专题3.2 用频率估计概率（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点讲练讲义

专题3.2 用频率估计概率 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：频率与概率的定义 1 知识点梳理02：频率与概率的关系 1 知识点梳理03：利用频率估计概率 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：求某事件的频率 2 考点2：由频率估计概率 6 考点3：用频率估计概率的综合应用 10 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 24 知识点梳理01：频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，即频率 =。 概率：事件A的频率接近某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。 知识点梳理02：频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的。当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近。 概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。 频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，只有在大量重复试验的条件下才可以近似地作为这个事件的概率。 频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的。 知识点梳理03：利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率。 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。 考点1：求某事件的频率 【典例精讲】．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 【答案】(1)0.58 (2)0.6 (3) 【思路引导】本题考查用频率估计概率，概率公式． （1）用摸到白球的次数除以摸球的次数即可； （2）根据表格数据，用频率估计概率； （3）利用概率公式求解． 【规范解答】（1）解：表中， 故答案为：0.58； （2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6， 所以摸到白球的概率的估计值是0.6， 故答案为：0.6； （3）解：（2）中情况下，白球的个数为：（个）， 添加4个黑球后，摸到白球的概率为：， 即此时摸到白球的概率是． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀． (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为． 【答案】(1) (2) (3)往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为 【思路引导】此题考查概率公式，解答的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）利用频率计算公式直接求出答案； （2）利用概率计算公式直接求出答案； （3）通过计算可得盒子中白球的数量变为8，由此得出往盒子中放入3个白球，取出3个黑球即可． 【规范解答】（1）解：试验20次，摸出白球6次，则摸出白球的频率， 故答案为：． （2）解：袋子中有黑球15个，总球数为个， 则摸到黑球的概率为． 答：摸到黑球的概率为． （3）解：盒子中白球的数量变为（个）， （个）． 答：往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为． 【变式训练2】（24-25七年级下·河北保定·期末）某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：在一个不透明的袋子里，装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同，充分摇匀后，任意摸一球，摸到红球则小明去，摸到绿球则小亮去．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球30次，其中摸到绿球10次，则这30次摸球中，摸到绿球的频率为___________； (2)袋子中红、绿球各有多少个？ (3)你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)红球有20个，绿球有8个． (3)不公平，小明去可能性大． 【思路引导】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． （1）根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值求解即可； （2）先根据概率公式求出红球个数，再设绿球有个，则黄球有个，建立方程求解即可； （3）直接根据概率公式求出摸到绿球的概率，比较摸到红球和摸到绿球概率大小即可得出结论． 【规范解答】（1）摸到绿球的频率为， 故答案为. （2）解：红球个数：（个）， 设绿球有个，则黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， 红球有20个，绿球有8个． （3）解：从袋中随机摸出一球，共有60种等可能的结果，其中摸出绿球的结果有8种， 从袋中随机摸出一球是绿球的概率为 ． ∵，即摸到红球概率大， ∴这个规则不公平，小明去可能性大． 【变式训练3】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）“2024年11月 24日，肇庆市举行了马拉松比赛”，赛事共有三项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“欢乐跑”，小明和小 东参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“欢乐跑”人数 21 45 79 200 401 参加“欢乐跑”频率 0.360 0.450 ______ 0.400 0.401 (1)请填出表中所缺的数据． (2)请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率_____．（精确到0.1） (3)若本次参赛选手大约有20000人，请你估计参加“欢乐跑”的人数是多少？ (4)利用画树状图或列表的方法，求小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的概率． 【答案】(1)； (2)； (3)8000人； (4)． 【思路引导】本题主要考查了求频率、用频率估计概率、用样本估计整体、运用列表法求概率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据频数和频率的关系列式计算即可； （2）结合表格信息，根据用频率估计概率的知识可求解； （3）用参数选手数乘以参加“欢乐跑”人数的概率即可解答； （4）先画出树状图确定所有等可能结果数和小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的情况数，再运用概率公式即可解答． 【规范解答】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由表格中数据可得：本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率． （3）解：人． 答：参加“欢乐跑”的人数是8000． （4）解：由题意列表如下： 小明小东 A B C A A、A B、A C、A B A、B B、B C、B C A、C B、C C、C 则所有等可能结果数为9，小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的情况数为1，则小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的概率为． 考点2：由频率估计概率 【典例精讲】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）某射击运动员在同一条件下进行射击，相关统计结果见下表： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 C 击中靶心的次数 9 16 41 168 429 861 击中靶心的频率 (1)填空：表格中___________，___________，___________； (2)根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图； (3)根据图表信息，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率约为___________（精确到百分位）． 【答案】(1)0.8，88，1000 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了利用频率估计概率、频率的求法等知识点，正确理解频率的意义是解题关键． （1）根据频率、频数、数据总数的关系列式计算即可； （2）根据表格中的频率，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图即可； （3）利用频率估计概率即可解答． 【规范解答】（1）解：由频率、频数、数据总数的关系可得：；；． 故答案为：． （2）解：画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图如下： （3）解：根据折线统计图，可得击中靶心的频率接近于． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)，； (2)； (3)需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【思路引导】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据频率等于频数除以总数，进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率计算数量即可． 【规范解答】（1）解： ， ． 答案为：，； （2）∵随着实验种子数的增加，频率稳定在， ∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是． 故答案为：； （3） 答：需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【变式训练2】（2024·山东威海·中考真题）2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生； （2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整； （3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ 【答案】（1）50（2）15（3）144°（4） 【思路引导】（1）根据A是5人，占总体的10%，即可求得总人数； （2）根据总人数和B所占的百分比是30%求解，然后补充图形； （3）首先计算C所占的百分比，再进一步求得其所对的圆心角的度数； （4）只需用D的人数除以总人数，求得所占的比例即可． 【规范解答】解：（1）5÷10％=50（人） （2） 50×30％=15（人） （3）360°×=144° （4）． 考点：数据分析（统计图，概率） 【变式训练3】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．（精确到） 【答案】6 【思路引导】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到关键点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【规范解答】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发 生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， 综上有：， 解得． 故答案为：6． 考点3：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】(1) (2)小明后来放进了25个黑球 【思路引导】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）利用频率估计概率，再根据概率公式求出黑球的个数即可； （2）根据频率估计概率，设后来放进了个黑球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是， 故袋中黑球的个数约为（只）； 故答案为：； （2）由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为， 设后来放进了个黑球，则， 解得：； 答：小明后来放进了25个黑球． 【变式训练1】（21-22八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【思路引导】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 【变式训练2】（23-24九年级上·天津和平·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了利用频率估计概率，简单的概率计算等知识点，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算． 利用概率公式逐项进行求概率，然后对比图中概率，即可得出结果． 【规范解答】解：A. 小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率为，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率为，接近图中概率，该选项符合题意； D. 是绿球的概率为，不符合题意； 故选：C． 【变式训练3】（24-25九年级下·福建漳州·阶段练习）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 【答案】（1）0.9；（2）瓶 【思路引导】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； （2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，再分别计算当n为100的整数倍时W的值，进而可得n=300时，W的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【规范解答】解：（1）依题意可知， 今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为； （2）根据题意可知： 该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元， 设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时，与时比较， 六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多， 所以其每天的平均利润比时平均每天利润少． 综上所述：时，的值达到最大． 即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【考点剖析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率． 【真题演练1】（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． 【规范解答】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． （2）解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 【真题演练2】（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1） 【答案】0.9 【思路引导】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【规范解答】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 【真题演练3】（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】(1)0.3 (2) 【思路引导】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为：0.3； （2）解：画树状图得， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果， ∴两次摸出的小球都是红球的概率为． 【真题演练4】（2024·辽宁营口·中考真题）一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在、，则估计箱子里蓝球有 个． 【答案】15 【思路引导】本题主要考查利用频率估计概率和由概率求数量，用球的总个数乘以摸到蓝球的频率的稳定值即可． 【规范解答】解：估计箱子里蓝球有（个）， 故答案为：15． 【真题演练5】（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个． 【答案】 【思路引导】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案． 【规范解答】解：设红球有个， 则， 答：红球的个数约为个． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数． 基础夯实 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【思路引导】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【规范解答】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【思路引导】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，即可得解． 【规范解答】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90. 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案． 【规范解答】解：∵共射击100次，其中有85次击中靶子， ∴击中靶子的频率为， ∴小明射击一次击中靶子的概率约为， 故选：A 4．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）辽中寒富苹果，中国国家地理标志产品．每百克寒富苹果鲜果肉中，可溶性固形物达，可滴定酸．不仅酸甜可口，芳香扑鼻，而且营养物质含量极高．某综合实践小组跟踪调查了寒富苹果的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计寒富苹果移栽成活的概率约为（    ） A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95 【答案】C 【思路引导】本题考查了利用频率估计概率．根据树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等，再结合折线图即可解答． 【规范解答】解：由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的占比稳定在0.9左右，则成活的概率估计值为0.9． 故选：C． 5．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 157 相交频率 0.314 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 【答案】 【思路引导】本题考查了频率估计概率，根据这个概率是，，得出，即可作答． 【规范解答】解：∵，， ∴， 则， ∴的近似值为， 故答案为：． 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）某生物实验室为研究果蝇的基因遗传特性，对培养皿内的果蝇群体进行抽样统计．培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇，实验通过多次随机抽样（每次抓取后放回并摇匀），统计携带显性基因标记果蝇的频率，实验数据记录如下： 实验次数 100 300 500 700 900 1000 1100 携带显性基因标记果蝇 43 138 226 319 408 451 495 频率 0.43 0.46 0.452 0.456 0.453 0.451 0.45 通过实验，估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为 ． 【答案】90 【思路引导】本题考查了用频率估计概率，用稳定的频率来估计携带显性基因标记果蝇在总体中的概率是解决本题的关键． 先根据实验数据可得携带显性基因标记果蝇的频率稳定在0.45，根据用频率估计概率可知，携带显性基因标记果蝇的概率为0.45，由此计算即可． 【规范解答】解：由实验数据可得携带显性基因标记果蝇的频率稳定在0.45， ∴携带显性基因标记果蝇的概率为0.45， ∵培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇， ∴估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为(只)． 故答案为：90 ． 7．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 105 相交频率 0.21 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 【答案】 【思路引导】本题考查了频率估计概率，根据这个概率是，，得出，即可作答． 【规范解答】解：∵，， ∴， 则， ∴， ∴的近似值为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）； (2)估计袋中白球的个数； (3)若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】(1)0.25 (2)3 (3) 【思路引导】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）首先求出球的总数，进一步求解即可得出答案； （3）先画树状图得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解： 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25； （2）解：∵从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25 ∴球的总数为 ∴袋中白球的个数为； （3）解：画树状图得：     共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， 两次都摸出白球的概率为． 9．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 177 198 摸到红球的频率 (1)上表中的___________，___________（小数形式）： (2)“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 【答案】(1)78； (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了频率估计概率，求解随机事件的概率． （1）根据表中的数据，结合频数，频率，数据总数之间的关系可得答案； （2）由频率估计概率可得答案； （3）设黑球有个，则白球有个；可得，再进一步即可解答． 【规范解答】（1）解：，； （2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率估计值是； （3）解：设黑球有个，则白球有个； ∴， 解得：， ∴摸到黑球的概率为， 答：摸到黑球的概率为． 10．（21-22九年级上·河北衡水·期末）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是___________．（精确到），由此估出红球有___________个． (2)现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 【答案】(1)，2 (2) 【思路引导】本题考查了求频率，求概率． （1）根据表格作答即可； （2）列出树状图求概率即可． 【规范解答】（1）解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，由此估出红球有2个． 故答案为：，2； （2）解：将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种， 则P（1个白球，1个红球）； 所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为． 培优拔高 11．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示： 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 下面有3个推断： ① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】B 【思路引导】用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【规范解答】解：① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是，不合理； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，判断合理； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，判断合理， 故选：B． 12．（21-22七年级下·全国·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ）    A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上 B．任意写一个整数，它能被2整除 C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃” 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据统计图可知，实验结果在附近波动，即其概率，再计算四个选项的概率，约为的即符合题意． 【规范解答】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上的概率为，不符合题意； B、任意写一个整数，它能2被整除的概率为，不符合题意； C、不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率，符合题意； D、从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃”的概率是，不符合题意． 故选C． 13．（24-25九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 【答案】C 【思路引导】本题考查利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【规范解答】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被3整除的数的结果有3种，故概率为，符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为，不符合题意； 故选C 14．（2022·福建厦门·二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案． 【规范解答】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1， 可以用图中正方形区域表示， ∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形， 则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示， ∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴， 设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到： ， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴， 解得， 故选：D． 【考点剖析】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率． 15．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．现有以下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】②③/③② 【思路引导】本题考查了根据频率估计概率，概率公式求数量，求概率． 先根据题意求出绿色卡片和红色卡片的数量，再逐一判断即可． 【规范解答】∵经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在， ∴抽到红色卡片的概率为， ∴红色卡片有（张），绿色卡片有（张），抽到绿色卡片的概率为， ∴①错误，②正确，③正确． 故答案为：②③． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期中）一个不透明的箱子里有20枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，通过多次模拟实验后发现，摸出白棋子的频率稳定在左右，则箱子里棋子总数可能是 ． 【答案】80 【思路引导】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键． 由题意可知白棋子的概率为，可得黑棋子的概率为，再根据黑棋子的数量解答即可． 【规范解答】解：∵摸出白棋子的频率稳定在左右， ∴摸出白棋子的概率为， ∴摸出黑棋子的概率为， ∴箱子里棋子总数可能是， 故答案为：80． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了用频率来估计概率，解一元一次方程，先计算正方形的面积，再建立方程求解即可，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中银杏叶的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键． 【规范解答】解：正方形面积为：， 设该银杏叶的面积为，依题意得： ， 解得：， ∴估计该银杏叶的面积为， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【答案】(1) (2)补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是 (3) 【思路引导】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息． （1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【规范解答】（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 故答案为：100； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示，    阅读部分圆心角是， 故答案为：； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比为， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 19．（2025·甘肃武威·模拟预测）某班学生就老百姓最关注的热点问题，在网络上发布了相应的调查问卷．到目前为止，共有不同年龄段的2880人参与，具体情况统计如下： 抽取的30-35岁人群的关注情况 关心问题 频数 频率 收入分配 90 0.25 住房问题 0.15 物价调控 36 0.1 医疗改革 18 养老保险 0.15 其他 108 合计 所调查的2880人年龄的分布情况 (1)根据统计表可得： _____， _____， _____， _____． (2)扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是多少度？ (3)在参加调查的30-35岁段中随机抽取一人，关心物价调控或医疗改革的概率是多少？ (4)从上表中，你还能获得其他的信息吗（写出一条即可）？ 【答案】(1) (2)度； (3) (4)所调查的2880人中年龄在-40岁的人数最多． 【思路引导】此题考查了频率估计概率，频数分布统计表，扇形圆心角等知识． （1）根据频数分布统计表求出相关数据即可； （2）用占比乘以即可得到答案； （3）用频率估计概率即可； （4）根据数据进行回答即可． 【规范解答】（1）解：观察频数统计表可知：, 故答案为： （2） 即扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是度； （3）关心物价调控或医疗改革的概率是 （4）所调查的2880人中年龄在-40岁的人数最多（答案不唯一） 20．（23-24九年级上·山东烟台·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751 摸到白球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数） (2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________； (3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)，， (2)1，3 (3) 【思路引导】（1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，频率逐渐稳定在，即得到摸到白球的概率，从而得到摸到黑球的概率． （2）本题考查了概率的相关计算，根据概率乘以总数即可解题． （3）本题考查了用树状图求概率，根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的情况数再除以总的情况数，即可解题． 【规范解答】（1）解：由题意知，摸到白球的频率逐渐接近：， 则摸到白球的概率可看作：， 摸到黑球的概率：． 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为，而小球总数为4， 所以口袋中黑球的个数：， 口袋中白球的个数：． 故答案为：1，3； （3）解：画树状图如下， 共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况， 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 用频率估计概率 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：频率与概率的定义 1 知识点梳理02：频率与概率的关系 1 知识点梳理03：利用频率估计概率 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：求某事件的频率 2 考点2：由频率估计概率 4 考点3：用频率估计概率的综合应用 7 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 14 知识点梳理01：频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，即频率 =。 概率：事件A的频率接近某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。 知识点梳理02：频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的。当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近。 概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。 频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，只有在大量重复试验的条件下才可以近似地作为这个事件的概率。 频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的。 知识点梳理03：利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率。 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。 考点1：求某事件的频率 【典例精讲】．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀． (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为． 【变式训练2】（24-25七年级下·河北保定·期末）某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：在一个不透明的袋子里，装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同，充分摇匀后，任意摸一球，摸到红球则小明去，摸到绿球则小亮去．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球30次，其中摸到绿球10次，则这30次摸球中，摸到绿球的频率为___________； (2)袋子中红、绿球各有多少个？ (3)你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【变式训练3】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）“2024年11月 24日，肇庆市举行了马拉松比赛”，赛事共有三项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“欢乐跑”，小明和小 东参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“欢乐跑”人数 21 45 79 200 401 参加“欢乐跑”频率 0.360 0.450 ______ 0.400 0.401 (1)请填出表中所缺的数据． (2)请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率_____．（精确到0.1） (3)若本次参赛选手大约有20000人，请你估计参加“欢乐跑”的人数是多少？ (4)利用画树状图或列表的方法，求小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的概率． 考点2：由频率估计概率 【典例精讲】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）某射击运动员在同一条件下进行射击，相关统计结果见下表： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 C 击中靶心的次数 9 16 41 168 429 861 击中靶心的频率 (1)填空：表格中___________，___________，___________； (2)根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图； (3)根据图表信息，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率约为___________（精确到百分位）． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【变式训练2】（2024·山东威海·中考真题）2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生； （2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整； （3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ 【变式训练3】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．（精确到） 考点3：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【变式训练1】（21-22八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【变式训练2】（23-24九年级上·天津和平·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 【变式训练3】（24-25九年级下·福建漳州·阶段练习）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 【真题演练1】（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【真题演练2】（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1） 【真题演练3】（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【真题演练4】（2024·辽宁营口·中考真题）一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在、，则估计箱子里蓝球有 个． 【真题演练5】（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个． 基础夯实 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）辽中寒富苹果，中国国家地理标志产品．每百克寒富苹果鲜果肉中，可溶性固形物达，可滴定酸．不仅酸甜可口，芳香扑鼻，而且营养物质含量极高．某综合实践小组跟踪调查了寒富苹果的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计寒富苹果移栽成活的概率约为（    ） A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95 5．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 157 相交频率 0.314 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）某生物实验室为研究果蝇的基因遗传特性，对培养皿内的果蝇群体进行抽样统计．培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇，实验通过多次随机抽样（每次抓取后放回并摇匀），统计携带显性基因标记果蝇的频率，实验数据记录如下： 实验次数 100 300 500 700 900 1000 1100 携带显性基因标记果蝇 43 138 226 319 408 451 495 频率 0.43 0.46 0.452 0.456 0.453 0.451 0.45 通过实验，估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为 ． 7．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 105 相交频率 0.21 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 8．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）； (2)估计袋中白球的个数； (3)若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 9．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 177 198 摸到红球的频率 (1)上表中的___________，___________（小数形式）： (2)“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 10．（21-22九年级上·河北衡水·期末）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是___________．（精确到），由此估出红球有___________个． (2)现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 培优拔高 11．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示： 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 下面有3个推断： ① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 12．（21-22七年级下·全国·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ）    A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上 B．任意写一个整数，它能被2整除 C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃” 13．（24-25九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 14．（2022·福建厦门·二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．现有以下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为．其中正确的结论是 ．（填序号） 16．（24-25七年级下·广东深圳·期中）一个不透明的箱子里有20枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，通过多次模拟实验后发现，摸出白棋子的频率稳定在左右，则箱子里棋子总数可能是 ． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 18．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 19．（2025·甘肃武威·模拟预测）某班学生就老百姓最关注的热点问题，在网络上发布了相应的调查问卷．到目前为止，共有不同年龄段的2880人参与，具体情况统计如下： 抽取的30-35岁人群的关注情况 关心问题 频数 频率 收入分配 90 0.25 住房问题 0.15 物价调控 36 0.1 医疗改革 18 养老保险 0.15 其他 108 合计 所调查的2880人年龄的分布情况 (1)根据统计表可得： _____， _____， _____， _____． (2)扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是多少度？ (3)在参加调查的30-35岁段中随机抽取一人，关心物价调控或医疗改革的概率是多少？ (4)从上表中，你还能获得其他的信息吗（写出一条即可）？ 20．（23-24九年级上·山东烟台·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751 摸到白球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数） (2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________； (3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $