精品解析：湖南省娄底市娄星区2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

湖南省2025年九年级（上）作业（一） 数学（湘教版） 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. ±1 3. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. (3，1) B. （-3，1） C. (3，) D. （，3） 4. 将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数大致图像是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣5） B. 图象位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 8. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球．”这句话阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即阻力阻力臂＝动力动力臂．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 10. 如果有理数、同时满足，那么的值为( ) A. B. C. D. 以上答案都不对 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一元二次方程2x(x－3)＝5(x＋2)－7化成一般形式是______________． 12. 若函数是反比例函数，则________． 13. 如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图像经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝_____． 14. 关于x的一元二次方程的两个根分别是与，______． 15. 在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示．点P(4，3)在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是________m. 16. 若关于x的一元二次方程的一个根是3，则的值是_________． 17. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 18. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为_______． 三、解答题：本题共2小题，共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求x的值． 20. 解方程： （1）； （2）． 四、解答题：本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知反比例函数(k为常数，k≠2)． （1）若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； （2）若，试写出当时，x的取值范围． 22. 已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 五、解答题：本题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要_____； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求点D坐标． 六、综合与实践：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25. 【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 26. 如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． （1）求的长度； （2）若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2025年九年级（上）作业（一） 数学（湘教版） 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数的解析式的形式为：且k为常数，，因而可知选项D是反比例函数，其余选项均不是反比例函数． 故选：D． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. ±1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据是一元二次方程，则，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得，， 故选：C． 3. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. (3，1) B. （-3，1） C. (3，) D. （，3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3． 【详解】解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确； B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误； C、∵,∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误； D、∵,∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误； 故选A． 4. 将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式及计算方法是解题的关键． 运用完全平方公式展开，再化成一元二次方程的一般式进行比较即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得，， 故选：A ． 5. 反比例函数大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像，根据“反比例函数中，当时，双曲线位于第一、三象限；当时，双曲线位于第二、四象限”解答即可． 【详解】解：∵对于反比例函数，有， ∴反比例函数图像位于第二、四象限． 故选：B． 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法把方程变形即可. 【详解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17， 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键． 7. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣5） B. 图象位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数y＝﹣， A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 8. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球．”这句话阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即阻力阻力臂＝动力动力臂．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，直接利用阻力阻力臂动力动力臂，进而得出动力关于动力臂的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】阻力阻力臂＝动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， 动力（单位：）关于动力臂（单位：）的函数解析式为，则，是反比例函数， 又动力臂， 故选：A． 9. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 10. 如果有理数、同时满足，那么的值为( ) A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】将看成整体，运用平方差公式即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴（负值舍去）， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一元二次方程2x(x－3)＝5(x＋2)－7化成一般形式是______________． 【答案】2x2－11x－3＝0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式化简即可． 【详解】 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式∶，解题的关键是正确的理解相关概念． 12. 若函数是反比例函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图像经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝_____． 【答案】﹣12 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题． 【详解】解：∵AB⊥OB， ∴S△AOB＝＝6， ∴k＝±12， ∵反比例函数的图像在二四象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣12， 故答案为﹣12． 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数比例系数的几何意义． 14. 关于x的一元二次方程的两个根分别是与，______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，解一元一次方程，形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 利用直接开平方法解方程得到方程的两根互为相反数，则，则可计算出，进而代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∵，关于x的一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴ ∴． 故答案为：9． 15. 在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示．点P(4，3)在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是________m. 【答案】1.2 【解析】 【分析】利用点的坐标求出，当时，即，求出，即可求解． 【详解】解：设函数的表达式， 将点的坐标代入上式得：，解得， 则反比例函数表达式为， 当时，即， 解得， 故答案为：1.2． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 16. 若关于x的一元二次方程的一个根是3，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入，得，然后整理式子，即可得到的值． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 那么， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义以及整体代入思想的运用，难度较小． 17. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 18. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将变形为，再利用“降次法”将转化为，然后解一元二次方程，求出，再代入求值即可． 【详解】解：， ∴． ∴ ， ， ， ， ， ， ． ∵，， ∴ ∴， ∵， ； ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解题的关键． 三、解答题：本题共2小题，共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设y与x的函数关系式为，将代入即可； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 将代入，得：， 解得． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用配方法计算即可； （2）移项后利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，； 【小问2详解】 解：， 整理得， 因式分解得，即， 则或， 解得，． 四、解答题：本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知反比例函数(k为常数，k≠2)． （1）若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； （2）若，试写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数（为常数）中，当时，在每一象限内随的增大而减小；当时，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质，当反比例函数（为常数）中时，在每一支上随的增大而增大，所以通过这个性质列关于的不等式求解． （2）先把代入函数解析式得到具体的反比例函数，再分别求出和时对应的的值，最后根据反比例函数的单调性确定的取值范围． 【小问1详解】 解：反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大 ； 【小问2详解】 解：当时，反比例函数为 当时，，解得 当时，，解得 反比例函数在时，随的增大而减小 当时，． 22. 已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】（1） 解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 五、解答题：本题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要_____； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）根据题意列式计算即可； （2）设，结合（1）中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）根据加热过程中水温不低于的时间降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，进行分析求解，即可解题． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数， 设， 由（1）知，过点， ， 水温关于通电时间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意得，， 当时，，解得， 又， 加热一次，水温不低于的时间为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求点D坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 （3）D或D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据函数图像可得的自变量x的取值范围即为一次函数图像在双曲线上方所对应的自变量x的取值范围； （3）对于一次函数，令，可得，则，再由求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴，把，代入（）， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图像可知，当时，自变量x的取值范围是或． 【小问3详解】 解：对于一次函数，令，可得， ∴， ∵点D是y轴上一点，且， ∴， ∴， ∴或． 六、综合与实践：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25. 【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值 【探究】， 因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 【解析】 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】略 26. 如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． （1）求的长度； （2）若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】（1）的长度为3 （2）①；②当点坐标为时，的周长最小 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质，推出，再利用勾股定理求的长； （2）①设，则，利用勾股定理列方程，求出，可得，将点代入反比例函数解析式求解即可； ②先求出直线的解析式，再求反比例函数图象与直线的交点的坐标，延长至点G，使得，利用垂直平分线的性质说明，进一步说明当点P为与的交点时，最小，此时的周长最小，再求出直线，的解析式，联立解方程可得点P的坐标． 【小问1详解】 解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， 由翻折得到， ，，， 由勾股定理得，． 的长度为3． 【小问2详解】 解：①设，则， 又，， 由勾股定理得，， 即，解得， ，即， 将点代入反比例函数，可得， 反比例函数解析式为． ②设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得， 直线的解析式为． 解方程得，，， 经检验，，是方程的解， 当时，，故． 如图，延长至点G，使得，连接，， 又， 垂直平分， ， ， 当点P为与的交点时，有最小值时． 的周长等于，的长为定值， 当有最小值时，的周长最小， ， E为的中点， 设，又，， ，解得， ， 设直线的解析式为， 代入点，可得， 解得， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为：， 联立，解得， 直线与的交点坐标为， 当点坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，求线段和的最小值问题等相关知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $