第3章 概率的进一步认识（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第3章 概率的进一步认识 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了列举法求概率．列举出所有三种马排列情况，再利用概率公式求解即可． 【规范解答】解：设上马为，中马为，下马为， 三种马排列情况共有，，，，，， 符合要求的有，，， 所以租到是A类即租到上马的概率为． 故选：A． 2．（本题2分）（2025·安徽亳州·三模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故选：． 3．（本题2分）（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布” D．一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球 【答案】D 【思路引导】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案． 【规范解答】解：A、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率为，故A选项错误，不符合题意； B、抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数的概率为，故B选项错误，不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布”的概率为，故C选项错误，不符合题意； D、一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球的概率为，符合题意； 故选：D． 4．（本题2分）（24-25九年级上·河南南阳·期末）一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复实验中事件发生的概率求解即可． 【规范解答】解：观察统计图发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近， 摸到白球的概率会接近， 袋中白球的个数为， 估计袋子中共有（个）球， 可估计袋子中黑球的个数为（个）， 故选：C． 5．（本题2分）（2024·广西南宁·一模）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查列表格或树状图求概率，掌握列表格或树状图求概率的一般步骤是解题的关键．先列出表格，利用概率公式求出四种情况的概率，再比较即可． 【规范解答】解：根据题意列表如下： 第一次第二次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 0 1 2 3 2 3 0 1 2 3 0 3 0 1 2 3 0 1 4 1 2 3 0 1 2 5 2 3 0 1 2 3 6 3 0 1 2 3 0 朝上的面上的两个数字之和除以4，余数为0的有9个，； 余数为1的有8个，； 余数为2的有9个，； 余数为3的有10个， ， 最大． 故选：D 6．（本题2分）（24-25九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（   ）个 A．15 B．8 C．16 D．18 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【规范解答】解：设袋子中黄球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中黄球约有15个， 故选：A． 7．（本题2分）（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）有4根细木棒，它们的长度分别是、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【思路引导】本题考查了列表法或树状图法，三角形的三边关系．利用树形图列举法得到所有4种等可能的结果，再根据三角形的三边关系得到能够组成三角形的结果有3种，然后根据概率公式求解即可． 【规范解答】解：从4根细木棒中随机抽出3根木棒，共有4种等可能的结果，分别为3、5、7；3、5、9；3、7、9；5、7、9，其中能够组成三角形的结果有3、5、7；3、7、9；5、7、9，共3种， ∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是， 故选：C． 8．（本题2分）（2023九年级上·广东深圳·竞赛）的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【答案】A 【思路引导】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键． 给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论． 【规范解答】解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 9．（本题2分）（2024九年级·全国·竞赛）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了加减消元法解二元一次方程，列举法求概率．熟练掌握加减消元法解二元一次方程，列举法求概率是解题的关键． 解，可得，当时，方程组无解；当时，，，由题意知，，，当时，，，解得，，，， 则当时，；当时，；当时，；当时，，，解得，，，，当时，；然后求概率即可． 【规范解答】解：， 得，， 当时，方程组无解； 当时，， 将代入①得，， ∵二元一次方程组只有非负解， ∴，， 当时，，， 解得，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，， 解得，，，， 当时，； 综上，共有种等可能的结果，其中只有非负解有种等可能的结果， ∴只有非负解的概率为， 故选：D． 10．（本题2分）（2021·辽宁抚顺·模拟预测）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动，最后停留在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据菱形和等腰三角形性质，得；根据菱形和余角性质，得，从而得；结合三角形面积计算公式分析，分别得阴影部分面积和部分重叠的两个菱形面积，结合概率的性质计算，即可得到答案． 【规范解答】如图， ∵两个菱形相同 ∴ ∴ 又∵两个菱形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分面积， ∴部分重叠的两个菱形面积-阴影部分面积 ∴最后停留在阴影部分的概率 故选：B． 【考点剖析】本题考查了菱形、余角、等腰三角形、概率的知识；解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、概率的性质，从而完成求解． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（24-25九年级上·山东日照·期末）有红、白、蓝三个除颜色外完全一样的口袋，每个口袋内分别装有一个与口袋颜色一致的小球，小球除颜色外其它均相同．先将口袋内的小球都取出洗匀，由一名蒙眼睛的同学随机往三个口袋内分别装一只小球，每个口袋和袋内小球的颜色都不匹配的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，列表如下： 红色口袋 白色口袋 蓝色口袋 红球 白球 蓝球 红球 蓝球 白球 白球 红球 蓝球 白球 蓝球 红球 蓝球 红球 白球 蓝球 白球 红球 共6种等可能的结果，其中每个口袋和袋内小球的颜色都不匹配的概率的结果有2种； ∴． 12．（本题2分）（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，随机闭合开关、、中的两个，则只能让灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了列表法或树状图法，概率公式，弄清题中的电路图是解答本题的关键． 画出树状图得到共有的等可能的情况数，再找出符合要求的情况数，根据概率公式即可求解． 【规范解答】解：画树状图，如图所示： 共有种等可能的情况数，其中能让灯泡发光的有种， 则只能让灯泡发光的概率为， 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高统计如下： 组别 人数 5 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是 ． 【答案】 【思路引导】考查了求概率，解题关键是直接利用了简单概率求解公式． 由表可得身高不低于为，共抽取了名九年级男生，再根据概率公式求解． 【规范解答】解：∵抽取了名九年级男生中有名男生身高不低于， ∴抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是； 故答案是：； 14．（本题2分）（24-25九年级上·重庆北碚·期末）高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查列表法或树状图法求解析式，根据题意画出树状图，找到所有组合及需要组合即可得到答案； 【规范解答】解：由题意可得，树状图如图所示， ， 总共有：种组合，需要的有2种， ∴， 故答案为：． 15．（本题2分）（24-25九年级上·四川·阶段练习）现有6张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有解的概率为 ． 【答案】 【思路引导】根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，再根据分式方程有解，求出a的取值范围，综合两个结果即可得出答案． 【规范解答】一元二次方程有实数根， ∴. ∴， ∴，1，2， 关于的分式方程的解为：， 且且， 解得：且， ∴， ∴使得关于的一元二次方程， 有实数根，且关于的分式方程有解的概率为：. 故答案为： 【考点剖析】本题考查一元二次方程有实数根、分式方程有解和概率的计算公式，掌握一元二次方程有实数根和分式方程有解是解题的关键． 16．（本题2分）（2024·四川成都·二模）为了庆祝“六一儿童节”，育才初一年级同学在班会课进行了趣味活动，小舟同学在模板上画出一个菱形，将它以点为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后得到如图所示的图形，其中，，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为 ．    【答案】 【思路引导】连接BD、AC、OA、OC．先求得菱形ABCD的面积和△ACO的面积，然后可求得四边形ABCO和凹四边形ADCO的面积，最后依据它们的面积比进行求解即可． 【规范解答】解：连接BD、AC、OA、OC，AC与BD相交于点E．    ∵ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝， ∴∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形． ∴BD＝AB＝． ∴AE＝ABsin60°＝×＝6． ∴AC=2 AE =12． ∴＝BD•AC＝24． ∴． 由旋转的性质可知OC＝OA，∠COA＝90°， ∴OC＝AC＝×12＝6． ∴△AOC的面积＝OC•OA＝36． ∴ ＝， ． ∴命中阴影部分的概率． 故答案为：. 【考点剖析】本题主要考查的是几何概率问题，解答本题主要应用了菱形的性质、旋转的性质，求得四边形ABCO和凹四边形ADCO的面积是解题的关键． 17．（本题2分）（24-25九年级下·全国·单元测试）哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方 ．(填“公平”或“不公平”) 【答案】不公平 【规范解答】列树状图得： 共有9种情况，和为偶数的有5种，所以哥哥赢的概率是，那么弟弟赢的概率是，所以该游戏对双方不公平． 点睛：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 18．（本题2分）（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“芒种”“秋分”“小雪”四张邮票中的两张送给好朋友小翠．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小翠从中随机抽取两张，则小翠抽到的两张邮票恰好是“立春”和“小雪”的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查列表法或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键； 设“立春”“芒种”“秋分”“小雪”四张邮票分别为A、B、C、D，画树状图，由图则得可能所有可能结果数，及抽到的两张邮票恰好是“立春”和“小雪”的结果数，即可求得概率． 【规范解答】解：设“立春”“芒种”“秋分”“小雪”四张邮票分别为A、B、C、D，画树状图如下： 由图知，共有12种等可能结果，而小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“小雪”的可能结果有2种， 则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“小雪”的概率为：． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）2025一汽红旗长春马拉松于5月25日鸣枪开赛，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，被随机分配到A“马拉松”，B“半程马拉松”和C“健康跑”三个项目组． (1)小智被分配到A“马拉松”项目组的概率为____________． (2)用画树状图（或列表）的方法，求小智和小慧被分到同一个项目组的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵随机分配到A“马拉松”，B“半程马拉松”和C“健康跑”三个项目组， ∴小智被分配到A“马拉松”项目组的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由图可知共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组的情况有3种， ∴小智和小慧被分到同一个项目组的概率为． 20．（本题6分）（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）为更好的开展党史知识进校园活动，了解学生对党史知识的掌握程度，某校随机抽取了部分学生进行党史知识测试．并将测试结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格．将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查了___________名学生，在扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为___________度； (2)补全条形统计图（并标注频数）； (3)在测试成绩为“优秀”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动，请用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50，72 (2)频数20，图形见解析 (3) 【思路引导】（1）结合条形统计图和扇形统计图，根据A的人数和比例即可求出总数，用B的人数除以总人数再乘以360度即可得到B所占的圆心角； （2）用总人数减去A、B、D的人数即可得到C的人数，从而补全条形图； （3）画出树状图求解即可． 本题考查统计图表，理解图中数据含义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由图可知测试结果为A的人数为15，占了总人数的， ∴本次调查的学生人数为：（名）， ∴扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为， 故答案为：50，72； （2）解：的人数为：（名）， 补全条形统计图如下： ； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种， ∴被选中的两人恰好是一男一女的概率是． 21．（本题8分）（24-25九年级上·四川泸州·期末）甲乙两位选手参加学校组织的“经典诵读”决赛，规则是以现场抽乒乓球的方式确定参赛题目．一个不透明的纸箱中装有三个形状、大小、质地等完全相同的乒乓球，乒乓球上分别有、、三个题目的编号．甲先从纸箱中随机抽取一个乒乓球，工作人员记录后放回搅匀，再由乙从中随机抽取一个乒乓球，选手按各自抽取的题目进行比赛． (1)选手甲选中题目的概率是　　　； (2)请用列表法或画树状图法求甲和乙选中不同题目的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了用列表法或画树形图法求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）画树状图列举出所有情况，看甲和乙所选中不同题目的情况数占总情况数的多少即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：选手甲选中题目A的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，选中不同题目的结果有6种， ∴甲和乙选中不同题目的概率 22．（本题8分）（24-25九年级上·山西晋城·期末）2020年元旦前夕“新型冠状病毒”爆发，疫情就是命令，防控就是使命．全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当，舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起抗击疫情的钢铁长城．下面是2月9日当天全国部分省市驰援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．请解答下列问题： (1)①下述省市2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为 ． ②请将条形统计图补充完整． (2)请求出扇形统计图中“山西”所对应的圆心角的度数 ． (3)本次山西驰援武汉的医护工作者中，有5人报名去重症区，李医生和王医生就在其中，若从报名的5人中随机安排2人去，请用树状图或表格求同时安排到李医生和王医生的概率． 【答案】(1)①5000；②见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查扇形图与条形统计图，列表或画树状图求概率，读懂扇形图与条形图相关信息是解题的关键。 （1）①根据辽宁的人数和所占的百分比求出2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数； ②先求出江苏、浙江和山东所占的百分比，再用整体1减去各省份所占的百分比，求出山西所占的百分比，再用总人数乘以山西所占的百分比即可补全统计图； （2）用山西所占的百分比乘以即可得出答案； （3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和同时安排王医生和李医生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【规范解答】（1）解：（1）①2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为（人）， ②江苏所占的百分比是：； 浙江所占的百分比是：； 山东所占的百分比是：； 则山西所占的百分比是：， 山西的人数是（人），补图如下： 故答案为：5000； （2）解：“山西”所对应扇形的圆心角的度数是； 故答案为： （3）解：这5名医护工作者分别用1，2，3，4，5表示，其中李医生用1表示，王医生用2表示，根据题意画图如下： 共有20种等可能情况，其中同时安排李医生和王医生的有2种， 则同时安排王医生和李医生的概率是＝． 23．（本题8分）（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)参加这次调查的学生人数为_______，图①中m的值为_________； (2)求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数_______； (3)通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率． 【答案】(1)40，15 (2) (3) 【思路引导】本题考查了条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据每天使用手机为2小时的人数除以其所占的百分比求出调查总人数；根据每天使用手机为4小时的人数除以调查的总人数即可得的值； （2）利用乘以每天使用手机为4小时的人数所占的百分比即可得； （3）将三位男同学分别记为，一位女同学记为，先画出树状图，从而可得从四位同学（三男一女）中任选两位同学的所有等可能的结果，再找出选中两男的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【规范解答】（1）解：参加这次调查的学生人数为（人）， 则， 所以， 故答案为：40，15． （2）解：， 即参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为， 故答案为：． （3）解：将三位男同学分别记为，一位女同学记为， 由题意，画出树状图如下： 由图可知，从四位同学（三男一女）中任选两位同学共有12种等可能的结果，其中，选中两男的结果有6种， 所以选中两男的概率为， 答：选中两男的概率为． 24．（本题8分）（21-22九年级下·福建福州·期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 【答案】(1)； (2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析 【思路引导】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可； （2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可． 【规范解答】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为； （2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元）， ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元）， ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元）， 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算． 【考点剖析】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提． 25．（本题10分）（2022·福建泉州·一模）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图： 种类 数量（份） A 1800 2300 900 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______． (2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率； (3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价． ①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价； ②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？ 【答案】(1)12 (2) (3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元 【思路引导】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字； （2）根据题意画树状图，即可解答； （3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答． 【规范解答】（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为（份）， 对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（A+B）一共为（份），因此中位数为B午餐的费用，即为12． 故答案为：12； （2）树状图如下：     根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况， ∴小芳选择“”组合的概率为； （3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元， 平均利润为：（元），    ∵，因此应调低午餐单价；                                    ②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元）， 调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元）， 调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元）， 当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元． 【考点剖析】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键． 26．（本题10分）（2024·江苏泰州·中考真题）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？ 【答案】(1)，树状图见详解； (2)不公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数； (3)2次． 【思路引导】（1）根据题意，绘制树状图，分析可知小军行动路线共有12种可能情况，可进入中心的有4种可能情况，进而计算进入迷宫中心的概率． （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． （3）可设小军次进入迷宫中心，根据题意设不等式，解不等式即可． 【规范解答】（1）树状图如下： 由树状图可知，进入者可能有12种结果，可进入迷宫中心的结果有4种，故小军能进入迷宫中心的概率为． （2）不公平，理由如下： 方法一：由树状图可知，， ，． 所以不公平． 方法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平． 方法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率． ，， 所以不公平． 要想游戏公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数． （3）设小军次进入迷宫中心，则， 解之得． 所以小军至少2次进入迷宫中心． 【考点剖析】本题主要考查了列举法求概率的运用，准确绘制树状图并加以分析是解题关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第3章 概率的进一步认识 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（2025·安徽亳州·三模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布” D．一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球 4．（本题2分）（24-25九年级上·河南南阳·期末）一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（2024·广西南宁·一模）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（24-25九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（   ）个 A．15 B．8 C．16 D．18 7．（本题2分）（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）有4根细木棒，它们的长度分别是、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（   ） A． B． C． D．1 8．（本题2分）（2023九年级上·广东深圳·竞赛）的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 9．（本题2分）（2024九年级·全国·竞赛）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（本题2分）（2021·辽宁抚顺·模拟预测）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动，最后停留在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（24-25九年级上·山东日照·期末）有红、白、蓝三个除颜色外完全一样的口袋，每个口袋内分别装有一个与口袋颜色一致的小球，小球除颜色外其它均相同．先将口袋内的小球都取出洗匀，由一名蒙眼睛的同学随机往三个口袋内分别装一只小球，每个口袋和袋内小球的颜色都不匹配的概率是 ． 12．（本题2分）（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，随机闭合开关、、中的两个，则只能让灯泡发光的概率为 ． 13．（本题2分）（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高统计如下： 组别 人数 5 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是 ． 14．（本题2分）（24-25九年级上·重庆北碚·期末）高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为 ． 15．（本题2分）（24-25九年级上·四川·阶段练习）现有6张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有解的概率为 ． 16．（本题2分）（2024·四川成都·二模）为了庆祝“六一儿童节”，育才初一年级同学在班会课进行了趣味活动，小舟同学在模板上画出一个菱形，将它以点为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后得到如图所示的图形，其中，，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为 ．    17．（本题2分）（24-25九年级下·全国·单元测试）哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方 ．(填“公平”或“不公平”) 18．（本题2分）（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“芒种”“秋分”“小雪”四张邮票中的两张送给好朋友小翠．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小翠从中随机抽取两张，则小翠抽到的两张邮票恰好是“立春”和“小雪”的概率是 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）2025一汽红旗长春马拉松于5月25日鸣枪开赛，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，被随机分配到A“马拉松”，B“半程马拉松”和C“健康跑”三个项目组． (1)小智被分配到A“马拉松”项目组的概率为____________． (2)用画树状图（或列表）的方法，求小智和小慧被分到同一个项目组的概率． 20．（本题6分）（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）为更好的开展党史知识进校园活动，了解学生对党史知识的掌握程度，某校随机抽取了部分学生进行党史知识测试．并将测试结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格．将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查了___________名学生，在扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为___________度； (2)补全条形统计图（并标注频数）； (3)在测试成绩为“优秀”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动，请用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率． 21．（本题8分）（24-25九年级上·四川泸州·期末）甲乙两位选手参加学校组织的“经典诵读”决赛，规则是以现场抽乒乓球的方式确定参赛题目．一个不透明的纸箱中装有三个形状、大小、质地等完全相同的乒乓球，乒乓球上分别有、、三个题目的编号．甲先从纸箱中随机抽取一个乒乓球，工作人员记录后放回搅匀，再由乙从中随机抽取一个乒乓球，选手按各自抽取的题目进行比赛． (1)选手甲选中题目的概率是　　　； (2)请用列表法或画树状图法求甲和乙选中不同题目的概率． 22．（本题8分）（24-25九年级上·山西晋城·期末）2020年元旦前夕“新型冠状病毒”爆发，疫情就是命令，防控就是使命．全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当，舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起抗击疫情的钢铁长城．下面是2月9日当天全国部分省市驰援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．请解答下列问题： (1)①下述省市2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为 ． ②请将条形统计图补充完整． (2)请求出扇形统计图中“山西”所对应的圆心角的度数 ． (3)本次山西驰援武汉的医护工作者中，有5人报名去重症区，李医生和王医生就在其中，若从报名的5人中随机安排2人去，请用树状图或表格求同时安排到李医生和王医生的概率． 23．（本题8分）（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)参加这次调查的学生人数为_______，图①中m的值为_________； (2)求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数_______； (3)通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率． 24．（本题8分）（21-22九年级下·福建福州·期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 25．（本题10分）（2022·福建泉州·一模）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图： 种类 数量（份） A 1800 2300 900 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______． (2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率； (3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价． ①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价； ②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？ 26．（本题10分）（2024·江苏泰州·中考真题）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？ 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $