专题3.3 概率的进一步认识（章节复习）知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点讲练讲义

专题3.3 概率的进一步认识（章节复习） （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：用树状图或表格求概率 1 知识点梳理02：用频率估计概率 2 知识点梳理03：频率与概率的区别与联系 2 知识点梳理04：频率与概率的定义 3 知识点梳理05：频率与概率的关系 3 知识点梳理06：利用频率估计概率 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：几何概率 3 考点2：列举法求概率 5 考点3：列表法或树状图法求概率 6 考点4：游戏的公平性 8 考点5：概率在转盘抽奖中的应用 11 考点6：概率的其他应用 13 考点7：求某事件的频率 14 考点8：由频率估计概率 15 考点9：用频率估计概率的综合应用 17 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 22 基础夯实 22 培优拔高 27 知识点梳理01：用树状图或表格求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的概率大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 知识点梳理02：用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点梳理03：频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 知识点梳理04：频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，即频率 =。 概率：事件A的频率接近某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。 知识点梳理05：频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的。当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近。 概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。 频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，只有在大量重复试验的条件下才可以近似地作为这个事件的概率。 频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的。 知识点梳理06：利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率。 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。 考点1：几何概率 【典例精讲】（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，一个可自由转动的转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这6个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．如果轮到你猜数，请你设计一种更容易获胜的猜数规则（不限转动次数），并说明理由． 【变式训练1】（2025·山东济南·模拟预测）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为 ． 【变式训练2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一个可以自由转动的转盘，被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字．（若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次） (1)转动转盘一次，转出的数字是的概率是________； (2)转动转盘两次，用列表或画树状图的方法，求这两次分别转出的数字之积为正数的概率． 考点2：列举法求概率 【典例精讲】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）新学期，学校综合实践课上，老师带领大家在“做中学”，课程内容如下：邀请甲乙两名同学看成点分别在数轴和的位置上，如图所示，另外再选两名实力相同的同学进行诗歌竞猜，规则如下： 一人获胜，甲向右移动个单位长度，乙向左移动个单位长度； 若平局，甲向右移动单位长度，乙向左移动单位长度； (1)第一轮竞猜后，乙的位置停留在处的概率是 ； (2)第二轮竟猜后，分别取甲、乙停留的数作为点的横坐标和纵坐标，请用画树形图或列表法求出点甲，乙落在第二象限的概率． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川广安·期末）寒假期间，小赵的爸爸准备带小赵去广安旅游．由于时间关系，原计划去的华蓥山和天意谷只能去其中一个，现决定用抽扑克牌的方式来决定，具体方法如下：把四张牌面数字分别是2，3，4，5的扑克牌背面向上放置于桌面上，洗匀后，小赵先从中任意抽出一张，然后爸爸再从剩下的三张中任意抽出一张，如果两人的牌面数字之和大于7，就去华蓥山；否则，就去天意谷． (1)如果小赵抽出的牌面数字是4，那么他们去华蓥山的概率为______； (2)请利用画树状图或列表的方法分析他们去华蓥山和天意谷哪个地方的概率大． 【变式训练2】（2023·安徽·模拟预测）如图是物理实验操作课上某学生连接的电路图，线路连接正常且所有元件都是完好的，目前开关，，都处于断开状态． (1)随机闭合一个开关，求有一盏灯发光的概率； (2)随机闭合两个开关，求两盏灯都发光的概率． 考点3：列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树状图或列表的方法，求下列事件的概率： (1)两次取出小球上的数字相同的概率； (2)两次取出小球上的数字之和大于3的概率． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某校组织作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题． (1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是________度，并补全条形统计图； (2)经过评审，全校有3篇作文荣获科技进步特等奖，其中一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表法的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率． 【变式训练2】（23-24九年级下·湖南长沙·期中）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 考点4：游戏的公平性 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【变式训练2】（24-25九年级上·河北保定·期末）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表． 对雾霾天气了解程度的统计表 对雾霾天气了解程度 百分比 A．非常了解 5％ B．比较了解 15％ C．基本了解 45％ D．不了解 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有______人，______； （2）请补全条形统计图； （3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平． 考点5：概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【变式训练1】（22-23九年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践 【问题再现】 (1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答． 【类比设计】 (2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为． 【拓展运用】 (3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数． 【变式训练2】（2022·福建·一模）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满200元减66元； 方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受的优惠如表所示． 的值 2 6 10 实际付款 8折 7折 6折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元（），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时的取值范围． 考点6：概率的其他应用 【典例精讲】（2021·福建漳州·一模）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3． 甲 78 79 81 82 x 88 93 95 乙 75 80 80 83 85 90 92 95 （1）求x的值；       （2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 【变式训练1】（24-25九年级·四川广安·阶段练习）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． 王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整； 王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？ 如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率(要求写出用树状图或列表分析过程) 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·单元测试）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 考点7：求某事件的频率 【典例精讲】（24-25九年级上·山东泰安·期末）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中2个红球，2个黄球，1个白球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出红球3次，则这10次摸球中，摸出红球的频率是多少？ (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是黄球的概率． 【变式训练1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【变式训练2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次 (1)随机摸球10次，其中摸出白球3次，则这10次摸球中，摸出白球的频率是______； (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 考点8：由频率估计概率 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 合格频率 (1)表格中的值为______； (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率； (3)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【变式训练1】（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，在一个不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的红球和白球共5个，组员小华做摸球试验，他将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再放回布袋中，不断重复上述过程．下表是试验中的部分统计数据． 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，估计这个球恰好是红球的概率约为________（保留一位小数）； (2)从这个布袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图法或列表法求摸出的两个球恰好是“一红一白”的概率． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下： 掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次 石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93 石子落在阴影内的次数n 19 85 186 （1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值． （2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积． 考点9：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·广东揭阳·期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中________；________； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； (3)估计袋子中有白球________个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有二正、一正一反、二反三种情况，所以（一正一反)”小颖反驳道：“这里的一正一反实际上含有一正一反，一反一正这两种情况，所以（一正一反）” （1）________的说法是正确的． （2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据： 二正 一正一反 二反 小聪 24 50 26 小颖 24 47 29 计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？ （3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？ 【真题演练1】（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：；D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【真题演练2】（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ (3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【真题演练3】（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【真题演练4】（2025·四川德阳·中考真题）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块．灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查（每人只能选择一项），用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表： 主题板块 频数（满意人数） 频率（所占比例） A 180 0.36 B a 0.20 C 75 D b c E (1)直接写出a、b、c的值； (2)根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么？若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数； (3)若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【真题演练5】（2025·四川宜宾·中考真题）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题． (1)本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； (2)若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动； (3)新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 基础夯实 1．（2025·山东济南·模拟预测）2025年3月12日是我国的第47个植树节，为激发学生爱林、造林的热情，学校开展了一系列“绿化有我”活动．九年级二班为响应学校号召，计划从“油松树苗”“柳树苗”“榆树苗”“柏树苗”四种树苗中随机选取两种进行种植，则恰好选中“柳树苗”和“榆树苗”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球 3．（2025·广东广州·二模）一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字，，，．除数字外四张卡片无其他区别，随机从这个口袋中先后随机取出两张卡片，卡片上的数字之和等于的概率是（ ） A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·浙江台州·期末）某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的菜种数/粒 800 1600 2400 3200 4000 发芽的频率                          由此可以估计这批菜种发芽的概率为 （精确到）． 5．（2020·辽宁抚顺·模拟预测）在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 6．（25-26八年级上·河南平顶山·开学考试）2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为 ． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）在不透明的布袋中放入白色，灰色和黑色小球各1个，它们只有颜色不同．那么： (1)如果任意摸取其中两个小球，一共有多少种不同的结果？ (2)如果任意摸取一个小球后放回，再摸取一个小球，两次摸到的小球颜色不相同的结果有多少种？请用树状图解决问题． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末） （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 9．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）名著赏析课上，张老师要求每位同学讲述一个关于西游记的小故事，因此制作了一个可以自由转动的转盘，将其分成四个完全相同的扇形，把西游记中的部分人物名称（师父：唐僧，徒弟：孙悟空、猪八戒、沙悟净）分别写在每个扇形区域内（如图所示）．每位同学转动一次转盘，转盘停止后，指针所指区域内的人物即为所要讲述小故事的主角（若指针指向两个扇形的分界线，则不计次数，重新转动，直到指针指向一个扇形区域为止）． (1)求该班同学小明讲述的小故事的主角是徒弟的概率； (2)请你用列表或画树状图的方法，求该班同学小美和小丽所讲述的小故事的两个主角是师徒关系的概率． 10．（2023·山东日照·一模）甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，满分10分，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成） 甲、乙两班代表队成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8.5 8.5 a 0.7 乙班 8.5 b 10 1.6 请根据有关信息解决下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派______代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”） (3)若甲班共有40名学生，试估计甲班成绩不低于8.5分的学生数量； (4)现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲、乙班各一名学生的概率． 培优拔高 11．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·湖北武汉·三模）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左或向右转．如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时两辆车向右转，一辆车向左转的概率是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·安徽池州·三模）电脑上随机推送难、中、易三道数学题（三题不同时呈现），要求做题人选其中的一题解答．明明直接做电脑推荐的第一道题，不再点击第二、三题；慧慧不做电脑推送的第一道题，简单思考后点击第二题，发现第二题比第一题容易，就做第二题，否则点击第三题并做第三题．则下列判断正确的是（   ） A．明明做到容易题的概率大 B．慧慧做到容易题的概率大 C．他俩做到容易题的概率一样大 D．他俩至少有1人做到容易题的概率为 14．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径，小圆半径，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞每次都落在游戏板上），则击中阴影部分的概率是 ． 15．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 个． 16．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）已知a、b可以取中任意一个值，则直线的图象不经过第四象限的概率是 ． 17．（2025·吉林·模拟预测）如图1．线段和相交于点，连接．四张卡片除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明第一次抽到卡片②后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是______________． (2)若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明的概率，用树状图法进行计算． 18．（2021·陕西西安·模拟预测）为庆祝中国共产党建党100周年，某市某展览馆进行党史展览，把免费参观票分到学校．如图，展览馆大厅有A、B、C、D四个出入口．张莉同学凭票随机从一个出入口进入展览大厅，参观结束后随机选择一个出入口离开． (1)张莉从A出入口进入的概率是______； (2)利用树状图或列表法，求张莉选择同一个出入口进入和离开展览大厅的概率． 19．（25-26九年级上·新疆喀什·阶段练习）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； (2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 20．（20-21九年级上·四川·阶段练习）感恩节即将来临，小王调查了初三年级部分同学在感恩节当天将以何种方式对帮助过自己的人表达感谢，他将调查结果分为如下四类：A类——当面表示感谢、B类——打电话表示感谢、C类——发短信表示感谢、D类——写书信表示感谢．他将调查结果绘制成了如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据图中提供的信息完成下列各题：          （1）补全条形统计图； （2）在A类的同学中，有4人来自同一班级，其中有2人主持过班会．现准备从他们4人中随机抽出两位同学主持感恩节主题班会课，请用树状图或列表法求抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 概率的进一步认识（章节复习） （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：用树状图或表格求概率 1 知识点梳理02：用频率估计概率 2 知识点梳理03：频率与概率的区别与联系 2 知识点梳理04：频率与概率的定义 3 知识点梳理05：频率与概率的关系 3 知识点梳理06：利用频率估计概率 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：几何概率 3 考点2：列举法求概率 6 考点3：列表法或树状图法求概率 9 考点4：游戏的公平性 13 考点5：概率在转盘抽奖中的应用 17 考点6：概率的其他应用 21 考点7：求某事件的频率 24 考点8：由频率估计概率 27 考点9：用频率估计概率的综合应用 29 中考真题 实战演练 33 难度分层 拔尖冲刺 40 基础夯实 40 培优拔高 48 知识点梳理01：用树状图或表格求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的概率大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 知识点梳理02：用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点梳理03：频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 知识点梳理04：频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，即频率 =。 概率：事件A的频率接近某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。 知识点梳理05：频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的。当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近。 概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。 频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，只有在大量重复试验的条件下才可以近似地作为这个事件的概率。 频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的。 知识点梳理06：利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率。 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。 考点1：几何概率 【典例精讲】（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，一个可自由转动的转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这6个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．如果轮到你猜数，请你设计一种更容易获胜的猜数规则（不限转动次数），并说明理由． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了概率的基本计算、不同事件发生概率的比较以及多次试验下概率的累积效应．解题的关键是结合数字特征设计猜数规则，通过提高单次获胜概率，并利用多次试验放大优势，实现更容易获胜的目标． 选择包含多个数字的类别（如偶数）作为猜数对象，利用该类别数字数量占比高的特点，提升获胜概率，且在多次转动中累积优势． 【规范解答】猜数规则：每次猜转出的数字是偶数（即2、4、6中的一个），并且不限转动次数． 理由：转盘被平均分成6等份，标有2、3、4、5、6、7，每个数字被转出的概率均为．其中偶数有3个，单次猜中偶数的概率为，远高于猜单个数字的．由于不限转动次数，随着转动次数增多，根据概率规律，猜中偶数的总次数会更多，猜数人获胜的可能性更大． 【变式训练1】（2025·山东济南·模拟预测）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积． 设正方形的边长为a，根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，再证得和都是等腰直角三角形，，从而得到，然后根据概率公式计算，即可． 【规范解答】解：设正方形的边长为a， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴小鸟不落在花圃上的概率为． 故答案为： 【变式训练2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一个可以自由转动的转盘，被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字．（若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次） (1)转动转盘一次，转出的数字是的概率是________； (2)转动转盘两次，用列表或画树状图的方法，求这两次分别转出的数字之积为正数的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了用列表法和树状图法求概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法是解题的关键． （1）由题意可知，“”“”所占圆心角为，“”所占的圆心角共为，由计算可得转出数字是“”的概率； （2）用列表法或树状图法得出所有可能的结果，再从中找到和为正数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴“”和“”所占的扇形圆心角为， 个“”所占的扇形圆心角为， ∴转动转盘一次，转出的数字是的概率为； 故答案为：； （2）解：树状图法： 由上图可知：所有可能的结果共种，其中数字之积为正数的有种，两次分别转出的数字之和为正数的概率为． 考点2：列举法求概率 【典例精讲】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）新学期，学校综合实践课上，老师带领大家在“做中学”，课程内容如下：邀请甲乙两名同学看成点分别在数轴和的位置上，如图所示，另外再选两名实力相同的同学进行诗歌竞猜，规则如下： 一人获胜，甲向右移动个单位长度，乙向左移动个单位长度； 若平局，甲向右移动单位长度，乙向左移动单位长度； (1)第一轮竞猜后，乙的位置停留在处的概率是 ； (2)第二轮竟猜后，分别取甲、乙停留的数作为点的横坐标和纵坐标，请用画树形图或列表法求出点甲，乙落在第二象限的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． （1）若一人获胜，则甲停留在，乙停留在；若平均局，则甲停留在，乙停留在；再根据概率公式求解即可； （2）根据题干要求补全树状图，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）若一人获胜，则甲停留在，乙停留在；若平均局，则甲停留在，乙停留在； 所以第一轮竞猜后，乙的位置停留在处的概率是； 故答案为：； （2）补全树状图如下： 由树状图知，共有种等可能结果，其中点甲，乙落在第二象限的有种结果， 所以点甲，乙落在第二象限的概率为． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川广安·期末）寒假期间，小赵的爸爸准备带小赵去广安旅游．由于时间关系，原计划去的华蓥山和天意谷只能去其中一个，现决定用抽扑克牌的方式来决定，具体方法如下：把四张牌面数字分别是2，3，4，5的扑克牌背面向上放置于桌面上，洗匀后，小赵先从中任意抽出一张，然后爸爸再从剩下的三张中任意抽出一张，如果两人的牌面数字之和大于7，就去华蓥山；否则，就去天意谷． (1)如果小赵抽出的牌面数字是4，那么他们去华蓥山的概率为______； (2)请利用画树状图或列表的方法分析他们去华蓥山和天意谷哪个地方的概率大． 【答案】(1) (2)他们去天意谷的概率大，见解析 【思路引导】本题考查了列举法求概率和画树状图或列表的方法求概率． （1）应用列举法求出概率即可； （2）应用画树状图或列表的方法求概率即可． 【规范解答】（1）解：如果小赵抽出的牌面数字是4，剩下的三张牌为2，3，5， 如果两人的牌面数字之和大于7，就去华蓥山， 抽到5时，，两人的牌面数字之和大于7，就能去华蓥山， 他们去华蓥山的概率为； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果， 其中两人的牌面数字之和大于7的结果有4种， 两人的牌面数字之和小于等于7的结果有8种， ∴他们去华蓥山的概率为， 他们去天意谷的概率为． ∵， ∴他们去天意谷的概率大． 【变式训练2】（2023·安徽·模拟预测）如图是物理实验操作课上某学生连接的电路图，线路连接正常且所有元件都是完好的，目前开关，，都处于断开状态． (1)随机闭合一个开关，求有一盏灯发光的概率； (2)随机闭合两个开关，求两盏灯都发光的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键． （1）根据概率公式求解即可． （2）利用列举法求概率． 【规范解答】（1）解：三个开关随机闭合一个共有3种等可能的结果，其中闭合或都形成断路，没有灯泡发光，而闭合可以使灯泡发光， ∴随机闭合一个开关，有一盏灯发光的概率 （2）解：三个开关随机闭合两个，有共3种等可能的结果， 其中闭合两盏灯发光， ∴随机闭合两个开关，两盏灯都发光的概率． 考点3：列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树状图或列表的方法，求下列事件的概率： (1)两次取出小球上的数字相同的概率； (2)两次取出小球上的数字之和大于3的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题的关键． （1）画树状图展示所有等可能的结果数有9种，再找出两次取出小球上的数字相同的结果数，然后根据概率公式求解即可； （2）找出两次取出小球上的数字之和大于3的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：画树状图如下， 共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字相同的结果数为3； 所以两次取出小球上的数字相同的概率 （2）解：由（1）中树状图可知， 两次取出小球上的数字之和大于3的结果数为6， 所以两次取出小球上的数字之和大于3的概率． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某校组织作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题． (1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是________度，并补全条形统计图； (2)经过评审，全校有3篇作文荣获科技进步特等奖，其中一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表法的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率． 【答案】(1)，补全统计图见解析 (2) 【思路引导】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，求扇形统计图的圆心角，画树状图法求概率； （1）求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数，求出八年级的作文篇数，补全条形统计图即可； （2）设3篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C，其中A代表七年级获奖的特等奖作文，用画树状法即可求得结果. 【规范解答】（1）解：， 九年级参赛作文篇数对应的圆心角； ， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：． （2）假设3篇荣获科技进步特等奖的作文分别为A、B、C， 其中A代表七年级获奖的特等奖作文． 画树状图法： 共有种可能的结果，七年级特等奖作文被选登在校刊上的结果有4种， ∴（七年级特等奖作文被选登在校刊上） ． 【变式训练2】（23-24九年级下·湖南长沙·期中）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) (2)选择小彤的方法说明，理由见详解 【思路引导】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案； （2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论． 【规范解答】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； （2）选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形． 考点4：游戏的公平性 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【思路引导】此题考查了列表法或树状图法求概率（注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况）．解题的关键是理解概率=所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意列表，然后分别求出和为奇数、和为偶数的概率，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【规范解答】（1）解：根据题意，列出表格，如下： 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，和为奇数有4种，和为偶数有种， 所以； （2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下： 由（1）得两数之和为奇数的概率为，两数之和为偶数的概率为， ∵， 所以这个游戏规则对双方不公平． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析 (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【思路引导】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【规范解答】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 【变式训练2】（24-25九年级上·河北保定·期末）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表． 对雾霾天气了解程度的统计表 对雾霾天气了解程度 百分比 A．非常了解 5％ B．比较了解 15％ C．基本了解 45％ D．不了解 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有______人，______； （2）请补全条形统计图； （3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平． 【答案】（1）400,35%；（2）条形统计图见解析；（3）不公平． 【思路引导】（1）用A等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，然后用1减去其它等级的百分比即可求得n的值； （3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图即可； （4）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数的结果有8种，再确定出为奇数的概率，再确定小明去和小刚去的概率，最后比较即可解答． 【规范解答】解：（1）由统计图可知：A等级的人数为20，所占的百分比为5% 则本次参与调查的学生共有20÷5%=400人； １-5%-15%-45%=35%； （2）由统计图可知：A等级的人数所占的百分比为45% D等级的人数为400×35%=140（人） 补全条形统计图如下： （3）根据题意画出树状图如下： 可发现共有12种等可能的结果且和为奇数的结果有8种 所以小明去的概率为： 小刚去的概率为：． 由＞． 所以这个游戏规则不公平． 【考点剖析】本题考查了游戏的公平性，先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，这是解答游戏公平性题目的关键． 考点5：概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜（答案不唯一，设计方案正确即可） 【思路引导】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键． （1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答； （2）先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可． 【规范解答】（1）解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是． 故答案为：． （2）解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平； 设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜． 【变式训练1】（22-23九年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践 【问题再现】 (1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答． 【类比设计】 (2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为． 【拓展运用】 (3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数． 【答案】(1)P（蓝色区域），P（橙色区域） (2)见解析 (3)29元 【思路引导】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）将转盘均分成份，根据概率求出各种颜色所占份数，即可得解； （3）利用对准红、黄、绿的概率乘以各自对应的钱数，即可得解． 【规范解答】（1）解：根据几何概率的意义可知， P（蓝色区域）， P（橙色区域）． （2）解：根据题意，将转盘均分成份， 则：红色占：份；白色占：份；黄色占：份； 如图所示：（答案不唯一）； （3）解：由题意，得： 转动1次的平均数为（元）； 答：转动1次所获购物券的平均数是29元． 【考点剖析】本题考查概率的应用，以及计算加权平均数．熟练掌握概率公式，以及加权平均数的计算方法，是解题的关键． 【变式训练2】（2022·福建·一模）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满200元减66元； 方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受的优惠如表所示． 的值 2 6 10 实际付款 8折 7折 6折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元（），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）列出表格，得到所有的等可能的结果，根据概率公式即可得结果． （2）根据题意分别表示出顾客按方案一、方案二需要支付的金额，然后根据选择方案二更优惠列出不等式，即可求解． 【规范解答】（1）解：列表如下： 1 1 5 5 1 （1，1） （1，5） （1，5） 1 （1，1） （1，5） （1，5） 5 （5，1） （5，1） （5，5） 5 （5，1） （5，1） （5，5） 由上表可知共有12种结果，并且他们发生的可能性相等，其中和为6的有8种． ∴该顾客选择方案二的抽奖方式获得7折优惠的概率为； （2）解：依题意知， 所以该顾客可按方案二抽奖一次． 选择方案二时，由（1）可知，该顾客获得“8折”优惠的概率为，获得“7折”优惠的概率为，获得“6折”优惠的概率为， ∴方案二的平均打折数为． 选择方案一时，该顾客需要支付元． ∴依题意可得：， 解得：． ∴当时，该顾客选择方案二更优惠． 【考点剖析】本题主要考查了用树状图或列表法求概率以及概率的应用和一元一次不等式，解题的关键是注意用树状图或列表法列出所有的等可能的结果时，做到不重复、不遗漏，以及熟记求简单等可能性事件的概率=所求情况数与总情况数之比． 考点6：概率的其他应用 【典例精讲】（2021·福建漳州·一模）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3． 甲 78 79 81 82 x 88 93 95 乙 75 80 80 83 85 90 92 95 （1）求x的值；       （2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 【答案】（1）x=84；（2）从统计的角度考虑，派甲参赛比较合适，理由见解析；从概率的角度考虑，派乙参赛比较合适，理由见解析． 【思路引导】（1）根据众数、中位数的计算方法分别计算即可； （2）解法1：从平均数、方差以及数据的变化趋势分析． 解法2：从概率的角度以及数据的变化趋势分析． 【规范解答】解：（1）依题意，可知 甲的中位数为，乙的众数为80， ∴， 解得x=84． （2）解法一：派甲参赛比较合适． 理由如下： ， ， ， ， 因为，， 所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． 解法二：派乙参赛比较合适． 理由如下： 从概率的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率， 乙获得85分以上（含85分）的概率， 因为P1＜P2， 所以派乙参赛比较合适． 【考点剖析】考查平均数、众数和中位数的意义，方差，概率等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式训练1】（24-25九年级·四川广安·阶段练习）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． 王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整； 王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？ 如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率(要求写出用树状图或列表分析过程) 【答案】（1）12；3；补充图见详解 （2）4个班平均作品数为： （件）；估计全年级共征集到作品： （件） （3）恰好抽中一男一女的概率为，过程见详解. 【思路引导】（1）根据C在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是5，列式计算出总数，即可求得B的件数. （2）求出平均一个班的作品件数，再乘以班级数，计算即可. （3）列表分析，再根据概率公式计算即可. 【规范解答】(1)所调查的四个班总数为：(件)，B作品的件数为：12-2-5-2=3(件)；补充图如下 （2）王老师所调查的4个班平均作品数为： （件） 估计全年级共征集到作品： （件） （3）列表如下： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 ______ 男1 男2 男1 男3 男1 女1 男1 女2 男2 男2 男1 ______ 男2 男3 男2 女1 男2 女2 男3 男3 男1 男3 男2 ______ 男3 女1 男3 女2 女1 女1 男1 女1 男2 女1 男3 ______ 女1 女2 女2 女2 男1 女2 男2 女2 男3 女2 女1 ______ 共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种， 所以 即恰好抽中一男一女的概率为. 【考点剖析】本题考查了统计的相关知识，复杂的统计问题用列表或者树状图分析. 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·单元测试）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 【答案】不公平 【思路引导】列举出所有情况，看“和为6”及“和为9”情况数占所有情况数的多少即可． 【规范解答】解：如图所示： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 共有36种情况，和为6情况数是5种，所以甲赢的概率为；和为9的情况数有4种，所以概率为 ． ∵＞， ∴不公平． 故答案为不公平． 【考点剖析】此题考查用列表格的方法解决概率问题；得到“和为6”及“和为9”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 考点7：求某事件的频率 【典例精讲】（24-25九年级上·山东泰安·期末）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中2个红球，2个黄球，1个白球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出红球3次，则这10次摸球中，摸出红球的频率是多少？ (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是黄球的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果，再利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，摸出红球的频率是， （2）画树状图得， ， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是黄球有4种结果， 两次摸出的小球都是黄球的概率为． 【变式训练1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【答案】(1)，； (2)； (3)该厂估计要生产50000顶头盔 【思路引导】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【规范解答】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：该厂估计要生产顶头盔． 【变式训练2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次 (1)随机摸球10次，其中摸出白球3次，则这10次摸球中，摸出白球的频率是______； (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果，再利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是； 故答案为：； （2）解：画树状图得， 共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果， ∴． 故两次摸出的小球都是红球的概率为． 考点8：由频率估计概率 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 合格频率 (1)表格中的值为______； (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率； (3)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1) (2) (3)件 【思路引导】本题考查了用频率估计概率，掌握相关知识点是解题的关键． （）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （）根据抽取件数为时，合格的频率趋近于，可得估计衬衣合格的概率为，进而即可求解； （）用乘以不合格品的概率即可求解； 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴估计衬衣合格的概率为， ∴估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； （3）解：， 答：估计其中不合格品有件． 【变式训练1】（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，在一个不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的红球和白球共5个，组员小华做摸球试验，他将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再放回布袋中，不断重复上述过程．下表是试验中的部分统计数据． 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，估计这个球恰好是红球的概率约为________（保留一位小数）； (2)从这个布袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图法或列表法求摸出的两个球恰好是“一红一白”的概率． 【答案】(1)0.4 (2) 【思路引导】本题考查了利用频率估计概率的方法，列表法与树状图法求概率，理解频率和概率的意义以及用频率估计概率的方法是解决问题的关键． （1）根据大量的试验结果稳定在0.4左右即可得出结论； （2）先求出袋中红白球的个数，再列表得出所有等可能的结果，继而利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （2）∵袋子中红球的个数约为（个）， ∴袋子中白球有3个， 列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 由表可知共有20种等可能结果，其中摸出的两个球恰好“一红一白”的有12种结果， ∴摸出的两个球恰好“一红一白”的概率为： 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下： 掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次 石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93 石子落在阴影内的次数n 19 85 186 （1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值． （2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积． 【答案】（1）；（2）3π． 【思路引导】（1）根据次数越多，频率越稳定，用300次时石子落在圆内（含圆上）的次数 石子落在阴影内的次数即可得答案.（2）根据石子落在圆内和石子落在阴影内的次数的关系求出圆的面积约占封闭图形ABC面积的比例即可求出封闭图形ABC的大致面积. 【规范解答】（1）根据统计表，可得石子落在圆内的概率与落在阴影部分的概率之比k==； （2）石子落在圆内和石子落在阴影内的次数关系，随着试验次数的增多，逐渐趋向于为1：2， 所以圆的面积约占封闭图形ABC面积的， 因为S圆=π， 所以封闭图形ABC的面积约为3π． 【考点剖析】本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，关键是得到阴影与圆的比；用规则图形来估计不规则图形的比是常用的方法． 考点9：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·广东揭阳·期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1)； (2)估计其中不合格品有件 【思路引导】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率可得任抽一件该产品是合格品的概率，用总件数乘合格的频率即可得出m的值； （2）总件数乘以不合格的概率即可． 【规范解答】（1）解：估计任抽一件该产品是合格品的概率是， ， 故答案为：，； （2）解：抽取件数为时，合格的频率趋近于， 估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； ∴（件）， 答：估计其中不合格品有件． 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中________；________； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； (3)估计袋子中有白球________个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查了利用频率估计概率，分式方程的应用，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （）根据，即可求解； （）根据表格分析即可求解； （）由摸到黑球的频率将会接近，则有摸到黑球的概率为，故摸到黑球的概率为，则袋子中有白球， （）设增加相同的白球个，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当很大时，摸到黑球的频率将会接近， 故答案为：； （3）解：∵摸到黑球的频率将会接近， ∴摸到黑球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋子中有白球（个）， 故答案为：； （4）解：设增加相同的白球个， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有二正、一正一反、二反三种情况，所以（一正一反)”小颖反驳道：“这里的一正一反实际上含有一正一反，一反一正这两种情况，所以（一正一反）” （1）________的说法是正确的． （2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据： 二正 一正一反 二反 小聪 24 50 26 小颖 24 47 29 计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？ （3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？ 【答案】（1）小颖；（2）0.50；0.47；；（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次试验得出结果，而是要通过大量的重复试验得出事件发生的频率，从而去估计该事件发生的概率． 【思路引导】（1）要判断谁说的正确只要看他们说的情况有没有漏掉的即可． （2）根据频率=所求情况数与总情况数之比，即可得出结果． （3）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近． 【规范解答】解：（1）“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，共四种，所以小颖的说法是正确的； 故答案为：小颖； （2）小明得到的“一正一反”的频率是50÷100=0.50， 小颖得到的“一正一反”的频率是47÷100=0.47， 据此，我得到“一正一反”的概率是； （3）对概率的研究不能仅仅通过有限次实验得出结果，而是要通过大量的实验得出事物发生的频率去估计该事物发生的概率．我认为小聪与小颖的实验都是合理的，有效的． 【考点剖析】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 【真题演练1】（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：；D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)60，频数分布直方图见详解 (2)1200人 (3) 【思路引导】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图． （1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出组的人数，将频数分布直方图补充完整即可； （2）由该校学生总人数乘以每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生所占的百分比即可． （3）画树状图，共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，再由概率公式求解即可； 【规范解答】（1）解：本次调查的样本容量是：， 则组的人数， 将频数分布直方图补充完整如下： （2）解：（人）， 该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人． （3）解：画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为， 故答案为：． 【真题演练2】（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ (3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】(1)， (2)全校参加科幻画创作的学生有人； (3)恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 【思路引导】本题考查扇形统计图，用样本频数估计总体频数，用树状图求概率． （1）用C语言编程的人数除以对应的百分比，即可得抽取的学生人数，减去意愿参加C语言编程、科创小论文、科幻画创作的人数，即可得意愿参加无人机飞行训练的人数； （2）用全校总人数乘以科幻画创作学生数占总人数的比，即可得全校参加科幻画创作的学生人数； （3）根据题意画树状图，用一男一女的组合数比总数，即可得恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【规范解答】（1）解：（人） （人） 故答案为：，． （2）解：（人） 答：全校参加科幻画创作的学生有人． （3）解：画树状图如下： ∴． 答：恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【真题演练3】（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：． （2）解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 【真题演练4】（2025·四川德阳·中考真题）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块．灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查（每人只能选择一项），用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表： 主题板块 频数（满意人数） 频率（所占比例） A 180 0.36 B a 0.20 C 75 D b c E (1)直接写出a、b、c的值； (2)根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么？若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数； (3)若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】(1)，， (2)游客最满意的主题板块是A板块；当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人 (3) 【思路引导】本题考查了列表法和树状图法求概率，统计表的综合运用，以及用样本估计总体． （1）利用A板块的频数和频率求得样本容量，再求出a、b、c的值； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【规范解答】（1）解：人， ∴， ， ； （2）解：根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是A板块． （人） 答：当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人． （3）解：画树状图如图： 共有种等可能结果，其中“1名男生和1名女生”的结果有种， P（一男一女）． 答：恰好是1名男生和1名女生的概率是． 【真题演练5】（2025·四川宜宾·中考真题）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题． (1)本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； (2)若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动； (3)新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 【答案】(1)100，10，补全条形统计图见解析 (2)150 (3) 【思路引导】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，读懂统计图，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）先由演讲与口才人数除以占比求出调查的人数，再由调查的人数减去其余的人数即可求解喜爱舞蹈的学生人数，即可补全条形统计图； （2）用样本估计总体的方法即可求解； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：调查的学生数：（人）， 喜爱舞蹈的人数：（人）， 补全条形统计图如图： 故答案为：100，10； （2）解：（人）， ∴估计有150人喜欢乒乓球运动， 故答案为：150； （3）解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中同时选中甲乙两人的结果数有2种， ∴同时选中甲乙两人的概率是． 基础夯实 1．（2025·山东济南·模拟预测）2025年3月12日是我国的第47个植树节，为激发学生爱林、造林的热情，学校开展了一系列“绿化有我”活动．九年级二班为响应学校号召，计划从“油松树苗”“柳树苗”“榆树苗”“柏树苗”四种树苗中随机选取两种进行种植，则恰好选中“柳树苗”和“榆树苗”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．通过画树状图或列表列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【规范解答】解∶设“油松树苗”“柳树苗”“榆树苗”“柏树苗”分别为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中恰好选中“柳树苗”和“榆树苗”的结果有2种， ∴恰好选中“柳树苗”和“榆树苗”的概率， 故选：A． 2．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是黄球， 故选：B． 3．（2025·广东广州·二模）一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字，，，．除数字外四张卡片无其他区别，随机从这个口袋中先后随机取出两张卡片，卡片上的数字之和等于的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】列表可得出所有等可能的结果数以及卡片上的数字之和等于的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【规范解答】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中卡片上的数字之和等于的结果有：，，共种， 卡片上的数字之和等于的概率为． 故选：C． 4．（21-22九年级上·浙江台州·期末）某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的菜种数/粒 800 1600 2400 3200 4000 发芽的频率                          由此可以估计这批菜种发芽的概率为 （精确到）． 【答案】 【思路引导】本题考查了用频率估计概率，关键要清楚：在大量重复试验时，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率． 根据大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得． 【规范解答】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，试验种子数量越多，用于估计概率越准确， 所以估计种一粒这样的莱种发芽的概率约为， 故答案为：． 5．（2020·辽宁抚顺·模拟预测）在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了几何概率，以及正方形与圆的对称性，求出其他部分面积与总面积的比值是解决本题的关键． 用阴影部分的面积除以总面积即可求得飞镖落在阴影部分的概率． 【规范解答】解：根据正方形与圆的对称性可知，阴影部分占所有面积的， ∴其他部分的面积占所有面积的， ∴飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 故答案为： ． 6．（25-26八年级上·河南平顶山·开学考试）2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查几何概率．用阴影部分的面积除以正方形的总面积，即可得解． 【规范解答】解：如图， 由题意得：，，， ∴图③的面积为， 图④的面积为， 正方形的面积为， ∴停在阴影部分的概率为， 故答案为： 7．（2025九年级上·全国·专题练习）在不透明的布袋中放入白色，灰色和黑色小球各1个，它们只有颜色不同．那么： (1)如果任意摸取其中两个小球，一共有多少种不同的结果？ (2)如果任意摸取一个小球后放回，再摸取一个小球，两次摸到的小球颜色不相同的结果有多少种？请用树状图解决问题． 【答案】(1)3种 (2)6种 【思路引导】本题考查了求事件的结果种数、树状图的画法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）列举出来所有情况即可； （2）根据树状图的画法即可解题． 【规范解答】（1）解：一共有3种，分别是：一白一灰、一白一黑和一灰一黑，3种情况； （2）解：所有可能的结果列树状图结果如下： 由树状图可知，两次摸到的小球颜色不相同的结果有6种． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末） （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【思路引导】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【规范解答】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 9．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）名著赏析课上，张老师要求每位同学讲述一个关于西游记的小故事，因此制作了一个可以自由转动的转盘，将其分成四个完全相同的扇形，把西游记中的部分人物名称（师父：唐僧，徒弟：孙悟空、猪八戒、沙悟净）分别写在每个扇形区域内（如图所示）．每位同学转动一次转盘，转盘停止后，指针所指区域内的人物即为所要讲述小故事的主角（若指针指向两个扇形的分界线，则不计次数，重新转动，直到指针指向一个扇形区域为止）． (1)求该班同学小明讲述的小故事的主角是徒弟的概率； (2)请你用列表或画树状图的方法，求该班同学小美和小丽所讲述的小故事的两个主角是师徒关系的概率． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及列表法求概率是解题的关键． （1）先确定总情况数和主角是徒弟的情况数，再根据概率公式计算． （2）通过列表法列出所有可能的结果，再找出两个主角是师徒关系的结果数，最后用概率公式计算． 【规范解答】（1）解：∵ 转盘被分成四个完全相同的扇形，分别写有唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净，其中徒弟有孙悟空、猪八戒、沙悟净，共种情况， ∴ （主角是徒弟）； （2）解：设唐僧为，孙悟空为，猪八戒为，沙悟净为，列表如下： 小美 \ 小丽 共有种等可能的结果，其中两个主角是师徒关系的有、、、、、，共种结果， ∴ （两个主角是师徒关系）． 10．（2023·山东日照·一模）甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，满分10分，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成） 甲、乙两班代表队成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8.5 8.5 a 0.7 乙班 8.5 b 10 1.6 请根据有关信息解决下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派______代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”） (3)若甲班共有40名学生，试估计甲班成绩不低于8.5分的学生数量； (4)现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲、乙班各一名学生的概率． 【答案】(1)， (2)甲 (3)人 (4) 【思路引导】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，条形统计图，中位数、众数，方差，用样本估计总体等知识点，正确读懂统计图是解题的关键． （1）由条形统计图结合众数和中位数的定义即可求解； （2）利用平均数、方差的定义进行分析，即可得出答案； （3）由样本估计总体的方法求解即可； （4）首先根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与恰好抽到甲，乙班各一个学生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【规范解答】（1）解：由条形统计图可得甲班的众数为，即， 将乙班的数据从小到大排列为：，，，，， ∴中位数为，即， 故答案为：，； （2）解：现应选派甲班代表队参加市比赛会更好，理由如下： 从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好； 从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定． 故答案为：甲； （3）解：由条形统计图可得，（人）， 答：估计甲班成绩不低于8.5分的学生有人； （4）解：列表如下： 甲 乙1 乙2 甲 ﹣﹣﹣ 乙1 甲 乙2 甲 乙1 甲 乙1 ﹣﹣﹣ 乙2乙1 乙2 甲 乙2 乙1乙2 ﹣﹣﹣ 所有等可能的结果为6种，其中抽到甲班、乙班各一人的结果为4种， ∴抽到甲，乙班各一个学生的概率为． 培优拔高 11．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【规范解答】解：分别用表示哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁张卡片， 画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 故选：． 12．（2025·湖北武汉·三模）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左或向右转．如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时两辆车向右转，一辆车向左转的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了树状图法求概率，熟练掌握该知识点是解题的关键．先画树状图，共有种等可能的结果，其中两辆车向右转，一辆车向左转的结果有种，再由概率公式求解即可． 【规范解答】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两辆车向右转，一辆车向左转的结果有种， ∴两辆车向右转，一辆车向左转的概率是， 故答案为：B． 13．（2025·安徽池州·三模）电脑上随机推送难、中、易三道数学题（三题不同时呈现），要求做题人选其中的一题解答．明明直接做电脑推荐的第一道题，不再点击第二、三题；慧慧不做电脑推送的第一道题，简单思考后点击第二题，发现第二题比第一题容易，就做第二题，否则点击第三题并做第三题．则下列判断正确的是（   ） A．明明做到容易题的概率大 B．慧慧做到容易题的概率大 C．他俩做到容易题的概率一样大 D．他俩至少有1人做到容易题的概率为 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了列举法求概率，先列举出三道题的推送顺序的结果，再根据概率计算公式分别求出两人做容易题的概率，以及他俩至少有1人做容易题的概率，据此可得答案． 【规范解答】解：∵三道题的推送顺序的结果为：（难、中、易），（难、易、中），（中、难、易），（中、易、难），（易、难、中），（易、中、难）， ∴明明做到容易题有2种结果，慧慧做到容易题的结果有3种 ∴明明做到容易题的概率，慧慧做到容易题的概率； ∵明明和慧慧两人中，至少有一人做到容易题的结果有5种， ∴他俩至少有1人做到容易题的概率． 故选B． 14．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径，小圆半径，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞每次都落在游戏板上），则击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查几何概率，熟练掌握几何概率的求法是解题的关键．根据几何概率的求法进行解答即可． 【规范解答】解：大圆的半径，小圆半径， 大圆面积是小圆面积的倍， 阴影部分面积是小圆面积的倍， 故击中阴影部分的概率是． 故答案为：． 15．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 个． 【答案】16 【思路引导】本题主要考查利用频率估计概率，设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解． 【规范解答】解：∵通过大量重复试验后发现，发现摸到白球的频率稳定于0.8， ∴发现摸到白球的频率稳定于0.8， 设白球的个数有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴估计箱子里白球的个数为16． 故答案为：16． 16．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）已知a、b可以取中任意一个值，则直线的图象不经过第四象限的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数的图象性质以及概率的计算，解题的关键是先确定a，b的所有可能取值组合，再根据一次函数图象不过第四象限的条件筛选出符合要求的组合，最后根据概率公式计算概率． 先找出a，b所有不同的取值组合情况，再根据一次函数图象不经过第四象限的条件确定满足条件的组合，最后用满足条件的组合数除以总组合数得到概率． 【规范解答】已知a，b可以取中任意一个值，那么的所有可能组合有列表如下： 1 2 1 2 所以的所有可能组合，，共6种情况， 对于一次函数，当且时，图象不经过第四象限， 满足且的组合有，共2种情况， 可得直线的图象不经过第四象限的概率是． 故答案为：． 17．（2025·吉林·模拟预测）如图1．线段和相交于点，连接．四张卡片除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明第一次抽到卡片②后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是______________． (2)若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明的概率，用树状图法进行计算． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，树状图法求概率，熟练掌握全等三角形的判定，画树状图法求概率，是解题的关键． （1）先判断能得到的结果，再利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：（1）， 当时，． 当时，． 当时，无法得到． 概率是． 故答案为：． （2）如图： 共12种等可能的结果． 结合，其中 ①，②，∴； ②，①，∴； ②，④，∴； ④，②，∴， 满足要求的结果有4种． 18．（2021·陕西西安·模拟预测）为庆祝中国共产党建党100周年，某市某展览馆进行党史展览，把免费参观票分到学校．如图，展览馆大厅有A、B、C、D四个出入口．张莉同学凭票随机从一个出入口进入展览大厅，参观结束后随机选择一个出入口离开． (1)张莉从A出入口进入的概率是______； (2)利用树状图或列表法，求张莉选择同一个出入口进入和离开展览大厅的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． （1）根据直接由概率公式求解即可． （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得张莉选择同一个出入口进入和离开展览大厅的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【规范解答】（1）解：一共有4个入口，票随机从一个出入口进入展览大厅有4种可能，张莉从A出入口进入的概率是. 故答案为： （2）画树状图如图：    由树形图可知所有可能的结果有种，其中选择张莉选择同一个出入口进入和离开展览大厅有4种结果， 张莉选择同一个出入口进入和离开展览大厅的概率为． 19．（25-26九年级上·新疆喀什·阶段练习）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； (2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 【答案】(1)；详见解析 (2) (3) 【思路引导】此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图是解题的关键． （1）根据条形统计图和扇形统计图，先用篮球的人数算出总人数再补全即可； （2）根据“排球”人数占总人数的比例求出圆心角度数； （3）通过树状图列出所有可能的组合，从而得到概率． 【规范解答】（1）被调查的学生有（名）， 足球人数：（名）， 补全条形统计图如下： （2）， 故答案为：． （3） 共有种等可能的结果，甲和乙同时被选中的结果有种， 甲和乙同时被选中的概率． 20．（20-21九年级上·四川·阶段练习）感恩节即将来临，小王调查了初三年级部分同学在感恩节当天将以何种方式对帮助过自己的人表达感谢，他将调查结果分为如下四类：A类——当面表示感谢、B类——打电话表示感谢、C类——发短信表示感谢、D类——写书信表示感谢．他将调查结果绘制成了如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据图中提供的信息完成下列各题：          （1）补全条形统计图； （2）在A类的同学中，有4人来自同一班级，其中有2人主持过班会．现准备从他们4人中随机抽出两位同学主持感恩节主题班会课，请用树状图或列表法求抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会的概率． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路引导】（1）联系扇形统计图和条形统计图的信息分别求出调查的学生总数、C类人数和B类人数，然后画图即可； （2）先采用列表法或树状图法列出所有机会均等的结果，然后求出抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会的概率． 【规范解答】（1）调查的学生总数为％（人）， C类人数为（人）， B类人数为（人）， 条形统计图为：   （2）设主持过班会的两人分别为、，另两人分别为、，填表如下： 由列表可知，共有12种等可能情况，其中有8种符合题意， 所以（抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会）． 【考点剖析】此题主要考查关联扇形统计图与条形统计图、通过列表法与树状图法求概率，解题关键是正确读懂统计图的信息． 学科网（北京）股份有限公司 $