第二十章　图形的平移、轴对称与旋转课件 2026年中考数学专题考点精讲（河南）

该初中数学中考复习课件全面覆盖图形平移、轴对称与旋转三大核心考点，严格对接新课标要求，详细分析考向分布，如平移的性质与相关计算、轴对称的翻折问题、旋转的性质应用等，系统归纳选择、填空、解答等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“考点梳理+真题精讲+技巧总结”模式，精选2024-2025年各地中考真题，如平移中三角尺平移计算平行四边形面积的典例，通过几何直观分析图形关系，结合运算能力求解；轴对称折叠问题总结“一折二等三设四勾”步骤，培养推理能力。助力学生掌握解题技巧，教师可依此高效规划复习，提升中考冲刺效果。

第7模块　图形与变换 第二十章　图形的平移、轴对称与旋转 考向分布 考频 课标要求 图形的平移及其相关计算   1.通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等. 2.认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用. 3.运用图形的平移进行图案设计. 图形的平移及其相关计算 图形   性质 ①平移前后的两个图形的大小、形状完全相同； ②图形上的每个点都平移相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离； ③连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等 典例 1 如图，现有一把直尺和一把三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A'B'C'的位置，点A'对应直尺的刻度为0，则四边形ACC'A'的面积是(　　) A.96 B.96 C.192 D.160 解析　在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8， ∴BC＝AB·tan∠CAB＝8. 由平移的性质可知，AC＝A'C'，AC∥A'C'， ∴四边形ACC'A'为平行四边形. ∵点A对应直尺的刻度为12，点A'对应直尺的刻度为0， ∴AA'＝12， ∴S四边形ACC'A'＝12×8＝96. 答案　B 典例 2 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上. (1)在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP(点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P)，请画出△MNP. 解　如图，△MNP为所作. (2)在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF(点F在小正方形的顶点上).连接FP，请求出线段FP的长. 解　如图，△DEF为所作，FP＝＝. 作平移图形的一般步骤 (1)确定平移的方向和距离； (2)确定图形的关键点； (3)过各关键点作与平移的方向平行的射线，以各关键点为端点，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到各关键点的对应点； (4)顺次连接各对应点. 1.[2024·江苏连云港]如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形的边长是80 cm，则图中阴影图形的周长是　(　　) A.440 cm B.320 cm C.280 cm D.160 cm 【解析】　阴影图形的周长为4×80＋2×80－2×20＝440(cm). A 2.[2024·辽宁]在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为 A(2，－1)，B(1，0)，将线段AB平移后，点A的对应点A'的坐标为(2，1)，则点B的对应点B'的坐标为　　　　. 【解析】　因为点A的坐标为(2，－1)，且平移后的对应点A'的坐标为(2，1)，所以点A向上平移2个单位长度后得到点A'，所以点B的对应点B'的坐标为(1，2). (1，2) 3.[2024·山东东营]如图，将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC，若△DEF的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为　　　　cm. 【解析】　由平移的性质，得AD＝BE＝3 cm，DE＝AB. ∵△DEF的周长为24 cm， ∴DE＋EF＋DF＝24 cm，即AB＋EF＋DF＝24 cm， ∴四边形ABFD的周长为AB＋BF＋DF＋AD＝AB＋BE＋EF＋DF＋AD＝AB＋EF＋DF＋BE＋AD＝24＋3＋3＝30(cm). 30 【解析】　如图，过点D作DE⊥y轴于点E. ∵A(0，－2)，B(1，0)，∴OA＝2，OB＝1. ∵将线段AB平移得到线段DC， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，BC＝AD. ∵BC＝2AB，∴AD＝2AB. 4.[2024·内蒙古呼伦贝尔]如图，点A(0，－2)，B(1，0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是　　　　. ∵∠BAO＋∠DAE＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠EAD. ∵∠AOB＝∠AED＝90°，∴△ABO∽△DAE， ∴＝＝＝， ∴ED＝2OA＝4，EA＝2OB＝2， ∴OE＝OA＋EA＝4，∴D(4，－4). 5.[2025·河北]在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点.若只将正方形EFGH平移，使其内部(不含边界)有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点的坐标为(　　) A.(，) B.(，) C.(，2) D.(，) 【解析】　由题图可知，E(1，2)，F(－1，－1)，G(0，－1). 设直线FG的解析式为y＝kx＋b(k≠0). 将F(－1，1)，G(0，－1)代入y＝kx＋b， 得 ∴ ∴直线FG的解析式为y＝－2x－1. 当点E的对应点的坐标为(，)时，平移方式为正方形EFGH向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴直线FG平移后的解析式为y＝－2(x－)－1＋＝－2x，此 时线段FG经过原点，且对应的线段EH经过整点(2，1)，正 方形EFGH内部只有A，B，C三个整点，故A选项符合题意. 当点E的对应点的坐标为(，)时，平移方式为正方形EFGH 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴直线FG平移后的解析式为y＝－2(x－)－1＋＝－2x＋，此时原点在线段FG的下方，对应的线段EH在整点(2，1)的上方，整点(2，1)也在正方形EFGH内部，故B选项不符合题意. 当点E的对应点的坐标为(，2)时，平移方式为正方形EFGH向 右平移个单位长度， ∴直线FG平移后的解析式为y＝－2(x－)－1＝－2x，此时整点 (2，0)在正方形EFGH的内部，故C选项不符合题意. 当点E的对应点的坐标为(，)时，平移方式为正方形EFGH向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴直线FG平移后的解析式为y＝－2(x－)－1＋＝－2x＋，此时整点(1，2)和整点(2，1)都在正方形EFGH的内部，故D选项不符合题意. 6.[2024·甘肃临夏州]如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使点A的对应点A'满足AA'＝AD，则平移前后两三角形重叠部分(阴影部分)的面积是　　　　. 【解析】　∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. 又∵AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC. 在Rt△ABD中，sin B＝， ∴AD＝×2＝1， ∴BD＝＝，AA'＝AD＝， ∴A'D＝AD－AA'＝1－＝. 如图，令A'B'与BD的交点为M，A'C'与CD的交点为N. 由平移可知，AB∥A'B'， ∴∠A'MD＝∠B＝30°. 在Rt△A'DM中， tan∠A'MD＝， ∴MD＝＝. 易得A'M＝A'N，∴MN＝2MD＝， ∴S重叠部分＝××＝. 7.[2024·河南]如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A. (1)求这个反比例函数的解析式； 解：由题意，得反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A(3，2)， ∴2＝， 解得k＝6， ∴这个反比例函数的解析式为y＝(x＞0). (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象； 解：当x＝1时，y＝6； 当x＝2时，y＝3； 当x＝6时，y＝1. 故反比例函数y＝(x＞0)的图象经过(1，6)，(2，3)，(6，1). 描点、画出反比例函数的图象如图所示. (3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为　　　　. 解：∵点E(6，4)向左平移后落在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4. 当y＝4时，4＝， 解得x＝， ∴平移的距离为6－＝. 故答案为. 8.【新定义问题】 [2024·山东威海]定义新运算： ①在平面直角坐标系中，，表示动点从原点出发，沿着x轴正方向(a≥0)或负方向(a＜0)平移个单位长度，再沿着y轴正方向(b≥0)或负方向(b＜0)平移个单位长度.例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作(－2，1). ②加法运算法则：{a，b}＋{c，d}＝{a＋c，b＋d}，其中a，b，c，d为实数. 若{3，5}＋{m，n}＝{－1，2}，则下列结论正确的是(　　) A.m＝2，n＝7 B.m＝－4，n＝－3 C.m＝4，n＝3 D.m＝－4，n＝3 【解析】　由题意，知3＋m＝－1，5＋n＝2， 解得m＝－4，n＝－3. B 9.【开放性试题】 用10根小棒组成如图1所示的图案，平移3根小棒变成如图2所示的图案，平移的方式有(　　) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【解析】　如图2、图3所示，可以平移②④⑥或①⑧⑩. 考向分布 考频 课标要求 1.图形的轴对称变换   1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分. 2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形. 3.理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质. 4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形. 5.运用图形的轴对称进行图案设计. 2.翻折问题   1.轴对称图形 图形的轴对称变换 图形   判断方法 ①有对称轴——直线； ②将图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形完全重合 常见的轴对称图形 等腰三角形、圆、矩形、正多边形等 2.轴对称 图形   性质 ①成轴对称的两个图形全等； ②对称点所连线段被对称轴垂直平分 典例 1 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB，线段MN在网格线上. (1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1，B1分别为点A，B的对应点)； 解　如图，线段A1B1即为所求. (2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2. 解　如图，线段B1A2即为所求. 图形折叠的性质 (1)位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称； (2)折叠前、后的两部分图形全等，对应角、对应边都分别相等； (3)折叠前、后对应点的连线被折痕垂直平分. 翻折问题 典例 2 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD的中点.连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长. 解　如图，延长BF交CD于点H，连接EH. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°，AD＝CD＝1， ∴AC＝＝＝. 由折叠的性质可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠AEB＝∠FEB， ∴∠EFH＝90°＝∠D. ∵E是AD的中点，∴AE＝ED＝EF＝. 在Rt△EHD和Rt△EHF中， ∴Rt△EHD≌Rt△EHF(HL)， ∴∠DEH＝∠FEH. ∵∠DEF＋∠AEF＝180°， ∴2∠DEH＋2∠AEB＝180°， ∴∠DEH＋∠AEB＝90°. ∵∠AEB＋∠ABE＝90°， ∴∠DEH＝∠ABE，∴△EDH∽△BAE， ∴＝＝，∴DH＝， ∴CH＝1－＝. ∵CH∥AB， ∴＝＝，∴CG＝AC＝. 有关图形的折叠计算的解题步骤 一折：看怎么折，折痕在哪儿； 二等：看折叠图形中有哪些相等的线段和相等的角，若能找到折叠图形中的对称轴，注意连接对称轴上的点与线段两个端点得到相等的线段； 三设：选择相等的线段或角，并设其为x； 四勾：用勾股定理计算，有时还需要作垂线构造直角三角形来进行计算； 五比：在用勾股定理不能解决问题时，可用相似来求线段之间的关系； 六解：解由勾股定理或相似的比形成的方程. 变式训练 如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF. (1)求EF的长； 解：∵CE＝AE， ∴∠ECA＝∠EAC. 根据折叠的性质，得∠ECA＝∠FCA， ∴∠FCA＝∠EAC， ∴FC∥AE， ∴∠EFC＝∠AEF. ∵∠B＝∠CFA＝90°， ∴∠FAE＝180°－90°＝90°. 设CE＝AE＝x，则BE＝4－x. 在Rt△BAE中，根据勾股定理，得 BA2＋BE2＝AE2，即＋(4－x)2＝x2， 解得x＝3. 在Rt△EAF中，EF＝＝. (2)求sin∠CEF的值. 解：如图，过点F作FG⊥BC，交BC于点G. 设CG＝m，则EG＝3－m. ∵FC＝4，EF＝， ∴FG2＝FC2－CG2＝EF2－EG2， 即16－m2＝17－(3－m)2， 解得m＝， ∴FG＝＝， ∴sin∠CEF＝＝. 1.[2025·黑龙江绥化]下列数学符号是轴对称图形的是(　　) A.≠ B.≌ C.≥ D.± D 2.[2024·青海]如图，一次函数y＝2x－3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是(　　) A.(－，0) B.(，0) C.(0，3) D.(0，－3) 【解析】　令y＝0，则0＝2x－3， 解得x＝， 即A(，0)， ∴点A关于y轴的对称点是(－，0). A 3.[2024·河北]如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D.下列推断不一定正确的是(　　) A.AD⊥BC B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD 第3题图 A 【解析】　如图，连接AC，BD. ∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称， ∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD， ∴AC∥BD，故B，C，D选项不符合题意； AD不一定垂直BC，故A选项符合题意. 4.[2024·四川眉山]如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，则cos∠CEF的值为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 第4题图 A 【解析】　方法①∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6. ∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处， ∴AF＝AD＝8，EF＝DE，∴BF＝＝＝2， ∴CF＝BC－BF＝8－2. 在Rt△EFC中，CE＝DC－DE＝6－EF，由勾股定理，得EF2＝CE2＋CF2， ∴EF2＝(6－EF)2＋， 解得EF＝， ∴CE＝6－＝， ∴cos∠CEF＝＝＝. 方法②∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴∠CEF＋∠EFC＝90°. ∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处， ∴AF＝AD＝8，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB＋∠EFC＝90°，∴∠CEF＝∠AFB. ∵AB＝6，∴BF＝＝＝2， ∴cos∠CEF＝cos∠AFB＝＝＝. 5.[2024·甘肃]围棋起源于中国，古代称为“弈”.两位同学的部分对弈图如图所示，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点　　　　　的位置，那么所得的对弈图是轴对称图形.(填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上) A(或C) 【解析】　∵AB是☉O的直径，DE为弦，∴DE≤AB， ∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2. 当DE＝2时，即DE为直径，此时F与点A重合，故线段FB的长为2. 当DE＝1，且点C在线段OB之间时，如图，连接OD， ∴OD＝AB＝1. 6.[2024·江西]如图，AB是☉O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将 　沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为　　　　　　　　　　. 2或2－或2＋ ∵DE⊥AB， ∴DC＝DE＝， ∴OC＝＝， ∴BC＝OB－OC＝，∴FB＝2BC＝2－. 当DE＝1，且点C在线段OA之间时，如图，连接OD. 同理可得，BC＝，∴FB＝2BC＝2＋. 综上，线段FB的长为2或2－或2＋. 7.[2024·吉林长春]如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点(每个小正方形的顶点称为格点)上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C，D均在格点上. (1)在图1中，四边形ABCD的面积为2； 解：如图，四边形ABCD即为所求.(答案不唯一) (2)在图2中，四边形ABCD的面积为3； 解：如图，四边形ABCD即为所求.(答案不唯一) (3)在图3中，四边形ABCD的面积为4. 解：如图，四边形ABCD即为所求.(答案不唯一) 8.[2024·四川泸州]宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，AB'交CD于点E，则sin∠DAE的值为(　　) A. B. C. D. A 【解析】　令AD＝BC＝(－1)a，AB＝CD＝2a. 由折叠的性质可知，∠EAC＝∠BAC. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC， ∴∠DCA＝∠EAC，∴AE＝EC. 令DE＝x，则AE＝EC＝2a－x. 在Rt△ADE中，[(－1)a]2＋x2＝(2a－x)2， 解得x＝a， 即DE＝a，AE＝2a－a＝a. 在Rt△DAE中，sin∠DAE＝＝＝. 9.[2024·黑龙江齐齐哈尔]已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B'，把纸片展平，连接BB'，CB'，当△BCB'为直角三角形时，线段CP的长为　　　　. 【解析】　∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝4，∴DC＝AB＝5，AD＝BC＝4. 由折叠的性质，得AB'＝AB＝5，B'P＝BP. 如图1，当△BCB'为直角三角形，且∠BB'C＝90°时，∠PB'C＋∠PB'B＝90°，∠PCB'＋∠PBB'＝90°. ∵∠PB'B＝∠PBB'，∴∠PB'C＝∠PCB'， ∴B'P＝CP， ∴CP＝BP＝BC＝×4＝2. 如图2，当△BCB'为直角三角形，且∠BCB'＝90°时. ∵∠BCB'＝∠C＝90°，∴点B'在边DC上. 在Rt△ADB'中，B'D＝＝＝3， ∴B'C＝DC－B'D＝5－3＝2. 在Rt△B'CP中，B'C2＋CP2＝B'P2，且B'P＝BP＝4－CP， ∴22＋CP2＝(4－CP)2，解得CP＝. ∵∠B'BC是等腰三角形B'PB的底角， ∴∠B'BC≠90°. 综上所述，线段CP的长为2或. 10.[2024·上海]在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C'，D'.若AC'∶AB∶BC＝1∶3∶7，则cos∠ABC＝　　　　. 【解析】　如图，当点C'在AB之间时. ∵AC'∶AB∶BC＝1∶3∶7，∴不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7，∴BC'＝2. 由折叠的性质，知∠FCD＝∠FC'D'. ∵将CD沿直线l翻折至AB所在直线， ∴∠BC'F＋∠FC'D'＝∠FCD＋∠FBA， ∴∠BC'F＝∠FBA，∴CF＝BF＝C'F＝. 过点F作FE⊥AB于点E，∴BE＝BC'＝1， ∴cos∠ABC＝＝＝. 如图，当点C'在BA的延长线上时. ∵AC'∶AB∶BC＝1∶3∶7，∴不妨设AC'＝1， AB＝3，BC＝7，∴BC'＝4. 同理可得，CF＝BF＝C'F＝. 过点F作FE⊥AB于点E，∴BE＝BC'＝2，∴cos∠ABC＝＝＝. 综上所述，cos∠ABC的值为或. 11.[2024·江苏连云港]如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF.再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG.若点G恰好为线段BC上最靠近点B的一个五等分点，AB＝4，则BC的长为　　　　. 2 【解析】　方法①如图，设AG与BF交于点M. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD＝4. 由折叠的性质，得CF＝CD＝2，AG⊥BH. 设BG＝a，则BC＝5a， ∴AG＝＝，BF＝＝. ∵S△ABG＝AB·BG＝AG·BM， ∴BM＝＝. ∵∠BMG＝∠C＝90°，∴cos∠FBC＝＝， ∴BM·BF＝BG·BC， ∴·＝a·5a，∴a＝(负值舍去). 经检验，a＝是原分式方程的解，且符合题意，∴BC＝5a＝2. 方法②由题意，易得△ABG∽△BCF， ∴＝. 设BG＝a，则BC＝5a，∴＝，∴a＝(负值舍去)， ∴BC＝5a＝2. 12.[2025·吉林]【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下： 【探究发现】(1)如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为G.小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由. 解：四边形DEGF是菱形. 提示：∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF， ∴DE＝GE，DF＝GF. ∵DF＝DE， ∴GE＝DE＝DF＝GF， ∴四边形DEGF是菱形. 【探究证明】(2)取图1中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为H.连接FH，GN，如图2所示.求证：四边形GFHN是平行四边形. 证明：∵将△BMN沿MN翻折得到 △HMN， ∴BN＝HN，BM＝HM. ∵BN＝BM， ∴HN＝BN＝BM＝HM， ∴四边形BMHN是菱形， ∴HN∥BC. ∵E为边AD的中点，M为边BC的中点， ∴DE＝AD，BM＝BC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴DE＝BM，AD∥HN. 由(1)可知，四边形DEGF是菱形， ∴DE＝FG，FG∥AD， ∴FG＝HN，FG∥HN， ∴四边形GFHN是平行四边形. 【探究提升】(3)在图2中，四边形GFHN能成为轴对称图形吗？如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由. 解：四边形GFHN能成为轴对称图形.的值为或. 提示：由(2)可知，四边形GFHN是平行四边形.若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形. 如图，当四边形GFHN是矩形时，过点G作GK⊥AB于点K，过 点E作ET⊥AB于点T. ∵∠A＝60°， ∴∠AET＝30°， ∴AT＝AE. 设AT＝x，则AE＝2x， ∴ET＝＝x＝GK. ∵E为AD的中点， ∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x. 由(1)可知，四边形DEGF是菱形， ∴EG＝DE＝2x＝TK. ∵四边形GFHN是矩形， ∴∠GNH＝90°. ∵AD∥NH，∠A＝60°， ∴∠HNB＝∠A＝60°， ∴∠GNK＝180°－∠GNH－∠HNB＝180°－90°－60°＝30°， ∴KN＝GK＝×x＝3x. ∵BN＝BM＝BC＝AD＝2x， ∴AB＝AT＋TK＋KN＋BN＝x＋2x＋3x＋2x＝8x， ∴ ＝＝. 如图，当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于点W. 设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NH＝y. ∵四边形GFHN是菱形， ∴GF＝FH＝HN＝GN＝y. ∵EG∥CD∥AB，GF∥AD， ∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°， ∴AW＝EG＝y，GW＝AE＝y， ∴GW＝GN， ∴△GWN是等边三角形， ∴WN＝GW＝y， ∴AB＝AW＋WN＋BN＝y＋y＋y＝y， ∴＝＝. 综上所述，当四边形GFHN能成为轴对称图形时，的值为或. 考向分布 考频 课标要求 1.图形的旋转   1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 2.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 3.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质. 4.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形. 5.运用图形的旋转进行图案设计. 2.旋转性质的应用   1.中心对称图形 图形的旋转 图形   判断方法 (1)有对称中心——点； (2)图形绕对称中心旋转180°； (3)旋转前后的图形完全重合 常见的中心 对称图形 平行四边形、圆、边数是偶数的正多边形 2.中心对称 图形   性质 (1)成中心对称的两个图形是全等图形； (2)对应点连线交于对称中心，并且被对称中心平分 典例 1 如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上.请仅用无刻度的直尺完成以下作图(保留作图痕迹). (1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'； 解　如图1，△A'B'C'即为所求. (2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'. 解　如图2，△AB'C'即为所求. 旋转的性质 (1)旋转前、后的图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，且等于旋转角； (3)对应线段相等，对应角相等. 旋转性质的应用 典例 2 如图1，D为等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F. (1)求证：BD＝CE. 解　证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AE＝AD，∠DAE＝60°. ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD＝CE. (2)如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究后得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE.小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由. 解　结论正确.证明如下： 如图，过点A作AM⊥BD，AN⊥CE分别交BD和CE的延长线于点M，N. 由(1)，知△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE. 又∵∠AGB＝∠CGF， ∴∠BFC＝∠BAC＝60°， ∴∠BFE＝120°. ∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE， ∴AM·BD＝AN·CE， ∴AM＝AN. 在Rt△AFM和Rt△AFN中， ∴Rt△AFM≌Rt△AFN(HL)， ∴∠AFM＝∠AFN＝∠BFE＝60°， ∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°. 　　旋转是一种全等变换.旋转仅改变图形的位置，不改变图形的大小，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等的线段和角. 1.[2025·福建]我国古算诗词歌赋较多.古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是(　　) A B C D D 【解析】　选项A既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 选项B既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 选项C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意. 2.[2025·吉林]如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能.图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转α后能够与它本身重合，则α的大小可以为(　　) A.90° B.120° C.150° D.180° B 【解析】　由题意，得整个题图由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为360°÷3＝120°， ∴该叶片图案绕中心旋转120°后能够与它本身重合， ∴α的大小可以为120°. 3.[2024·四川自贡]如图，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为(4，－2)，将 Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°得到Rt△OAB，则点B的坐标为(　　) A.(2，4) B.(4，2) C.(－4，－2) D.(－2，4) A 4.[2024·山东青岛]如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点重合，再将所得正方形绕原点顺时针旋转90°，得到四边形　A'B'C'D'，则点A的对应点A'的坐标是(　　) A.(－1，－2) B.(－2，－1) C.(2，1) D.(1，2) 【解析】　由题图可知，B(－3，0)，A(－1，－1). ∵将正方形ABCD向右平移，使点B与原点重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点的坐标为(2，－1). A 如图，设E(2，－1)绕原点顺时针旋转90°后的对应点为F，分别过点E，F作x轴的垂线，垂足分别为G，H， ∴∠OHF＝∠OGE＝90°. 由旋转的性质可得，∠EOF＝90°，OE＝OF， ∴∠HOF＋∠HFO＝90°，∠GOE＋∠HOF＝90°， ∴∠HFO＝∠GOE， ∴△HFO≌△GOE(AAS)， ∴OH＝EG，HF＝GO. ∵E(2，－1)， ∴OH＝EG＝1，HF＝GO＝2， ∴F(－1，－2)， ∴点A的对应点A'的坐标是(－1，－2). 5.[2024·山东济宁]如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(3，4)，C(1，4). (1)将△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标； 解：如图，△A1B1C1即为所求. 由图可知，B1(3，2). (2)将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得到△A2B1C2，画出旋转后的图形，并求出点C1运动到点C2所经过的路径长. 解：如图，△A2B1C2即为所求. 点C1运动到点C2所经过的路径长为＝π. 6.[2024·天津]如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是 (　　) A.∠ACB＝∠ACD　 B.AC∥DE　 C.AB＝EF　 D.BF⊥CE D 【解析】　设BF与CE相交于点H，如图所示. ∵在△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°. 在△BHC中，∵∠B＝30°，∴∠BHC＝180°－∠BCE－∠B＝90°， ∴BF⊥CE，故D选项符合题意. 设∠ACH＝x°，则∠ACB＝60°－x°. ∵∠B＝30°，∴∠EDC＝∠BAC＝180°－30°－(60°－x°)＝90°＋x°， ∴∠EDC＋∠ACD＝90°＋x°＋60°＝150°＋x°. ∵x°不一定等于30°，∴∠EDC＋∠ACD不一定等于180°， ∴AC∥DE不一定成立，故B选项不符合题意. ∵∠ACB＝60°－x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°， ∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不符合题意. ∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴AB＝ED＝EF＋FD， ∴AB＞EF，故C选项不符合题意. 7.[2024·江苏南通]在△ABC中，∠B＝∠C＝α(0°＜α＜45°)，AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点(不与点H，C重合)，将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.小明与小丽两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB·AE.对两位同学的发现作出的评判为(　　) A.小明正确，小丽错误 B.小明错误，小丽正确 C.小明、小丽都正确 D.小明、小丽都错误 C 【解析】　由旋转的性质，得DH＝DE，∠HDE＝2α. 如图，当点E落在边AC上时. ∵∠HDE＝∠C＋∠CED，∠C＝α， ∴∠CED＝α＝∠C， ∴DE＝CD. ∵DH＝DE， ∴DH＝CD， ∴D为HC的中点，故小明的发现是正确的. 如图，作射线HE. ∵DH＝DE，∠HDE＝2α， ∴∠DHE＝∠DEH＝(180°－2α)＝90°－α. ∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝∠AHD＝90°， ∴∠AHE＝∠AHD－∠DHE＝α， ∴点E在射线HE上运动， ∴当AE⊥HE时，AE的长最小， 此时∠AEH＝∠AHB＝90°. 又∵∠AHE＝α＝∠B， ∴△AEH∽△AHB，∴＝， ∴AH2＝AB·AE，故小丽的发现是正确的. 综上，小明、小丽都正确. 【解析】　过点B作BG⊥CF于点G. 如图，当点F在点C的右侧时. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是AC的中点，∴CD＝，∠ABC＝45°， ∴BD＝＝＝. 由旋转的性质可知，△DCB≌△FEB， ∴BD＝BF＝. 8.[2024·江苏盐城]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF，连接CF，当CF∥AB时，CF＝　　　　　　　. 2＋或－2 ∵CF∥AB，∴∠ABC＝∠BCG＝45°， ∴CG＝BG， ∴CG＝＝＝2， ∴GF＝＝＝， ∴CF＝CG＋GF＝2＋. 当点F在点C的左侧时(图略). 同理可得，GF＝，CG＝2，∴CF＝－2. 综上所述，CF的长为2＋或－2. 9.【综合与实践】 [2024·内蒙古通辽]数学活动课上，某小组将一个含45°角的直角三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD按如图1所示的方式摆放，若 AE＝1，AB＝2.将三角尺AEF绕点A按逆时针方向旋转α(0°≤α≤90°)，观察图形的变化，完成探究活动. 【初步探究】 如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M. 问题1：BE和DF的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　. BE＝DF BE⊥DF 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°. ∵△AEF是含45°角的直角三角尺， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴∠BAD－∠DAE＝∠EAF－∠DAE， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF. ∵∠AMB＝∠DMG， ∴∠G＝∠BAM＝90°，即BE⊥DF. 故答案为BE＝DF，BE⊥DF. 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题： 问题2：如图3，BE与DF的延长线交于点G，连接BD，O是BD的中点，连接OA，OG.求证：OA＝OD＝OG. 证明：∵△BAD是直角三角形，O是BD的中点，∴OA＝BD＝OD. 由问题1，知∠BGD＝90°， ∴△BGD是直角三角形， ∴OG＝BD＝OD，∴OA＝OD＝OG. 【尝试应用】 问题3：如图4，BE的延长线交DF于点G，O为BD的中点，请求出当α从0°变化到60°时，点G经过的路线的长度. 解：由问题2，知OA＝OD＝OG，∴点G的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧. 如图，连接OA，OG. 当α从0°变化到60°时，点G的运动轨迹是 . ∵∠BAE＝60°，AE＝1，AB＝2，∴∠ABE＝30°， ∴∠OBG＝45°－30°＝15°. ∵OB＝OG＝BD，∴∠DOG＝30°， ∴∠AOG＝180°－∠AOB－∠DOG＝60°. ∵AB＝2，∴BD＝AB＝2，∴OA＝OG＝， ∴的长度为＝π， 即点G经过的路线的长度为π. 谢 谢 观 看！ $