回归直线方程可以判断C；最后将代入回归方程算出，进而算出随机误差判断D. 【详解】由题意可知，，故回归直线过点（10,8），且，故A，B正确．当时，，故C正确．点（10.5,6）处的随机误差为，故D不正确． 故选：ABC． 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为6 D. 若与的夹角为锐角，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由平面向量垂直、平行以及模长的坐标计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】A：若，故可得，解得或，故A错误； B：当时，，此时，则，故B正确； C： ，故，当时，取得最小值，故C正确； D：若与的夹角为锐角，则，解得； 当与共线时，，解得，故，故D错误； 综上所述，正确的选项是：. 故选：BC. 11. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据椭圆的方程，以及斜率公式化简运算，可得判定A；根据椭圆的几何性质，结合正切函数的性质，可判定B；根据椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用，可判定C；设直线与椭圆相交于，结合椭圆的定义和三角形的性质，可得判定D. 【详解】对于A，由椭圆，可得，则， 设，则，可得， 所以，故A正确； 对于B，设椭圆的上顶点为C，由，可得， 则，故B错误； 对于C，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 即有最小值，故C正确； 对于D，因为，则点Q在椭圆外，由 如图所示，设直线与椭圆相交于，又， 则， 因为，且， 可得，即， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再利用点斜式，即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 故答案为：. 13. 设且，则的展开式中常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】据题意中的和展开式中的项相乘，与中的和展开式中的项相乘的结果相加，即可得到常数项. 【详解】的通项公式为， ， 的常数项为：. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点到整点或的有向线段叫做一个T步，从整点A到整点B的一条T路是指由若干个T步组成的起点为A、终点为B的有向折线.则整点到整点的T路的条数为______.（结果用数字表示） 【答案】15 【解析】 【分析】从整点到整点，记为上步，从整点到整点，记为下步，结合题意分析易得整点到整点的T步一共有6个，且上步有4个，下步有2个，进而结合组合知识求解即可. 【详解】由题意，从整点到整点，记为上步， 从整点到整点，记为下步， 不管上步还是下步，在一个T步上横坐标都增加1， 而上步纵坐标增加1，下步纵坐标减少1， 因此整点到整点的T步一共有6个， 且上步有4个，下步有2个， 因此整点到整点的T路的条数为. 故答案为：15. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列中，，是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 解：因为是和的等差中项， 可得，所以， 由，代入得，即，解得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）可得， 所以， ， 两式相减得：， 所以. 16. 2025年漳州市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个. （1）为分析项目研发投入与最终得分的关系，收集了该领域5个项目的研发投入（单位：万元）和最终得分（单位：分），数据如下表： 研发投入 20 30 40 50 60 最终得分 66 69 76 79 84 请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； （2）从上述10个项目中随机抽取3个进行路演展示，记抽中的科技类项目个数为X，求X的分布列和数学期望. （参考公式与数据：，，，） 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）先求出，，再根据公式求解即可； （2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，进而求出对应的概率值，再根据期望的公式求解即可. 【小问1详解】 ，， 因为，， 所以，， 所以回归直线方程为. 【小问2详解】 由题意，的可能取值为0，1，2，3. ，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知. （1）求B； （2）若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②. 【答案】（1）； （2）选①；选②. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简，求出，进而求出角. （2）选①：利用面积公式先求出的长，再利用余弦定理求出，即求出，进而求出；选②：首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，即求出，进而确定是直角三角形，即可求出. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 选①，因为的面积， 所以， 即，，由余弦定理得 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 选②，因为，在中，由余弦定理： ， 即， 所以， 因为， 所以， 因为平分，所以， 因为，，由正弦定理得， ，所以 ， 又，所以， 所以是直角三角形，且， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 平面，平面，， ，，， ，， 又，平面，平面， 平面，平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，然后结合勾股定理利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用平面与平面夹角的向量公式列式求得，再利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，取中点， 、、分别为轴、轴、轴正向，建立空间直角坐标系， 则，，.设， 则，，，， 取，则，为平面的法向量. 设为平面的法向量，则， 即，取，，，则. 依题意，，则. 于是，. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 在上单调递减； ，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）依题意在上恒成立，令，求出函数的导函数，再由二次函数的性质，可得二次函数必有一正一负两个零点，设其中一个零点，则，再利用导数求出的范围，从而求出的取值范围； 【小问1详解】 解：因为定义域为，且. ①若，则，所以在上单调递减. ②若，令，得. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 解：不等式在上恒成立等价于在上恒成立， 令，则. 对于二次函数，，所以其必有两个零点. 又两个零点之积为，所以两个零点一正一负， 设其中一个零点，则，即. 此时在上单调递增，在上单调递减， 故，即. 设函数，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以， 由在上单调递增，得. 故的取值范围为. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $