第3章 概率的进一步认识（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测中等卷 第3章 概率的进一步认识 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.52 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（24-25九年级上·河南·期末）同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25七年级下·河南开封·期末）一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（本题2分）（2024·广东·模拟预测）绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（    ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25九年级上·全国·期末）有四张形状、大小，质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将四张卡片置于暗箱摇匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（    ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 5．（本题2分）（25-26九年级上·全国·课后作业）一个不透明的盒子内装有大小、形状完全相同的3个球，其中红球1个、绿球1个、白球1个．小明随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，则两次都摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（2025·宁夏吴忠·二模）七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ）． A． B． C． D． 7．（本题2分）（25-26九年级上·全国·课后作业）三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别标有数，0，1，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，把正面的数作为b，放回后洗匀，接着再抽取一张，把正面的数作为c，则满足关于x的一元二次方程有实数根的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（本题2分）（24-25九年级·湖南株洲·自主招生）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（本题2分）（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点 B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张纸条上的数字是偶数 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案 10．（本题2分）（24-25七年级下·四川成都·期末）在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A．一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C．从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（24-25九年级上·全国·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是 ． 12．（本题2分）（24-25七年级下·山东济南·期中）一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为 ． 13．（本题2分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为 ．（结果精确到0.1） 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 14．（本题2分）（25-26九年级上·全国·单元测试）小明将转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注偶数数字（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为 ． 15．（本题2分）（25-26九年级上·重庆·阶段练习）有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是 ． 16．（本题2分）（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，连接，与原点组成．现将背面完全相同，正面分别标有、 、、 的四张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点的横坐标，从剩余的张中随机抽出一张，将该卡片上的数作为点的纵坐标，则点落在内（不含边界）的概率是 ． 17．（本题2分）（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，现从，1，2三个数中任取一个数作为方程中a的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中b的值，则取得的a，b的值能使该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是 ． 18．（本题2分）（2025·福建厦门·模拟预测）一个盒子中装有除颜色外其他都相同的个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，则盒子中约有 个红色小球． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）咸阳市博物馆是国家二级博物馆，属国家级旅游景区．如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． (1)甲停放在位置的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 20．（本题6分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝     B．东明粮画 C．青神竹编      D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是___________． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅；请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 21．（本题8分）（2026·江西·模拟预测）新素材 杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 22．（本题8分）（25-26九年级上·全国·单元测试）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格；（结果全部精确到0.1） (2)请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 23．（本题8分）（22-23七年级下·陕西汉中·期末）从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的频率 (1)填空：______，______； (2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______； (3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，表示11，表示12，表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 24．（本题8分）（25-26九年级上·全国·周测）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为唐诗、宋词、元曲、汉赋、楚辞五类（分别用A，B，C，D，E表示）．现将正面写有A，B，C，D，E的五张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上洗匀，由选手随机抽取卡片确定比赛内容．小明先从五张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回、洗匀；小梅再随机抽取一张，记下字母．请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率． 25．（本题10分）（2024·湖北·模拟预测）为落实五育并举，全面发展社会主义建设者和接班人，明智中学将德育、智育、体育、美育和劳动教育纳入了学校课程，为了解某班学生对各课程的兴趣，学校随机抽取了班级部分学生进行调查（每位学生仅选一门课程）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 课 程 类别 学 生 人 数 A道法课 8 B体育课 C美术课 11 D劳动课 15 (1)本次抽查的学生人数是 ，统计表中的 ； (2)在扇形统计图中，“D劳动课”对应的圆心角的度数是 ； (3)若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“C美术课”课程的学生人数； (4)学校决定增设“美术”“劳动”“体育”三个课后服务课程．若小张、小李随机选取三个课程中的两个，请求出他们选择相同课程的概率． 26．（本题10分）（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）． 学生平均每天阅读时长情况统计表 平均每天阅读时长x/ 人数 20 25 15 10 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了___________名学生，统计表中___________． (2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数． (3)若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数． (4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测中等卷 第3章 概率的进一步认识 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.52 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（24-25九年级上·河南·期末）同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了根据概率公式计算概率，列举法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先列举所有可能结果及符合条件的结果，再利用概率公式求解． 【规范解答】解：记菊花图案那面为正，另一面为反，同时抛掷两枚1元的硬币，有正正，正反，反正，反反四种结果， 菊花图案都朝上只有一种结果即：正正， 所以P（菊花图案都朝上）， 故选：C． 2．（本题2分）（24-25七年级下·河南开封·期末）一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了几何概率，根据题意知小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块， ∴最终停留在花形方砖上的概率为， 故选：． 3．（本题2分）（2024·广东·模拟预测）绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查模拟实验以及利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用总质量乘以样本中发芽的频率即可． 【规范解答】解：根据题意知，900这样的绿豆种子中发芽的大约有． 故选：A． 4．（本题2分）（24-25九年级上·全国·期末）有四张形状、大小，质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将四张卡片置于暗箱摇匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（    ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了概率的计算．熟练使用列举法或树状图法列出所有可能情况是解题的关键． 先判断每个算式是否正确，然后通过列举法找出四张卡片种随机抽取两张的所有可能情况，再找出两张卡片算式都正确的情况，然后根据概率公式计算即可． 【规范解答】解：算式①中，并非，该算式错误； 算式②中正确； 算式③中不能合并同类项，该算式错误； 算式④正确； 抽取两张卡片的所有情况有：①②、①③、①④、②③、②④、③④共6种， 其中抽取的两张卡片上的算式都正确的情况有：②④，共1种， 所以抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是， 故选C． 5．（本题2分）（25-26九年级上·全国·课后作业）一个不透明的盒子内装有大小、形状完全相同的3个球，其中红球1个、绿球1个、白球1个．小明随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，则两次都摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了列表法或树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明两次摸到的都是白球的情况，再利用概率公式即可求得答案，正确的运算是解题的关键． 【规范解答】解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，小明两次摸到的球都是白球的有种情况， ∴小明两次摸到的球中都是白球的概率是：． 故选：A． 6．（本题2分）（2025·宁夏吴忠·二模）七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了几何概率，关键是设小正方形板的边长，来求解出空白地板和整体正方形地板面积，由于小球不是落在空白区域就是阴影区域，利用减去小球落在空白区域的概率，即可得出结论． 【规范解答】解：如下图所示，可设小正方形④的边长为， 等腰直角三角形③和⑤相同，且直角边长为， ③与⑤面积和为， 等腰直角三角形⑦面积等于③与⑤的和， ⑦面积为， 等腰直角三角形①和②，直角边长为， ①与②的面积和为， 铺成的正方形地板面积为①面积的倍，即为． 得到空白图形①、②、③、⑤和⑦的面积和为与整体面积的比为， 小球停留在阴影部分的概率为． 故选：． 7．（本题2分）（25-26九年级上·全国·课后作业）三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别标有数，0，1，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，把正面的数作为b，放回后洗匀，接着再抽取一张，把正面的数作为c，则满足关于x的一元二次方程有实数根的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及满足关于的一元二次方程有实数根的情况数，再利用概率公式即可求得答案． 【规范解答】解：画树状图得： 则共有种等可能的结果；关于的一元二次方程有实数根，即， 由树状图可得：满足的有种情况：即，，，，，， 所以满足关于的一元二次方程有实数根的概率为：． 故选：． 8．（本题2分）（24-25九年级·湖南株洲·自主招生）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．根据题意列出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【规范解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花有：红黄、红白、红紫、黄白、黄紫、白紫，共6种情况， 当选中红黄、红白、黄紫、白紫时，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种情况， ∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率是． 故选：C． 9．（本题2分）（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点 B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张纸条上的数字是偶数 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案 【答案】C 【思路引导】本题主要考查用频率估计概率、概率的计算，掌握用频率估计概率成为解题的关键． 先根据统计图估计概率的范围，然后分别求出各选项的概率判断即可． 【规范解答】解：图中，符合该结果的频率在和之间． A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点的概率约为，不合题意； B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上的频率约为，不合题意； C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为． 故选：C． 10．（本题2分）（24-25七年级下·四川成都·期末）在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A．一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C．从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 【答案】D 【思路引导】此题考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【规范解答】解：统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率， A、一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球的概率为，故此选项不符合题意； B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3的概率为，故此选项不符合题意； C、从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率的概率为，故此选项不符合题意； D、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率为，故此选项符合题意． 故选：D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（24-25九年级上·全国·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率． 【规范解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示， 根据题意，作出树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中符合条件的可能性有2种， ∴小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是． 故答案为：． 12．（本题2分）（24-25七年级下·山东济南·期中）一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了概率的应用，会求几何图形的概率是解题的关键； 先求出阴影部分的面积和整个图形的面积，再求概率． 【规范解答】由图得，阴影部分的面积为：，整个图形的面积为， 昆虫停在阴影部分的概率为． 故答案为：． 13．（本题2分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为 ．（结果精确到0.1） 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 【答案】0.4 【思路引导】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【规范解答】解：∵表中从左往右，频率分别为0.5，0.3，0.36，0.4，0.403，0.4005，0.4002， ∴随着试验次数的增多频率稳定在0.4附近， ∴钉尖朝上的概率约为0.4， 故答案为：0.4． 14．（本题2分）（25-26九年级上·全国·单元测试）小明将转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注偶数数字（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为 ． 【答案】24 【思路引导】本题主要考查几何概率，解题的关键是根据题意得出大于8的数字的个数及概率公式．用大于8的数字的个数除以总个数对应概率列出关于n的方程，解之可得． 【规范解答】解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是， ∴， 解得：， 故答案为：24． 15．（本题2分）（25-26九年级上·重庆·阶段练习）有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列表是解题的关键． 先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【规范解答】解：根据题意列表如下： 甲 乙 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则共有25种等可能结果，其中恰好配成大小相同一套的有5种情况，故概率为：． 故答案为：． 16．（本题2分）（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，连接，与原点组成．现将背面完全相同，正面分别标有、 、、 的四张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点的横坐标，从剩余的张中随机抽出一张，将该卡片上的数作为点的纵坐标，则点落在内（不含边界）的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了画树状图法求概率，根据题意画树状图，共有种结果，其中在内的点有，，然后用概率公式即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：画树状图如下，                                       ∴共有种结果，其中在内的点有：，， ∴点落在内的概率为， 故答案为：． 17．（本题2分）（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，现从，1，2三个数中任取一个数作为方程中a的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中b的值，则取得的a，b的值能使该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了概率的应用，涉及到了一元二次方程的根的判别式，解题关键是牢记概率公式和一元二次方程根的判别式． 用画树状图依次确定满足方程有两个不相等的实数根的情况数和总的情况数，再利用概率公式求解即可． 【规范解答】解：根据题意画树状图如下： 共有6种等可能的情况， ， 时方程有两个不相等的实数根， 当和时，这两种情况均有，即方程有两个不相等的实数根， ∴取得的a，b的值能使该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是， 故答案为：． 18．（本题2分）（2025·福建厦门·模拟预测）一个盒子中装有除颜色外其他都相同的个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，则盒子中约有 个红色小球． 【答案】20 【思路引导】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意，得到摸取到红色小球的概率为，设盒子里有个红色小球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：∵摸取到红色小球的频率稳定在左右， ∴摸取到红色小球的概率为， 设盒子里有个红色小球， 由题意，得：， 解得：， 故盒子中约有个红色小球， 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）咸阳市博物馆是国家二级博物馆，属国家级旅游景区．如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． (1)甲停放在位置的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 20．（本题6分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝     B．东明粮画 C．青神竹编      D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是___________． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅；请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】 本题考查了随机事件的概率计算，包括一步随机事件的概率和两步随机事件的概率．解题的关键是明确概率的计算公式（概率所求情况数与总情况数之比），并通过列表或树状图清晰呈现两步随机事件的所有可能结果． （1）确定总情况数为4，选中“青神竹编”的情况数为1，根据概率公式计算即可； （2）通过列表或树状图列出所有可能的选择结果，找出两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数，再结合概率公式求解． 【规范解答】（1）解：总共有4幅图，随机选择一幅，选中“C．青神竹编”的情况只有1种．根据概率公式，所求概率为． 故答案为：． （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数为2． 所以两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 21．（本题8分）（2026·江西·模拟预测）新素材 杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，说明见解析 【思路引导】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，根据概率判断游戏的公平性是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）用列表或画树状图的方法先计算出小明和小颖赢的概率，比较大小，判断游戏是否公平即可． 【规范解答】（1）解：因为3张卡片有2张正面印着杜鹃花，从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是， 故答案为：； （2）解：将印着杜鹃花的2张卡片分别记为，，将印着香樟树的卡片记为B． 方法一：根据题意，列表如下． B B 由表格可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∴这个游戏不公平．     方法二：根据题意，画树状图如下． 由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图案相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∵ ∴这个游戏不公平． 22．（本题8分）（25-26九年级上·全国·单元测试）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格；（结果全部精确到0.1） (2)请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)472；0.6 (2)0.6，0.6 (3) 【思路引导】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数． （2）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是0.6． （3）可根据获得“洗衣粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角． 【规范解答】（1）解：； ． （2）解：估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6； 故答案为：0.6；0.6． （3）解：， 所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是． 23．（本题8分）（22-23七年级下·陕西汉中·期末）从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的频率 (1)填空：______，______； (2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______； (3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，表示11，表示12，表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 【答案】(1)30， (2) (3)这个游戏对双方不公平，理由见详解 【思路引导】本题主要考查了概率与游戏的公平，理解题意是正确解答此题的关键． （1）根据表格中的数据计算即可； （2）从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率； （3）分别求得概率再比较可得结论不公平． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：30，； （2）解：从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率为， 故答案为：； （3）解：不公平， 理由：∵在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个， ∴甲方赢的概率为，乙方赢的概率为， 由于， 所以这个游戏对双方不公平． 24．（本题8分）（25-26九年级上·全国·周测）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为唐诗、宋词、元曲、汉赋、楚辞五类（分别用A，B，C，D，E表示）．现将正面写有A，B，C，D，E的五张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上洗匀，由选手随机抽取卡片确定比赛内容．小明先从五张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回、洗匀；小梅再随机抽取一张，记下字母．请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率． 【答案】 【思路引导】本题考查了列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键． 用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【规范解答】解：根据题意，画树状图如图． 由图可知，共有种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的结果有5种， 小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为． 25．（本题10分）（2024·湖北·模拟预测）为落实五育并举，全面发展社会主义建设者和接班人，明智中学将德育、智育、体育、美育和劳动教育纳入了学校课程，为了解某班学生对各课程的兴趣，学校随机抽取了班级部分学生进行调查（每位学生仅选一门课程）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 课 程 类别 学 生 人 数 A道法课 8 B体育课 C美术课 11 D劳动课 15 (1)本次抽查的学生人数是 ，统计表中的 ； (2)在扇形统计图中，“D劳动课”对应的圆心角的度数是 ； (3)若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“C美术课”课程的学生人数； (4)学校决定增设“美术”“劳动”“体育”三个课后服务课程．若小张、小李随机选取三个课程中的两个，请求出他们选择相同课程的概率． 【答案】(1)50，16 (2) (3)估计该校学生选择“C美术课”课程的学生人数是264人 (4)他们选择相同课程的概率是． 【思路引导】本题考查利用统计表和扇形图解决问题，利用列表法求概率，解决问题的关键是从统计表和扇形图中获得同一个要素的数值和百分比． （1）根据道法课的人数和所占的百分比求出总人数，即可求出体育课的人数； （2）求出劳动课所占的比例，再乘以即可求出圆心角的度数； （3）用该校的人数乘以美术课的人数所占的百分比即可得出答案； （4）设“美术”“劳动”“体育”分别为，，，那么小李的选择有可能是：，，，小张的选择有可能是：，，，然后列表即可求得答案． 【规范解答】（1）解：总人数为：（人） 那么体育课的人数为：（人），即， 故答案为：50，16； （2）解：D劳动课的人数为15人，那么圆心角度数为：， 故答案为：； （3）解：（人） 答：估计该校学生选择“C美术课”课程的学生人数是264人． （4）解：设“美术”“劳动”“体育”分别为，，， 那么小李的选择有可能是：，，， 小张的选择有可能是：，，， 列出表格如下： 小李         小张 、 、 、 、 、 、 、 、 、 一共有9种结果，选择相同课程的结果有3个， 那么他们选择相同课程的概率， 答：他们选择相同课程的概率是． 26．（本题10分）（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）． 学生平均每天阅读时长情况统计表 平均每天阅读时长x/ 人数 20 25 15 10 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了___________名学生，统计表中___________． (2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数． (3)若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数． (4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率． 【答案】(1) (2) (3)人 (4) 【思路引导】（1）利用平均每天阅读时长为的人数除以其所占百分比，即可得到本次调查抽取总人数，再利用总人数乘以平均每天阅读时长为的人数所占百分比即可求出值； （2）利用乘以平均每天阅读时长为“”的人数所占比，即可解题； （3）利用乘以平均每天阅读时长为“”的学生人数所占比，即可解题； （4）根据题意画出树状图从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可． 【规范解答】（1）解：本次调查抽取人数为：（人）， （人）， 故答案为：； （2）解：扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数为：； （3）解：（人）， 答：平均每天阅读时长为“”的学生人数有人． （4）解：根据题意画树状图如下： 总共有种情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的情况数有种， 该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率为． 【考点剖析】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，求扇形统计图对应的圆心角度数，能从统计图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $