第3模板 函数 课件2025-2026学年中考数学专题考点精讲（河南）

该初中数学中考复习课件系统覆盖函数模块核心考点，严格对接中考说明，分析近三年考点权重，归纳坐标范围、函数图像分析、动态问题等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导”模式，如通过动态几何问题（第8题）示范运动过程分析与相似推理，培养几何直观与推理意识，借助分段函数规律探究（第5题）提升抽象能力。助力学生掌握答题技巧，教师可依此制定冲刺计划，确保复习效果。

第3模块　函数 第九章　一次函数 1.[2024·四川德阳]正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是(　　) A. B.－ C.－1 D.－ 【解析】　由题中图象，知y随 x的增大而增大， ∴k＞0，∴k的值可能是. A 2.[2024·广东]已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数 y＝kx＋b的图象大致是(　　) A　 B C D 【解析】　不等式kx＋b＜0的解集是x＞－2，故A选项不符合题意. 不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，故B选项符合题意. 不等式kx＋b＜0的解集是x＜－2，故C选项不符合题意. 不等式kx＋b＜0的解集是x＞2，故D选项不符合题意. B 3.[2023·内蒙古巴彦淖尔]在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则该一次函数的解析式为(　　) A.y＝－2x＋3 B.y＝－2x＋6 C.y＝－2x－3 D.y＝－2x－6 【解析】　正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的解析式为y＝－2(x－3)＝－2x＋6. B 4.[2024·湖南长沙]对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是(　　) A.它的图象与y轴交于点(0，－1) B.y随x的增大而减小 C.当x＞时，y＜0 D.它的图象经过第一、二、三象限 【解析】　当x＝0时，y＝－1，∴一次函数的图象与y轴交于点(0，－1)，故A选项符合题意； ∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，故B选项不符合题意； 令x＝，则y＝0，∴当x＞时，y＞0，故C选项不符合题意； 一次函数的图象经过第一、三、四象限，故D选项不符合题意. A 5.[2025·江苏扬州]已知m2 025＋2 025m＝2 025，则一次函数y＝(1－m)x＋m的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】　∵m2 025＋2 025m＝2 025， ∴m＞0且2 025m＜2 025， ∴0＜m＜1， ∴1－m＞0， ∴一次函数y＝(1－m)x＋m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限. D 6.[2024·内蒙古包头]在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的解析式：　　　　　　　　　　. 【解析】　设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0).因为一次函数的图象经过第一、二、三象限，所以k＞0，b＞0，则一次函数的解析式可以是y＝x＋1. y＝x＋1(答案不唯一) 7.[2025·福建改编]弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的一种工具.胡克定律的大致内容为：在弹性限度内，弹簧发生弹性形变时，弹力F的大小与弹簧伸长(或缩短)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数.一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧的长度为6.5 cm，那么，当弹簧的长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为　　　　kg(质量为m kg的物体，其重力为mg N，其中g为常数). 0.8 【解析】　将F＝0.5g，x＝6.5－6＝0.5代入F＝kx， 得0.5g＝0.5k， 解得k＝g， ∴F关于x的函数解析式为F＝gx. 将x＝6.8－6＝0.8，F＝mg代入F＝gx， 得mg＝0.8g， 解得m＝0.8， ∴当弹簧的长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为0.8 kg. 8.[2023·北京]在平面直角坐标系中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(0，1)和点B(1，2)，与过点(0，4)且平行于x轴的直线交于点C. (1)求该函数的解析式及点C的坐标； 解：把A(0，1)，B(1，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，得解得 ∴该函数的解析式为y＝x＋1. 由题意，知点C的纵坐标为4. 当y＝x＋1＝4时，解得x＝3， ∴点C的坐标为(3，4). (2)当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x＋n的值都大于函数y＝kx＋b(k≠0)的值且小于4，直接写出n的值. 解：n＝2. 提示：由(1)，知当x＝3时，y＝x＋1＝4. ∵当x＜3时，函数y＝x＋n的值都大于函数y＝x＋1的值且小于4， ∴当直线y＝x＋n过点(3，4)时，满足题意. 把(3，4)代入，得4＝×3＋n，解得n＝2. 9.[2024·四川眉山]眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同，每件A款文创产品的进价比B款文创产品的进价多15元. (1)A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？ 解：设A款文创产品每件的进价是a元，则B款文创产品每件的进价是(a－15)元. 根据题意，得＝，解得a＝80. 经检验，a＝80是原分式方程的解，且符合题意. ∴a－15＝65. (2)已知A款文创产品每件的售价是100元，B款文创产品每件的售价是80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 解：设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品(100－x)件，总利润是W元. 根据题意，得80x＋65(100－x)≤7 400， 解得x≤60. ∵W＝(100－80)x＋(80－65)(100－x)＝5x＋1 500，k＝5＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝60时，利润最大，最大利润是5×60＋1 500＝1 800(元). 答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完获得的利润最大，最大利润是1 800元. 10.[2024·黑龙江牡丹江]一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地.甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 h到达目的地.甲、乙两车之间的路程y(km)与两车行驶时间x(h)的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是　　　　km/h，并在图中括号内填上正确的数； 300 解：由题图可知，甲车 h行驶的路程为(200－180)km， ∴甲车行驶的速度是(200－180)÷＝70(km/h).故答案为70. 70×(4＋)＝300(km).故括号内应填300. (2)求图中线段EF所在直线的函数解析式； 解：由题图可知，点E，F的坐标分别为(，0)，(4，180). 设线段EF所在直线的函数解析式为y＝kx＋b， 则解得 ∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝120x－300. (3)请求出当两车出发多长时间时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍. 解：由题意可知，A，C两地的距离为(4＋)×70＝300(km)， 乙车行驶的速度为300÷－70＝50(km/h)， C，B两地的距离为50×4＝200(km)， A，B两地的距离为300－200＝100(km). 设当两车出发x h时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍. 当甲车到达B地前时，200－50x＝3(100－70x)，解得x＝； 当甲车经过B地后，且与乙车相遇前时，200－50x＝3(70x－100)，解得x＝； 当甲、乙两车相遇后，可知不符合题意. 综上所述，当两车出发 h或 h时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍. 谢 谢 观 看！ $第3模块　函数 第十章　反比例函数 1.[2024·广西]已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，若x1＜0＜x2，则(　　) A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1 C.y1＜y2＜0 D.0＜y1＜y2 【解析】　∵k＝2＞0，∴反比例函数y＝的图象位于第一、三象限.∵x1＜0＜x2，∴y1＜0＜y2. A 2.[2024·安徽]已知反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.3 【解析】　将x＝3代入y＝2－x中，得y＝－1.将(3，－1)代入y＝中，得k＝－3. A 3.[2024·浙江]反比例函数y＝的图象上有P(t，y1)，Q(t＋4，y2)两点.下列说法正确的是(　　) A.当t＜－4时，y2＜y1＜0 B.当－4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C.当－4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D.当t＞0时，0＜y1＜y2 【解析】　∵k＝4＞0，∴反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小. 当t＜－4时，t＋4＜0，∴y2＜y1＜0，故A选项符合题意； 当－4＜t＜0时，t＋4＞0，且t＜t＋4，∴y1＜0， y2＞0，∴y1＜0＜y2，故B，C选项不符合题意； 当t＞0时，t＋4＞0，且t＜t＋4，∴y1＞y2＞0，故D选项不符合题意. A 4.[2024·黑龙江大庆]在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx－k(k≠0)与y＝的大致图象为(　　) A B C D C 【解析】　将x＝1代入y＝kx－k， 得y＝k－k＝0， 所以函数y＝kx－k的图象过定点(1，0). 故B选项不符合题意. 当k＞0时， 在函数y＝kx－k中，y随x的增大而增大； 在函数y＝中，y＞0， 其函数图象在x轴的上方， ∴A，D选项不符合题意，C选项符合题意. 5.[2024·江苏宿迁]如图，点A在双曲线y1＝(x＞0)上，连接AO并延长，交双曲线y2＝(x＜0)于点B，C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC.若△ABC的面积为6，则k的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 C 【解析】　如图，过点A作AD⊥x轴于点D. 设A(a，)(a＞0). ∵AO＝AC，AD⊥OC， ∴OC＝2OD＝2a. 设直线OA的函数解析式为y＝mx. 将A(a，)代入，得ma＝， ∴m＝， ∴直线OA的函数解析式为y＝x. 联立 解得(舍去) ∴B(－，－)， ∴S△ABC＝S△BOC＋S△AOC＝OC·｜yB｜＋OC·｜yA｜＝×2a(＋)＝k＝6， 解得k＝4. 6.[2024·江苏镇江]如图，在平面直角坐标系中，过点A(m，0)且垂直于x轴的直线l与反比例函数y＝－的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是(　　) A.m＜－2或m＞2 B.－2＜m＜2且m≠0 C.－2＜m＜0或m＞2 D.m＜－2或0＜m＜2 C 【解析】　由题意，得点B的坐标为(m，－). 当点A在原点右侧时，m＞0. ∵直线l绕点B逆时针旋转45°， ∴所得的直线与直线y＝－x平行. 设这条直线的解析式为y＝－x＋b. ∵这条直线经过第一、二、四象限， ∴b＞0. ∵点B在直线y＝－x＋b上， ∴－m＋b＝－， ∴b＝m－＝＞0. ∵m＞0， ∴m2－4＞0， ∴m＞2. 当点A在原点左侧时，m＜0. 设这条直线的解析式为y＝－x＋b'. 同理可得，b'＝＞0. ∵m＜0， ∴m2－4＜0， ∴－2＜m＜0. 故m的取值范围是－2＜m＜0或m＞2. 7.[2024·陕西]已知点A(－2，y1)和点B(m，y2)均在反比例函数y＝－的图象上.若0＜m＜1，则y1＋y2　　　　0.(填“＞”“＜”或“＝”) ＜ 【解析】　∵点A(－2，y1)和点B(m，y2)均在反比例函数y＝－的图象上， ∴y1＝，y2＝－. ∵0＜m＜1， ∴y2＜－5， ∴y1＋y2＜－5＝－＜0. 8.[2024·湖南]在一定条件下，乐器中弦的振动频率f(单位：Hz)与弦长l(单位：m)成反比例关系，即f＝(k为常数，k≠0).若某乐器的弦长l为0.9 m，振动频率f为 200 Hz，则k的值为 　　　　. 【解析】　当l＝0.9，f＝200时，200＝， 解得k＝180. 180 9.[2024·甘肃甘南州]如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝(x＞0)的图象与AB相交于点M，与BC相交于点N，连接ON，OM，MN.若点B的坐标为(4，2)，△MON的面积为，则k的值为　　　　. 2 【解析】　由题意可知，点M的坐标为(4，)，点N的坐标为(，2)，∴BM＝2－，BN＝4－. 由反比例函数解析式中k值的几何意义可得，S△OCN＋S△OAM＝k， ∴S△BMN＝S矩形OABC－k－， 即(2－)(4－)＝2×4－k－， 解得k＝2(负值舍去). 10.[2024·吉林]已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，其图象如图所示. (1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围)； 解：设这个反比例函数的解析式为I＝. 由题意，得U＝IR＝9×4＝36， ∴这个反比例函数的解析式为I＝. (2)当电阻R为3 Ω时，求电流I. 解：当电阻R为3 Ω时，I＝＝12(A). 11.[2025·四川成都]如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝图象的一个交点为A(a，2)，与x轴的交点为B(3，0). (1)求k的值； 解：∵直线y＝－x＋b与x轴的交点为B(3，0)， ∴0＝－3＋b， 解得b＝3， ∴一次函数的解析式为y＝－x＋3， 把A(a，2)代入y＝－x＋3， 得2＝－a＋3，解得a＝1， ∴点A的坐标为(1，2). 把A(1，2)代入y＝，得2＝，解得k＝2. (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，连接CD，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数解析式； 解：如图，连接AD. 由(1)，得反比例函数的解析式为y＝. 设直线AC的函数解析式为y＝mx(m≠0). 把A(1，2)代入，得m＝2， ∴直线AC的函数解析式为y＝2x. ∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴2x＝，解得x＝－1或x＝1(舍去)， ∴点C的坐标为(－1，－2)， ∴AC2＝(1＋1)2＋(2＋2)2＝20. 设点D的坐标为(m，)， ∴AD2＝(1－m)2＋(2－)2，CD2＝(－1－m)2＋(－2－)2. ∵∠ACD＝90°， ∴AD2＝CD2＋AC2， ∴(1－m)2＋(2－)2＝(－1－m)2＋(－2－)2＋20， 解得m＝－4或－1(舍去)， ∴点D的坐标为(－4，－). 设直线AD的函数解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)， 把D(－4，－)，A(1，2)代入， 得 解得 ∴直线AD的函数解析式为y＝x＋. (3)P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E(异于点A)，连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标. 解：设点E的坐标为(t，)，设直线AE的函数解析式为y＝k2x＋b2. 把E(t，)，A(1，2)代入， 得解得 ∴直线AE的函数解析式为y＝－x＋. 当y＝0时，0＝－x＋， 解得x＝t＋1， ∴点P的坐标为(t＋1，0)， ∴BP＝＝， ∴S△BEP＝×｜yE｜×BP＝××. ∵△BEP的面积为2， ∴××＝2， 解得t＝或t＝－2， ∴点E的坐标为(－2，－1)或(，3). 谢 谢 观 看！ $第3模块　函数 第八章　函数 1.[2024·山东滨州]若点P(1－2a，a)在第二象限，则a的取值范围是(　　) A.a＞ B.a＜ C.0＜a＜ D.0≤a＜ 【解析】　∵点P(1－2a，a)在第二象限， ∴解得a＞. A 2.[2024·湖北武汉]如图，一个圆柱体形状的水槽底部叠放两个底面半 径不相等的实心圆柱体，向水槽内匀速注水，下列图象能大致反映水 槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是(　　) A B C D 【解析】　下层圆柱体底面半径大，水面上升得快，上层圆柱体底面半径稍小，水面上升得稍慢，当水面没过上层圆柱体时，水面上升得更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓. D 3.[2024·江苏镇江]甲、乙两车在出发前油箱里都有40 L油，油箱剩余油量y(单位：L)关于行驶路程x(单位：百千米)的函数图象分别如图所示，已知甲车每百千米平均耗油量比乙车每百千米平均耗油量少2 L，则下列关系正确的是(　　) A.－＝2 B.－＝2 C.－＝2 D.－＝2 B 【解析】　由题中图象可知，甲、乙两车行驶m百千米时，甲车耗油40－24＝16(L)，乙车耗油40－20＝20(L). 由题意，得－＝2. 4.[2025·河南]汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因 素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某 款轮胎的摩擦系数μ与车速v之间的函数关系如图所示.下列说 法中错误的是(　　) A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h D.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 C 【解析】　由题图可知，当v＝0时，μ＝0.9，即汽车静止时， 这款轮胎的摩擦系数为0.9，A选项说法正确，不符合题意； 由题图可知，当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的 增大而减小，B选项说法正确，不符合题意； 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不高于60 km/h，C选项说法错误，符合题意； 由题图可知，当v＝25时，μ＝0.75；当v＝60时，μ＝0.71，即若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04，D选项说法正确，不符合题意. 5.[2025·四川内江]对于正整数x，规定函数f(x)＝在平面直角坐标系中，将点(m，n)中的m，n分别按照上述规定进行运算，得到新的点的横、纵坐标(其中m，n均为正整数).例如，点(8，5)经过第1次运算后得到点(4，16).经过第2次运算后得到点(2，8)，经过第3次运算后得到点(1，4)，经过有限次运算后，进入循环.按照上述规定，将点(2，1)经过第2 025次运算后得到的点是(　　) A.(2，1) B.(4，2) C.(1，2) D.(1，4) A 【解析】　由题意，知初始点坐标(2，1). 第1次运算：横坐标2为偶数，f(2)＝＝1； 纵坐标1为奇数，f(1)＝3×1＋1＝4； 得到点(1，4). 第2次运算：横坐标1为奇数，f(1)＝3×1＋1＝4； 纵坐标4为偶数，f(4)＝＝2； 得到点(4，2). 第3次运算：横坐标4为偶数，f(4)＝＝2； 纵坐标2为偶数，f(2)＝＝1； 得到点(2，1). …… 故每三次连续运算循环一次. ∵2 025÷3＝675， ∴第2 025次运算后得到的点与第3次运算后得到的点相同，即(2，1). 6.[2024·山东滨州]若函数y＝的解析式在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是　　　　. 【解析】　∵函数y＝的解析式在实数范围内有意义，∴x－1≠0，∴x≠1. x≠1 7.[2023·浙江衢州]在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(2，2)，则点C的坐标为　　　　. (1，3) 【解析】　由点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(2，2)，可确定原点位置和坐标系如图所示. 由图可得，点C的坐标为(1，3). 8.[2025·湖北]如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AB＝n cm.动点P，Q均以1 cm/s的速度同时从点C出发，点P沿线段CB→BA向点A运动，点Q沿边CA向点A运动.当点Q运动到点A时，两点都停止运动.△PCQ的面积S(单位：cm2)与运动时间t(单位：s)的关系如图2所示.(1)m＝　　　； 8 【解析】　由题意可知，当t＝4 s时，点P与点B重合. ∵动点P，Q均以1 cm/s的速度同时从点C出发， ∴当t＝4 s时，CB＝CP＝CQ＝4 cm. ∵∠C＝90°， ∴S＝CP·CQ＝×4×4＝8(cm2).故m＝8. (2)n＝　　　. 12 【解析】　由题意可知，当t＝10 s，S＝10 cm2时，CQ＝10 cm，BP＝10－BC＝10－4＝6(cm). 如图，过点P作PD⊥AC于点D，则∠PDA＝90°. ∵S＝CQ·PD＝×10PD＝10 cm2， ∴PD＝2 cm. ∵∠PDA＝∠BCA＝90°，∠A＝∠A， ∴△ADP∽△ACB， ∴＝＝＝， ∴AP＝AB，∴P为AB的中点， ∴AB＝2BP＝2×6＝12(cm)，即n＝12. 9.[2023·黑龙江齐齐哈尔]如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3……按照规律操作下去，则点A2 023的坐标为　　　　　　　　. (4－，) 【解析】　在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4， ∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OBA＝45°. ∵OA1⊥AB，∴△OA1B 是等腰直角三角形. 同理可得，△OA1B1，△A1B1B均为等腰直角三角形，∴A1(2，2). 根据题图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得A2(3，1)， A3(4－，)，A4(4－，). 由此可推出点A2 023的坐标为(4－，). 10.[2025·四川达州]定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ，这样的图形运动叫作图形的γ(a，θ)变换.现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC经γ(1，180°)变换后得到△A1B1C1为第1次变换，△A1B1C1经γ(2，180°)变换后得到△A2B2C2为第2次变换……经γ(n，180°)变换后得到△AnBnCn为第n次变换.若△ABC经第2 025次变换后得到△A2 025B2 025C2 025，则点C2 025的坐标为　　　　　　　　. (－，－) 【解析】　如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D. ∵△ABC是斜边为1的等腰直角三角形， ∴CD＝AB＝AD＝， ∴C(，)， ∴点C1是由C(，)先向右平移1个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转180°，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴C1(－－1，－). 同理可得，C2(＋1－2，)，C3(－－1＋2－3，－)，C4(＋1－2＋3－4，)，C5(－－1＋2－3＋4－5，－)，…， ∴C1(－－1，－)，C3(－－2，－)， C5(－－3，－)，…， ∴C2n－1(－－n，－). ∵2 025＝2×1 013－1， ∴C2 025(－－1 013，－)， 即C2 025(－，－). 谢 谢 观 看！ $第3模块　函数 第十一章　二次函数 1.[2024·陕西A卷]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量 x与函数　y的几组对应值如下表： 下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　) A.图象的开口向上 B.当x＞0时，y随x的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x＝1 x … －4 －2 0 3 5 … y … －24 －8 0 －3 －15 … D 【解析】　由题意，得解得 所以二次函数的解析式为y＝－x2＋2x. 因为a＝－1＜0， 所以图象的开口向下.故A选项不符合题意. 因为y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， 所以当x＞1时，y随x的增大而减小.故B选项不符合题意. 令y＝0，得－x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2， 所以图象与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0). 又因为图象的顶点坐标为(1，1)， 所以图象经过第一、三、四象限.故C选项不符合题意. 因为二次函数解析式为y＝－(x－1)2＋1， 所以图象的对称轴是直线x＝1.故D选项符合题意. 2.[2024·四川凉山州]抛物线y＝(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，(，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是(　　) A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y3＞y1 C.y3＞y1＞y2 D.y1＞y3＞y2 D 3.[2024·四川眉山]定义运算⊗：a⊗b＝(a＋2b)(a－b).例如，4⊗3＝(4＋2×3)×(4－3)，则函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为(　　) A.－21 B.－9 C.－7 D.－5 【解析】　由题意，得y＝(x＋1)⊗2＝(x＋1＋2×2)(x＋1－2)＝(x＋5)(x－1)， 即y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9， ∴函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为－9. B 4.[2023·四川泸州]已知二次函数y＝ax2－2ax＋3(其中x是自变量)，当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为(　　) A.0＜a＜1 B.a＜－1或a＞3 C.－3＜a＜0或0＜a＜3 D.－1≤a＜0或0＜a＜3 【解析】　二次函数y＝ax2－2ax＋3的图象的对称轴是直线x＝－＝1. 当a＞0时，令x＝1，则a－2a＋3＞0，解得a＜3，∴0＜a＜3； 当a＜0时，令x＝3，则9a－6a＋3≥0， 解得a≥－1，∴－1≤a＜0. 综上所述，a的取值范围为－1≤a＜0或0＜a＜3. D 5.[2025·山东东营]如图1，在矩形ABCD中，BC＝4，E是边BC上的一个动点，AE⊥EF，垂足为E，EF交CD于点F.设BE＝x，CF＝y，图2是点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图象，则AB的长为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 A 【解析】　∵BC＝4，BE＝x， ∴CE＝BC－BE＝4－x. ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠C＝90°. ∵AE⊥EF， ∴∠AEB＋∠FEC＝90°. ∵∠FEC＋∠EFC＝90°， ∴∠AEB＝∠EFC. ∴△AEB∽△EFC， ∴ ＝. 设AB＝m，则＝， 整理，得y＝(4x－x2). 由题图2可知，点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象为抛物线，且顶点坐标为(2，)， ∴设该抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋(a≠0). ∵抛物线过点(4，0)， ∴4a＋＝0， 解得a＝－， ∴y＝－(x－2)2＋＝(4x－x2)， ∴m＝5， ∴AB＝5. 6.[2024·宁夏]若二次函数y＝2x2－x＋m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是　　　　. 【解析】　∵二次函数y＝2x2－x＋m的图象与x轴有交点， ∴Δ＝(－1)2－4×2×m≥0，解得m≤，即m的取值范围是m≤. m≤ 7.[2024·山东滨州]将抛物线y＝－x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为　　　　. 【解析】　将抛物线y＝－x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋2，∴顶点坐标为(1，2). (1，2) 8.[2024·新疆]如图，抛物线y＝x2－4x＋6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方)，且CD＝3.当AD＋BC的值最小时，点C的坐标为　　　　. 【解析】　如图，作点A关于对称轴的对称点A'，将点A'向下平移3个单位长度得到点A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD＋BC的值最小，AD＋BC＝A″B. 在y＝x2－4x＋6中，令x＝0，则y＝6， ∴A(0，6). 令y＝0，则x2－4x＋6＝0，解得x＝2或x＝6，∴B(2，0). (4，1) ∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝4， ∴A'(8，6)，∴A″(8，3). 设直线A″B的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0). 将A″(8，3)，B(2，0)代入，得 解得 ∴直线A″B的函数解析式为y＝x－1. 当x＝4时，y＝1，∴C(4，1). 9.[2024·贵州]某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值. (1)求y与x的函数解析式. 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … 解：设y＝kx＋b(k≠0).由题意，得解得 ∴y＝－2x＋80(x≥10). (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … 解：设日销售利润为w元. 由题意，得w＝(x－10)(－2x＋80)＝－2x2＋100x－800＝－2(x2－50x＋625)－800＋1 250＝－2(x－25)2＋450. ∵－2＜0，∴当x＝25时，w取最大值，最大值为450. 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元. (3)若该超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值. 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … 解：由题意，得w＝(x－10－m)(－2x＋80)＝－2x2＋(100＋2m)x－800－80m. ∵该种糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴＝392. 整理，得m2－60m＋116＝0，即(m－2)(m－58)＝0，解得m1＝2，m2＝58. 当m＝58时，x＝－＝54，此时每盒糖果的利润为54－10－58＝－14(元). 故舍去. 综上所述，m的值为2. 10.[2025·陕西]某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16 m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在的直线对称.以MN，MP，NQ为框架，点M，N均在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，且MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC，以点O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L1的函数解析式； 解：∵BO＝4 m， ∴抛物线L1的顶点B的坐标为(0，4). 设抛物线L1的函数解析式为y＝a(x－0)2＋4(a≠0)，即y＝ax2＋4. ∵AC＝16 m， ∴结合二次函数的对称性，得A(－8，0)，C(8，0). 将C(8，0)代入y＝ax2＋4， 得0＝64a＋4， 则a＝－， ∴抛物线L1的函数解析式为y＝－x2＋4. 解：由(1)，得抛物线L1的函数解析式y＝－x2＋4. ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC，NQ＝ m，且抛物线L3的函数解析式为y＝－(x－4)2， ∴NQ＝yN－yQ＝－x2＋4－＝， 整理，得x2－12x＋36＝(x－6)2＝0， 解得x1＝x2＝6， ∴MN＝2×6＝12(m). (2)已知抛物线L3的函数解析式为y＝－(x－4)2，且NQ＝ m，求MN的长. 11.[2025·重庆]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B(6，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是x＝. (1)求该抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为y＝(x－)2＋k. 把(6，0)代入，得＋k＝0， 解得k＝－， ∴该抛物线的解析式为y＝(x－)2－＝x2－5x－6. (2)P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，D，E为抛物线对称轴上的动点(点E在点D的下方)，且DE＝4，连接BD，PE.当 取得最大值时，求点P的坐标及BD＋PE的最小值. 解：令x＝0，则y＝－6， ∴点C的坐标为(0，－6)，OC＝6. 设直线BC的解析式为y＝mx＋n，把(6，0)和(0，－6)代入， 得解得 ∴y＝x－6. 设点P的坐标为(x，x2－5x－6).如图，过点P作PH∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，则点F的坐标为(x，x－6). ∴PF＝x－6－(x2－5x－6)＝－x2＋6x. ∵PF∥y轴， ∴∠PFQ＝∠OCQ，∠FPQ＝∠COQ， ∴△QPF∽△QOC， ∴＝＝(－x2＋6x)＝－(x－3)2＋， ∴当x＝3时，取得最大值为，此时点P的坐标为(3，－12). 把点P向上平移4个单位长度得到点G，点G的坐标为(3，－8)，连接GD， 则四边形DEPG是平行四边形， ∴DG＝PE， 即BD＋PE＝BD＋DG， 由点A，B关于直线x＝对称可得，点A的坐标为(－1，0). 连接AG，AD，则BD＝AD，∴BD＋PE＝BD＋DG＝AD＋DG，∴BD＋PE的最小值为AG的长， 即AG＝＝＝4， 即BD＋PE的最小值为4. (3)在(2)中 取得最大值的条件下，将抛物线y＝x2＋bx＋c沿射线BC方向平移2个单位长度得到抛物线y'，M为点P的对应点，N为抛物线y'上的一动点，连接AN，PM.若∠NAB＝∠OPM－45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N坐标的其中一种情况的过程. 解：点N的坐标为(2，－12)或(，14＋2). ∵OB＝OC＝6， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴将抛物线y＝x2＋bx＋c沿射线BC方向平移2个单位长度，即向 左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到抛物线y'，即y'＝(x－＋2)2－－2＝x2－x－14.设点N的坐标为(a，a2－a－14).如图，过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点N作NK⊥x轴于点K. 由平移，得∠QPM＝45°， ∴∠NAB＝∠OPM－45°＝∠OPQ＋∠QPM－45°＝∠OPQ＝∠POB. ∵tan∠NAB＝tan∠OPQ， 即＝，解得a＝－5(舍去)或a＝2， ∴点N的坐标为(2，－12). (或如图，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，过点N作NK⊥x轴，垂足为K. ∵tan∠NAB＝tan∠OPQ， 即＝，解得a＝或a＝(舍去)， ∴点N的坐标为(，14＋2)) 12.[2025·江苏苏州]如图，二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，作直线BC.M(m，y1)，N(m＋2，y2)为二次函数y＝－x2＋2x＋3图象上的两点. (1)求直线BC的函数解析式. 解：∵二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点， ∴令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0， 解得x＝－1或x＝3， ∴点B的坐标为(3，0). ∵二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与y轴交于点C， ∴令x＝0，则y＝3， ∴点C的坐标为(0，3). 设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0). 把B(3，0)，C(0，3)代入，得 解得 ∴直线BC的函数解析式为y＝－x＋3. (2)试判断是否存在实数m使得y1＋2y2＝10，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：不存在实数m使得y1＋2y2＝10.理由如下： 方法①∵M(m，y1)，N(m＋2，y2)为二次函数y＝－x2＋2x＋3图象上的两点， ∴y1＝－m2＋2m＋3， y2＝－(m＋2)2＋2(m＋2)＋3＝－m2－2m＋3. ∴y1＋2y2＝－m2＋2m＋3＋2(－m2－2m＋3)＝－3m2－2m＋9. 配方，得y1＋2y2＝－3(m＋)2＋9. 即当m＝－时，y1＋2y2有最大值，最大值为9. ∵9＜10， ∴不存在实数m使得y1＋2y2＝10. 方法②由方法①，得y1＋2y2＝－3m2－2m＋9. 当y1＋2y2＝10时，－3m2－2m＋9＝10，即3m2＋2m＋1＝0. ∵Δ＝4－12＝－8＜0， ∴方程没有实数根， ∴不存在实数m使得y1＋2y2＝10. (3)已知P是二次函数y＝－x2＋2x＋3图象上的一点(不与点M，N重合)，且点P的横坐标为1－m，作△MNP.若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积比为1∶4，请直接写出所有满足条件的m的值. 解：m＝或m＝. 提示：如图，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N'，作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM'∥y轴，交BC于点M'，则MM'∥NN'. ∵点M'在BC上，直线BC的函数解析式为y＝－x＋3. ∴M'(m，－m＋3). ∵点N的坐标为(m＋2，－m2－2m＋3)， ∴点Q的坐标为(m＋2，－m2＋4)，点H的坐标为(m＋2，0)， 点N'的坐标为(m＋2，－m＋1)， ∴NQ＝PQ＝，BH＝HN'＝，NN'＝m2＋m－2， ∴∠PNQ＝∠BN'H＝45°， ∴PN∥BC， ∴△MDE∽△MNP， ∴()2＝＝， ∴MD＝MN，即MD＝ND. ∵MM'∥NN'， ∴△MM'D∽△NN'D， ∴＝＝，即MM'＝NN'. ∵点M的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，点M'的坐标为(m，－m＋3)， ∴－m2＋3m＝m2＋m－2，即m2－m－1＝0， 解得m＝或m＝. 谢 谢 观 看！ $