精品解析：湖北省问津教育2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题

问津教育联合体2028届高一10月联考 数学试卷 考试时间：2025年10月11日上午8：00－10：00 试类满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、并集定义直接计算即可. 【详解】由题意，=. 故选：B 2. 已知命题，方程至少有1解，则为（ ） A. ，方程无解 B. ，方程至多有1解 C. ，方程至多1解 D. ，方程无解 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定得解. 【详解】由存在量词命题的否定知，为：，方程无解， 故选：A 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式解得，根据“”与“”的关系，即可得解. 【详解】由可得，解得. 因为由“”推不出“”，且由“”推不出“”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 下列函数中，最小值是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特值分析ABC，可排除，根据基本不等式求最小值判断D即可. 【详解】对于A，时，，故不符合题意； 对于B，时，，故不符合题意； 对于C，当时，，故不符合题意； 对于D，由基本不等式（当且仅当时取“＝”）．正确. 故选：D． 5. 在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，那么，这四名同学服务时长按照从大到小的顺序排列为（ ） A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 C. 丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丙、丁 【答案】A 【解析】 【分析】设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为，，，，根据题意得：，由此能求出这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列． 【详解】设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为，，，，，，，， 根据题意得：，，即， 又，所以，所以． 这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙． 故选：A． 6. 已知集合，，则集合的非空真子集个数为（ ） A. 2 B. 14 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】运用列举法，结合子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为，， ， 所以集合的非空真子集个数为. 故选：C 7. 正实数x，y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立，分析出，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出实数m的取值范围. 【详解】不等式恒成立，即. 因为，，. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以， 即，解得. 故选：C 8. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合题中定义、充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】，则， 表示不大于的最大整数， ，要求不等式成立的充分不必要条件， 只要求出不等式解集的一个非空真子集即可， 只有选项B符合题意 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 方程的解集为 B. 满足的整数解的集合为 C. 由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D. 中含有3个元素 【答案】BC 【解析】 【分析】由根式与平方意义求解方程即可判断A；解不等式组即可判断B；化简实数，，再结合集合中元素的互异性即可分析求解判断C；根据集合中的元素的特点可得是6的正整数约数，即可求解判断D. 【详解】A，因为，所以由题意方程的解为，故方程的解集为，A错误； B，由得，整数解的集合为，B正确； C，由于，且在，，中，当时，， 当时，，当时，， 故三者，，中至少有两个相等， 则由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，C正确； D，因为且，所以是6的正整数约数， 即，解得， 因此集合中含有4个元素，故D错误 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若实数x、y、z满足，则 C. 若，，，则ab的最小值是9 D. 若，，，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用不等式的性质，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】A，，又，，则，，可得 B，，，， 当且仅当时，等号成立；又， ，可得：. C，，当且仅当时取等号，，解得或（舍），故. D，，，，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确. 故选：BCD 11. 对任意，记，并称为集合A，B的对称差.下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若A，且，则；若A，且，则 D. 存在A，，使得；存在A，，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】先分析出，分别求出和，再求出，即可判断A，B；根据的定义，分别求出当和时，及的结果，进而得到集合的关系，即可判断C；根据的定义，验证是否成立，即可判断D. 【详解】对于选项A，因为，，， 所以，故A正确； 对于选项B，因为，， 所以，故B错误； 对于选项C， 若，则， 因为，而， 所以要使，必须有，即， 此时等式变为，这意味着，又由，可知； 若，则， 所以且. 由可得，由可得，所以. 故C正确； 对于选项D，对于任意集合， 恒成立， 所以存在A，，使得是假命题； 当时，，， 所以存在A，，使得是真命题，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若中至多有一个元素，则实数的取值范围是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，根据一元二次方程解的个数求得实数的取值范围. 【详解】当时，，只有一个元素，符合题意； 当时，若中至多有一个元素，则关于的一元二次方程有两个相等的实数根或无实数根， 则，解得， 所以实数的取值范围是或， 故答案为：或. 13. 已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案. 【详解】因为为假命题，所以为真命题，即， 又因为集合，集合， 所以当时，，即，此时满足； 当时，或，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 14. 某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二天没参加活动的有___________人，这三天参加活动的最少有___________人. 【答案】 ①. 160 ②. 290 【解析】 【分析】根据题意画出Venn图，表示只去第一天的人，表示只去第二天的人，表示只去第三天的人.表示只去第一天与第二天的人，表示只去第一天与第三天的人，表示只去第二天与第三天的人，表示三天都去的人，要使总人数最少，则令最大，其次､､也尽量大，由此计算可得答案. 【详解】解：根据题意画出Venn图，如图所示： 表示只去第一天的人， 表示只去第二天的人， 表示只去第三天的人， 表示只去第一天与第二天的人， 表示只去第一天与第三天的人， 表示只去第二天与第三天的人， 表示三天都去的人， ∴要使总人数最少，则令最大，其次､､也尽量大，，，∴，，，， ∴，， ∴，∴，， 则这三天参加活动的最少有：人. 故答案为：160，290. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集、补集、交集运算求解； （2）转化为集合的包含关系，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， 或， . 【小问2详解】 ，， 则当时，，解得，满足题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 16. （1）求函数的最大值； （2）求函数的取值范围； （3）若，，，求的最小值并求出取最小值时a，b的值. 【答案】（1）；（2）；（3）3， 【解析】 【分析】（1）由基本不等式（当且仅当时取等）即可解得； （2）先分离常数得，再利用基本不等式求范围； （3）根据题意得，再运用“1”的妙用求解. 【详解】（1），，， 由基本不等式有 当且仅当即时，等号成立， 函数的最大值为. （2），， , 时，需要，所以等号取不到， 函数的取值范围为. （3），且，， 则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为，此时. 17. 已知命题，；命题，. （1）分别求出p，q为真命题时，实数a的取值范围； （2）若与q只有1个为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1）p为真命题时，；q为真命题时， （2）. 【解析】 【分析】（1）对于命题p，用判别式确定a的取值范围，对于命题q，利用基本不等式求出的最大值，进而确定a的取值范围； （2）先求出为真时a的取值范围，再根据与q只有1个为假命题，分情况讨论，确定a的取值范围. 【小问1详解】 的解集为，，解得， p为真命题时，； ，，， ， 当且仅当，即时取等号， ，， 当为真命题时，. 【小问2详解】 由（1）可知为真命题时， 当为真命题，为假命题时，，， 当为假命题，为真命题时，，， 综上所述：实数a的取值范围为. 18. 居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为. （1）现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； （2）若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 【答案】（1） （2）,，（元） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）根据题意列出造价的表达式，即可利用基本不等式求解最值得解. 【小问1详解】 设，灯带长度即 花岗岩地坪面积 ，，， ，, 当且仅当时取等, 综上，面积最大值为 【小问2详解】 两个相同的矩形构成的面积为，，, 且（） ，矩形面积为，正方形面积为 ； ， 当且仅当，即时，（元） 故当，即时，总造价最小 19. 已知集合，. （1）若，求N； （2）设M中所有的元素均为正数，N中元素的个数为，求的最小值； （3）若，，求M. 【答案】（1） （2）最小值为3 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据集合元素性质，分类讨论进行求解即可； （2）根据集合元素性质，结合题中定义进行求解即可； （3）根据集合元素性质，分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 当，时，；当，时，； 当，时，；当，时，； 当，时，；当，时， 故； 【小问2详解】 设，则，则. 令，则，，即，. ，此时，故的最小值为3 【小问3详解】 ，其中3个负数2个正数， 中负数的个数为1或2或3，设. 若，则， 中元素大于1，不符合题意，舍去. 若，则，，. ，，则，，，则，， 解得，则，此时，符合题意. 若，则，，，. 中只有元素大于1，不符合题意， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 问津教育联合体2028届高一10月联考 数学试卷 考试时间：2025年10月11日上午8：00－10：00 试类满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，方程至少有1解，则为（ ） A. ，方程无解 B. ，方程至多有1解 C. ，方程至多1解 D. ，方程无解 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，最小值是的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，那么，这四名同学服务时长按照从大到小的顺序排列为（ ） A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 C. 丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丙、丁 6. 已知集合，，则集合的非空真子集个数为（ ） A. 2 B. 14 C. 6 D. 8 7. 正实数x，y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 方程的解集为 B. 满足的整数解的集合为 C. 由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D. 中含有3个元素 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若实数x、y、z满足，则 C. 若，，，则ab的最小值是9 D. 若，，，则的最小值是 11. 对任意，记，并称为集合A，B的对称差.下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若A，且，则；若A，且，则 D. 存在A，，使得；存在A，，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若中至多有一个元素，则实数的取值范围是__________. 13. 已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________. 14. 某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二天没参加活动的有___________人，这三天参加活动的最少有___________人. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）求函数的最大值； （2）求函数的取值范围； （3）若，，，求的最小值并求出取最小值时a，b的值. 17. 已知命题，；命题，. （1）分别求出p，q为真命题时，实数a的取值范围； （2）若与q只有1个为假命题，求实数a的取值范围. 18. 居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为. （1）现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； （2）若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 19. 已知集合，. （1）若，求N； （2）设M中所有的元素均为正数，N中元素的个数为，求的最小值； （3）若，，求M. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $