第一章 因式分解课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦因式分解核心知识点，涵盖概念辨析、与整式乘法的关系及简单应用。通过典例示范判断变形是否为因式分解引入，跟踪训练衔接，分层训练（基础题、中档题）搭建学习支架，帮助学生逐步构建知识脉络。 其亮点在于“典例-跟踪-分层”递进式设计，结合中考题与教材变式。利用图形辅助因式分解（如a²+5ab+4b²的图形表示）发展几何直观（数学眼光），通过整式乘法验证结果强化推理意识（数学思维）。学生能深化理解与应用，教师可直接用于教学提升效率。

第一章 因式分解 1 因式分解 1 01 典例示范 【例】 下列各式由左边到右边的变形,哪些是因式分解,哪些不是?为什么？ （1） ; [答案] 是整式的乘法,故（1）不是因式分解. （2） . 【解答】 [答案] 没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故（2）不是因式分解. 1 2 3 4 5 6 2 【跟踪训练】 （东营广饶县期中）下列等式从左到右的变形,属于因 式分解的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 3 02 分层训练 知识点1 因式分解的概念 1.（河北中考）对于 , ,从左到右的变形,表述正确的是( ) C A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解,②是乘法运算 D. ①是乘法运算,②是因式分解 1 2 3 4 5 6 4 知识点2 因式分解与整式乘法的关系 2.（淄博张店区期中）下列各式因式分解的结果是 的是 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 5 3.小明在解答“因式分解:（1）;（2） .”时,是这样 做的: 解:（1） . （2） . 请你利用因式分解与整式乘法的关系,判断他分解得对不对. 解：（1） , 分解不正确. （2） , 分解正确. 1 2 3 4 5 6 6 知识点3 因式分解的简单应用 4.（教材P4习题 变式）利用因式分解简便计算 ,正确的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 5.若多项式分解因式的结果为,则 的值 为____. 1 2 3 4 5 6 8 6.（教材P2“做一做”变式）如图,根据图形把多项式 因 式分解为________________. 1 2 3 4 5 6 9 $第一章 因式分解 回顾与思考（一） 因式分解 1 01 山东考点针对练 考点1 因式分解的意义 1.（淄博沂源县期中）下列变形： ; ; ; ,其中是因式分解的有( ) A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2.【阅读理解问题】（泰安宁阳县期中）阅读下列材料： 已知二次三项式有一个因式是,求另一个因式以及 的值. 解：设另一个因式是 , 根据题意,得 . 展开,得 . 解得 另一个因式是,的值是 . 请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式 有一个 因式是,求另一个因式以及 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 解：设另一个因式是 , 根据题意,得 . 展开,得 . 解得 另一个因式是,的值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 考点2 因式分解 3.（淄博张店区期末）式子与 的公因式是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 4.（济宁中考）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 5.因式分解： （1）（东营中考） ____________. （2）（淄博中考） _______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 6.（淄博临淄区期中节选）计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 （3） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 7.（泰安新泰市期末）阅读某同学对多项式 进行因式分解的过程,并解决问题： 解：设 , 原式 （第一步） （第二步） （第三步） .（第四步） （1）该同学第二步到第三步的变形运用了___（填序号）； C A. 提公因式法 B. 平方差公式 C. 两数和的平方公式 D. 两数差的平方公式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 （2）该同学在第三步用所设的代数式进行了代换,得到第四步的结果, 这个结果能否进一步因式分解？____（填“能”或“不能”）.如果能,直接 写出最后结果_________; 能 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解. 解：设 , 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 考点3 因式分解的应用 8.（泰安岱岳区期中）如图,整个大长方形的面积用式子表示为 ,观察图形,将这个式子因式分解为________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 9.（淄博张店区期末）若三角形的三边长,, 满足 ,则这个三角形一定是______三角形. 等腰 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 10.（淄博张店区月考）若一个正整数可以表示为 , 其中为大于2的正整数,则称为“十字数”,为 的“十字点”.例如 . （1）“十字点”为7的“十字数”为____,130的“十字点”为____； 40 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 （2）若是的“十字点”,且能被整除,其中 为大于2的正整数, 求 的值； 解：是 的“十字点”, （,且 为正整数）. . 能被 整除, 能整除2. 或 . , . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 （3）的“十字点”为,的“十字点”为,当时,求 的值. 解：的“十字点”为 , （,且 为正整数）. 的“十字点”为 , （,且 为正整数）. , . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 . . ,,且, 为正整数, , . . , 或或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解得（不合题意,舍去）或或 或19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 02 核心素养提升练 11.【阅读理解问题】请看问题：把 因式分解. 分析：这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项,而且属于平方和 的形式,要使用公式就必须添一项,随即将此项 减去, 即可得 . 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法,就把它叫做“姬曼定理”. 请你依照苏菲·姬曼的做法,将下列各式因式分解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 （1） ； 解： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 （2） . 解： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 $第一章 因式分解 3 公式法 第2课时 运用完全平方公式因式分解 1 01 典例示范 【例】 因式分解: （1） _________; （2） _____________; （3） _______________; （4） __________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 运用完全平方公式分解因式,被分解的多项式必须满足三个特点: （1）所给的多项式为三项; （2）其中有两项符号相同,并且这两项可化为两数（或两个整式） 的平方; （3）另一项为这两个数（或两个整式）的乘积（或其乘积相反数） 的两倍. 【跟踪训练】 因式分解: （1） _________; （2） ___________; （3） _____________; （4） __________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 02 分层训练 知识点1 完全平方式 1.下列式子中是完全平方式的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 2.（1）若是完全平方式,则 ___; （2）若是完全平方式,则 ____; （3）若是完全平方式,则 ____. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 知识点2 直接运用完全平方公式因式分解 3.（泰安岱岳区期末）下列各式中,能用完全平方公式分解的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 4.把下列多项式因式分解,结果正确的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 5.把下列完全平方式因式分解: （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 知识点3 先提公因式后运用完全平方公式因式分解 6.把代数式 因式分解,结果正确的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 7.因式分解: （1）（威海中考） ___________; （2）（绵阳中考） ___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 8.把下列各式因式分解: （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 知识点4 先将多项式化简,再运用公式法因式分解 9.因式分解: （1） ______________; （2） _________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 易错点1 对完全平方式理解不透 10.在多项式 中添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添 加的单项式是________________________.（写出一个即可） 答案不唯一,如:或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 易错点2 因式分解不彻底致错 11.因式分解： ,判断结果是否正确.若不正确, 请写出正确的结果. 解：不正确,正确的结果是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 12.计算 的结果为( ) C A. 100 B. 150 C. 10 000 D. 22 500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 13.（河北中考）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）. （1）取甲、乙纸片各1块,其面积和为________； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再 取乙纸片4块,还需取丙纸片___块. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.把下列各式因式分解: （1） ; 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 15.若,,求 的值. 解：当, 时, 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 16.对于二次三项式 ,可以直接用公式法因式分解为 的形式,但对于二次三项式 ,就不能直接用公式 法了,我们可以在二次三项式中先加上一项 ,使其成为 完全平方式,再减去 这项,使整个式子的值不变.于是有 . 像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添（拆）项法. （1）请用上述方法把 因式分解; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 （2）多项式有最小值吗？如果有,那么当它有最小值时 的 值是多少？ 解：原式 . 因为 , 所以原式有最小值,此时 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 $第一章 因式分解 3 公式法 第1课时 运用平方差公式因式分解 1 01 典例示范 【例】 因式分解: （1） ________________; （2） _______________; （3） ________________; （4） ___________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 运用平方差公式分解因式,被分解的多项式必须满足三个特点: （1）该多项式是一个二项式; （2）两项是差的形式; （3）每一项都能写成一个式子（可以是一个数字、单项式、多项 式）的平方的形式. 【跟踪训练】 因式分解: （1） ______________; （2） ___________; （3） _______________; （4） ________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 02 分层训练 知识点1 直接运用平方差公式因式分解 1.下列多项式中能用平方差公式因式分解的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 2.已知多项式 能用平方差公式在有理数范围内因式分解,那么在 下列四个数中 可以等于( ) C A. 9 B. 4 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 3.因式分解: （1）（深圳中考） ______________; （2）（连云港中考） ______________; （3） _________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 4.把下列各式因式分解: （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解 5.（梅州中考）对 因式分解,结果正确的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 6.（淄博中考）因式分解： __________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 7.把下列各式因式分解: （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 知识点3 用平方差公式因式分解的应用 8.若,且,则 ___. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 9.（教材P10随堂练习T3变式）如图,在边长为 的正方形纸片上, 剪去一个边长为 的小正方形,则图中阴影部分的面积为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 易错点 因式分解不彻底导致出错 10.因式分解: ,该结果________（填“正确” 或“不正确”）.若不正确,正确的结果应是______________________. 不正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 11.小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息： ,,3,,, 分别对应下列六个字：化、爱、我、数、 学、新.现将 因式分解,结果呈现的密码信息 可能是( ) C A. 我爱学 B. 爱新化 C. 我爱新化 D. 新化数学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 12.已知,,是三角形的三边长,那么式子 的值( ) B A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 不能确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知,则 ____. 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 14.把下列各式因式分解: （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 （3） ; 解：原式 . （4） ; 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 （5） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数 为“和谐数”.如,, ,因此,4,12,20都 是“和谐数”. 36和2 023这两个数是“和谐数”吗？为什么？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 解：36是和谐数,2 023不是和谐数.理由如下： 设 . 令,解得 . . 同理：,解得 . 不是偶数, 不是和谐数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 $第一章 因式分解 3 公式法 第3课时 运用特殊方法因式分解 1 知识点1 利用十字相乘法因式分解 1.阅读理解 由多项式乘法: ,将该 式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式: .示例:分解因式: . 1 2 3 4 5 2 问题解决 因式分解: （1） ______________; （2） ______________; （3） ______________; （4） ______________. 1 2 3 4 5 3 拓展训练 因式分解: （1） _______________; （2） _______________; （3） ______________; （4） _______________. 1 2 3 4 5 知识点2 利用分组分解法因式分解 2.【阅读材料】 因式分解: . 以上因式分解的方法称为分组分解法.对于四项多项式的分组,可以是“二、二分组（如此例）”,也可以是“三、一（或一、三）分组”. 根据以上阅读材料解决问题: 1 2 3 4 5 5 【跟着学】 因式分解: （_____）-（ _____） （______）____ （________） _______________. 1 2 3 4 5 6 【我也可以】 因式分解: （1） ; 解:原式 . （2） . 解:原式 . 1 2 3 4 5 7 3.若能在整数范围内因式分解,则 可取的整数有( ) D A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个 1 2 3 4 5 8 4.将下列多项式因式分解: （1） ; 解:原式 . （2） ; 解:原式 . 1 2 3 4 5 9 （3） . 解:原式 . 1 2 3 4 5 10 5.已知在中,三边长,,满足 ,则 的形状是____________. 等边三角形 1 2 3 4 5 11 【变式】 变式点:变换条件 若的三边长,,满足 , 则 的形状是____________. 直角三角形 1 2 3 4 5 12 $第一章 因式分解 2 提公因式法 1 01 典例示范 【例】 把下列各式因式分解: 【思路点拨】 先确定公因式,用多项式的每一项除以公因式,再提取公 因式. （1） ; [答案] 原式 . （2） ; [答案] 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 （3） ; [答案] 原式 . （4） ; [答案] 原式 . （5） . 【解答】 [答案] 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 用提公因式法分解因式的“四步法”: （1）确定公因式; （2）把多项式的每一项都写成含有公因式的乘积的形式; （3）把公因式提到括号前,把每一项除以公因式外的因式放到括 号内,并进行合并同类项; （4）检查提公因式后的因式里面是否还有公因式,是否存在漏项 的情况. 【跟踪训练】 把下列各式因式分解: （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 02 分层训练 知识点1 公因式 1.多项式 中各项的公因式是( ) A A. B. C. 2 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 2.指出下列多项式中各项的公因式: （1） ; 解： . （2） . 解： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 知识点2 提单项式因式分解 3.下列多项式中,能用提公因式法因式分解的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 4.把多项式 因式分解,结果正确的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 5.因式分解: （1）（广东中考） _________; （2）（株洲中考） __________; （3）（铜仁中考） _____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 6.把下列各式因式分解: （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） . 解：原式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 知识点3 提多项式因式分解 7.把下列各式因式分解: （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 8.先因式分解,再计算求值:,其中, . 解：原式 . 当, 时, 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 9.与 的公因式是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 10.（吉林中考）若,,则 ___. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.（聊城中考）因式分解： _______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 12.把下列各式因式分解: （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 13.用简便方法计算： （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 14.【阅读理解问题】阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题: . （1）上述因式分解的方法是____________; （2）因式分解: ____________; 提公因式法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 （3）猜想: 因式分解的 结果是___________.（ 为正整数） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 $