专题强化02　基本不等式的应用技巧【十大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题强化02　基本不等式的应用技巧 【方法技巧】 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 常用结论 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 1. 应用基本不等式“四”勿忘 ①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数. ②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值. ③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件. ④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同. 2. 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 【题型归纳】 题型一：常见不等式大小比较 题型二：基本不等式求积的最大值 题型三：基本不等式求和的最小值 题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值 题型五：基本不等式‘1’的妙用 题型六：条件等式求最值 题型七：基本不等式恒成立问题 题型八：基本不等式的综合应用 题型九：基本不等式的实际应用 题型十：基本不等式证明不等式 【题型探究】 题型一：常见不等式大小比较 【例1】．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二：基本不等式求积的最大值 【例2】．．（22-23高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最大值为 . 【跟踪训练1】．．（23-24高一上·河北邢台·期中）已知，则的最大值为 ． 【跟踪训练2】．．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的最大值是 . 题型三：基本不等式求和的最小值 【例3】．．（24-25高一上·河南商丘·期末）若，则的最大值为 . 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立. 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·全国·期中）已知正实数、满足，则的最小值为 题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值 【例4】．．（20-21高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【跟踪训练2】．．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 题型五：基本不等式‘1’的妙用 【例5】．．（20-21高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知且满足，则的最小值为 ． 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为 . 【跟踪训练2】．．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 题型六：条件等式求最值 【例6】．．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 【跟踪训练2】．．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 题型七：基本不等式恒成立问题 【例7】．．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【跟踪训练2】．．（23-24高一上·山东·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 . 题型八：基本不等式的综合应用 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数x，y满足x+y=6，xy=9k (1)求k的最大值 (2)求的最小值 (3)若恒成立，求实数m的取值范围 【跟踪训练2】．．（24-25高一上·广东肇庆·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值. 题型九：基本不等式的实际应用 【例9】．．（25-26高一上·河南平顶山·阶段练习）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. (1)求的周长； (2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围； (2)使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由. 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)求与的关系式； (2)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (3)设备占地面积为多少时，的值最小? 题型十：基本不等式证明不等式 【例10】．．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·江西·阶段练习）已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)证明：． 【跟踪训练2】（25-26高一上·江西景德镇·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，且. 求证：. 【专项强化】 一、单选题 1．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列命题不正确的是（   ） A．若，则的最大值为 B．若，则函数的最小值为6. C．若，，且，则的最小值为9 D．若，则的最小值为4 3．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 5．（25-26高一上·江西赣州·阶段练习）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26高一上·甘肃定西·阶段练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 7．（25-26高一上·北京·阶段练习）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 8．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知实数满足，且，求的最小值为（    ） A． B． C．6 D．8 二、多选题 9．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为-12 11．（25-26高一上·江苏·期中）已知，则下列结论正确的有（   ） A．的最小值为16 B．的最小值为9 C．的最小值为10 D．的最小值为128 12．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）已知正数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·重庆·阶段练习）已知正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A． B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为 三、填空题 14．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的最大值为 . 15．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 16．（25-26高一上·辽宁大连·阶段练习）若正实数、满足，则的最小值为 . 17．（25-26高一上·辽宁·阶段练习）已知，，则的最小值为 ． 18．（25-26高一上·吉林延边·阶段练习）若，则的最小值是 四、解答题 19．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. 20．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）（1）已知，求的最大值． （2）已知，求的最小值． （3）已知，求的最小值． 21．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）如图，在周长为12的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设．    (1)求的周长； (2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值． 22．（25-26高一上·山东临沂·阶段练习）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 23．（25-26高一上·山西朔州·阶段练习）已知均为正数且，求证： (1)； (2)． 24．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）求下列各式的最值 (1)已知，求函数 的最大值 (2)设，则的最小值 (3)设正实数，，满足，当取得最大值时，求的最大值． 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化02　基本不等式的应用技巧 【方法技巧】 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 常用结论 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 1. 应用基本不等式“四”勿忘 ①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数. ②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值. ③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件. ④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同. 2. 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 【题型归纳】 题型一：常见不等式大小比较 题型二：基本不等式求积的最大值 题型三：基本不等式求和的最小值 题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值 题型五：基本不等式‘1’的妙用 题型六：条件等式求最值 题型七：基本不等式恒成立问题 题型八：基本不等式的综合应用 题型九：基本不等式的实际应用 题型十：基本不等式证明不等式 【题型探究】 题型一：常见不等式大小比较 【例1】．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AD通过分析符号可完成判断； B由基本不等式可判断选项正误； C由做差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负， 当为负数时，，则A错误； 对于B，，当且仅当，即时，取等号，故B正确 对于C，，故C错误； 对于D，由A分析，当为负数时，，则D错误； 故选：B 【跟踪训练2】．．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 题型二：基本不等式求积的最大值 【例2】．．（22-23高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由知， 当且仅当，即时取得等号， 即的最大值为， 故答案为： 【跟踪训练1】．．（23-24高一上·河北邢台·期中）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式的变形公式求解可得答案. 【详解】因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为． 故答案为：. 【跟踪训练2】．．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：. 题型三：基本不等式求和的最小值 【例3】．．（24-25高一上·河南商丘·期末）若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】变形得到，由基本不等式求出最值. 【详解】， ，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为： 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立. 【答案】 【分析】利用基本不等式可得何时取何最大值. 【详解】， 当且仅当即时等号成立， 故的最大值为，此时， 故答案为：，. 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·全国·期中）已知正实数、满足，则的最小值为 【答案】 【分析】由结合基本不等式、一元二次不等式求解即可. 【详解】因为正实数、满足， 等式两边同乘以可得 ， 所以， 因为，解得，当且仅当 时，等号成立. 因此，的最小值为. 故答案为： 题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值 【例4】．．（20-21高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 【跟踪训练2】．．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 题型五：基本不等式‘1’的妙用 【例5】．．（20-21高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：． 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【分析】根据“1”的变形技巧，利用基本不等式得解. 【详解】由可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 【跟踪训练2】．．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】化简可得，结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 题型六：条件等式求最值 【例6】．．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【答案】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 【点睛】常见的求最值的方法有：观察法(图象法)、配方法、基本不等式法、分离常数法、函数单调性求最值、判别式法等. 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 【答案】35 【分析】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35 【跟踪训练2】．．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 题型七：基本不等式恒成立问题 【例7】．．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 【跟踪训练2】．．（23-24高一上·山东·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可. 【详解】因为两个正实数x，y满足，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 因为有解，所以，即， 解得或，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 题型八：基本不等式的综合应用 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数x，y满足x+y=6，xy=9k (1)求k的最大值 (2)求的最小值 (3)若恒成立，求实数m的取值范围 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式可求最值； （2）由，得，则，进而利用基本不等式即可求最值； （3）将恒成立问题转化为最值问题，求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为，所以由基本不等式可得： ，得； 当且仅当时，等号成立， 即，则，故的最大值为1． （2）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． （3）因为恒成立，所以， 即，解得， 所以，实数的取值范围为. 【跟踪训练2】．．（24-25高一上·广东肇庆·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值. 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，此时 【分析】（1）利用“”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解； （2）将通过变形转化为，然后利用基本不等式求解； （3）利用“”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解. 【详解】（1）由可得：，又， 所以，当且仅当，即时成立， 结合可知：取等条件为. （2）因为，所以，， 当且仅当，即时成立. （3）因为，， 所以， 当且仅当，即时成立，结合可知：取等条件为. 题型九：基本不等式的实际应用 【例9】．．（25-26高一上·河南平顶山·阶段练习）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. (1)求的周长； (2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 【答案】(1)4； (2)，面积最大值为. 【分析】（1）根据已知，证得，进而有，即可得； （2）由已知及（1）有、，在应用勾股定理得，结合已知得，再由并应用基本不等式求其最大值，并确定取值条件，即可得. 【详解】（1）依题意，， 则，于是， 因此， 所以的周长为定值4； （2）由折叠知，则，即， 由（1）知，即，则， 在中，即，化简得， 而，，则且，即，所以，（）. 在中，，且， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积取得最大值为. 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围； (2)使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由. 【答案】(1) (2)方案一或方案二都有可能更合理，理由见解析 【分析】（1）根据题意，列出函数关系式即可； （2）分别计算出方案一与方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果. 【详解】（1）由题意，. （2）方案一：总盈利额， 当时，， 若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元； 方案二：年均盈利额（万元）， 当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人， 总盈利为万元. 两方案总利润都是13200万元， 如果三年后用这些资金投资其他项目盈利，则方案二更合理， 若三年后用这些资金投资其他项目亏损，则方案一更合理，投资有风险，投资需谨慎！ 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)求与的关系式； (2)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (3)设备占地面积为多少时，的值最小? 【答案】(1) (2) (3)15平方米 【分析】（1）利用条件建立函数模型即可； （2）由条件建立不等关系解不等式即可； （3）利用基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 即； （2）由题意可知，整理得， 解不等式得； （3）由基本不等式知， 当且仅当，即时取得等号， 所以设备占地面积为15平方米时，的值最小. 题型十：基本不等式证明不等式 【例10】．．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·江西·阶段练习）已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由基本不等式可得；令解可利用换元法结合二次函数的性质可得； （2）由基本不等式的乘“1”法可得； （3）由基本不等式可得；令解是将不等式左边乘以，再结合基本不等式可得. 【详解】（1）因为，，且，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为． 第（1）问还可以这样解答： 因为，所以， 所以， 当时，的最小值为． （2）因为，所以． 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，即的最小值是． （3）证明：因为，所以， 当且仅当，时，等号成立， 所以． 第（3）问还可以这样证明： ， 当且仅当，时，等号成立， 所以． 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·江西景德镇·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，且. 求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据不等式，可得，，，相加后化简即可得证； （2）将等式两边平方，整理得，再根据不等式，， 即，解不等式即可得证. 【详解】（1）因为，，， 所以，，， 所以， 即，故， 当且仅当，即时，等号成立． （2）由，两边平方得， 故， 所以 其中， 即，解得. 当且仅当时，等号成立. 【专项强化】 一、单选题 1．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. 【详解】因为，，， 所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 联立，解得,即时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B 2．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列命题不正确的是（   ） A．若，则的最大值为 B．若，则函数的最小值为6. C．若，，且，则的最小值为9 D．若，则的最小值为4 【答案】B 【分析】对于A，由于，所以对变形后再利用基本不等式求最值判断即可；对于B，不满足基本不等式的条件；对于C，利用乘的方法求最值，对于D，利用基本不等式求最值即可. 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当取等号，所以有最大值，所以A正确； 对于B，因为，， 当且仅当，即时等号才成立， 所以无最小值，所以B错误； 对于C，，，且，即， 则， 当且仅当时取等号，则的最小值为9，所以C正确； 对于D，若，则， ， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为4，所以D正确. 故选：B 3．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，联立解得时取等号， 所以的最小值是1. 故选：A 4．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 【答案】D 【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质直接可得. 【详解】对于A：当时，， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是3，故A正确； 对于B：当，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值是，故B正确； 对于C：当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是5，故C正确； 对于D：令，所以， 由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，故D错误. 故选：D. 5．（25-26高一上·江西赣州·阶段练习）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，利用基本不等式求的最大值即可. 【详解】不等式恒成立， 即， 因，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则，故． 故选：C． 6．（25-26高一上·甘肃定西·阶段练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 【答案】C 【分析】由题设条件可得，利用“乘1法”与基本不等式求最小值. 【详解】由， 则 . 当且仅当时取等号，即，再结合， 可得，时取等号. 故选：C 7．（25-26高一上·北京·阶段练习）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 8．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知实数满足，且，求的最小值为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】由可得：，代入，得，令 ，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】由方程 ，可得： ， 代入所求表达式得： ， 令 ，则： ， 由 ，所以， 因为，所以，所以 . 由基本不等式得： ， 当且仅当“”，即“”，即时取等号. 所以最小值为 8. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】用基本不等式可对选项进行判断，注意基本不等式等号成立的条件，用二次函数的性质可判断选项. 【详解】对于选项. 函数，定义域为. 当时，，当且仅当，即时等号成立，即； 当时，，当且仅当，即时等号成立，即. 综上，函数的最小值不是2，选项错误. 对于选项. 函数，定义域为. 对，，当且仅当时等号成立，但没有能满足此条件，故此函数最小值不是2，选项错误. 对于选项. 函数，其中，故. ，当且仅当，即时等号成立. 故函数的最小值为2，选项正确. 对于选项. ，定义域为，且 则，由函数的性质可知，当时，有最小值4. 故当时，有最小值，故选项正确. 故选： 10．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为-12 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由为正实数，且，则，故，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确， 对于C， ，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，C正确， 对于D， ，当且仅当，即时取等号，故D正确， 故选：BCD 11．（25-26高一上·江苏·期中）已知，则下列结论正确的有（   ） A．的最小值为16 B．的最小值为9 C．的最小值为10 D．的最小值为128 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式，结合“1”的代换方法，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：因为， 所以，解得，所以， 当且仅当，即时，则的最小值为16，故A正确； 选项B：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取到最小值为9，故B正确； 选项C： ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故C错误； 选项D：因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD 12．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）已知正数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于AC：根据基本不等式直接运算求解；对于B：根据不等式性质分析判断；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为正数满足， 对于选项A：，即， 当且仅当时取等号，故A错误； 对于选项B：因为，解得， 则，故B正确； 对于选项C：，当且仅当时取等号，故C正确； 对于选项D：因为， 则 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 13．（25-26高一上·重庆·阶段练习）已知正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A． B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】根据已知双变量的等式进行变量分离即可得，从而得的范围，同理可得的范围，即可判断A；利用进行换元，结合基本不等式分别求解，，的最值，即可判断B,C,D. 【详解】因为，所以，可得， 同理，可得，故A不正确； 由于，，所以， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1，故B正确； 则， 当且仅当，即时，等号成立，又，取等条件无法成立，故的最小值不为1，故C不正确； 又， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 14．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用二次函数的性质计算即可. 【详解】令，则由二次函数的性质可知其对称轴为， 又，且该二次函数开口向下，所以在对称轴上此时函数的最大值，为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 16．（25-26高一上·辽宁大连·阶段练习）若正实数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用条件将原式变形为，再利用乘“1”法求解最值. 【详解】因为， 所以，又， 所以， 由可得，故， 由于，当且仅当，即时取到等号， 故， 因此最小值为， 故答案为： 17．（25-26高一上·辽宁·阶段练习）已知，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由，得到，进而可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，得到，又，所以，则， 所以， 又，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 18．（25-26高一上·吉林延边·阶段练习）若，则的最小值是 【答案】3 【分析】将目标式化为，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题意，且， 当且仅当，即时取等号，故的最小值是3. 故答案为：3 四、解答题 19．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. （3）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由，，且，可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值. （3）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以在时的最小值为. 20．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）（1）已知，求的最大值． （2）已知，求的最小值． （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）2 （2）3 （3）8 【分析】（1）由条件，结合基本不等式可得，由此可求结论； （2）因为，结合基本不等式求其最值； （3）由条件可得，再结合基本不等式求其最值. 【详解】(1)因为，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立. 所以当时，取得最大值，最大值为. (2)因为，所以，. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以.所以当且仅当时，取得最小值，最小值为. (3)因为，所以. 当且仅当，，即时，等号成立. 所以，当时，取得最小值，最小值为. 21．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）如图，在周长为12的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设．    (1)求的周长； (2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值． 【答案】(1)6 (2)当时，的面积取得最大值为 【分析】（1）可证≌，结合长度关系求的周长； （2）设，可得，，进而可求面积，结合基本不等式求最值. 【详解】（1）由题意可得：， 则≌，可得， 因此， 所以的周长为定值6. （2）设， 由折叠知，则，即， 由（1）知，即，则， 在中，由勾股定理得， 即，化简得， 又因为，，则且，即， 可得，. 在中，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积取得最大值为. 22．（25-26高一上·山东临沂·阶段练习）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 【答案】(1)22 (2)； (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算； （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值； （3）代入进行参变分离，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 则，解得， 所以的值为22. （2）由题意可知底面长，墙面面积为， 所以， 可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以报价的最小值约为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 参变分离可得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 23．（25-26高一上·山西朔州·阶段练习）已知均为正数且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用作差法，结合平方数为非负数推理得证. （2）根据给定条件，利用基本不等式，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）由，得 ， 当且仅当时取等号，所以. （2）由均为正数且，得，当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 24．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）求下列各式的最值 (1)已知，求函数 的最大值 (2)设，则的最小值 (3)设正实数，，满足，当取得最大值时，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式可得即可求解； （2）由再利用基本不等式即可求解； （3）由题意可得可得，从而可得得到取等条件及，从而可求得，从而可求解. 【详解】（1）由题知，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数 的最大值为. （2）由，，且， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以则的最小值为. （3）由，且，可得， 则， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以，当时取到最大值， 所以当取得最大值时的最大值为. 17 学科网（北京）股份有限公司 $