精品解析：黑龙江省鸡西市文成中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

鸡西实验中学2025-2026年度第一学期月考试题 高二数学试题 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知直线的斜率为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，则（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 3. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 6 8. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论错误的是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为 B. 若直线与直线平行，则 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，，点在轴上，则的最小值是5 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 任意向量满足 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则点A到直线的距离为___________． 13. 已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为________． 14. 已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为，求直线的方程． 16. 已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． （1）求； （2）求． 17. 如图所示，在直四棱柱中， （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知直线：，. （1）证明直线过定点，并求出点的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程； （3）若直线不经过第四象限，求的取值范围. 19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点． （1）若，证明：平面； （2）在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鸡西实验中学2025-2026年度第一学期月考试题 高二数学试题 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知直线的斜率为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，则，所以， 故选：B. 2. 若向量，则（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算求解即得. 【详解】由，， 得，而， 所以. 故选：D 3. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】，为中点， 故. 故选：B 4. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 5. 一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点，点，再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程． 【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 6. 如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，利用空间向量法可求得异面直线和所成角的余弦值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则、、、、， ， ，所以，， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由两线垂直的判定可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即， 所以（当且仅当，时，等号成立）. 故选：C． 8. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论错误的是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为 B. 若直线与直线平行，则 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，即可解决；对于B，由题意得即可解决；对于C，平行线间距离公式解决即可；对于D，数形结合即可. 【详解】对于A，，即，故A错误； 对于B，直线与直线平行，所以，解得，故B正确； 对于C，直线与直线（即）之间的距离为，故C错误； 对于D，已知，，点在轴上，如图 取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时， 所以的最小值是5，故D正确； 故选：AC. 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 任意向量满足 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数量积的定义即可判断A；根据空间向量共面定理的推论即可判断B；根据空间向量基本定理即可判断C；根据时，，即可判断D. 【详解】对于A，表示与共线的向量， 表示与共线的向量， 而的方向无法确定，所以无法判断是否相等，故A错误； 对于B，因为，且， 所以四点共面，故B正确； 对于C，是空间的一组基底，若， 当共面时，则， 所以，无解，所以不共面， 所以也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，时，，故D错误. 故选：BC. 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则点A到直线的距离为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式求出答案. 【详解】在方向上投影向量的模为， 所以点A到直线的距离． 故答案为：1 13. 已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】在同一坐标系下标出这三个点，连接，如图当直线恰好经过时为临界情况， 又，当直线从位置顺时针转动到位置时， 由倾斜角和斜率的关系可知，. 故答案为： 14. 已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 【答案】或， 【解析】 【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程. 【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为或， 故答案为：或， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出的方程． （2）分类讨论直线的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程． 【小问1详解】 解：由，解得， 所以两直线和的交点为． 当直线与直线平行，设的方程为， 把点代入求得， 可得的方程为． 【小问2详解】 解：斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5． 当的斜率存在时，设直限的方程为，即， 则点到直线的距离为，求得， 故的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 16. 已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． （1）求； （2）求． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理将所求问题转化为基向量进行计算即可. 【小问1详解】 设，，， 由题意得：，，，，，， ； 【小问2详解】 17. 如图所示，在直四棱柱中， （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】用空间向量坐标法求解. 【小问1详解】 因为四棱柱为直四棱柱，且， 所以两两垂直. 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 ，， 设是平面的法向量， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知直线：，. （1）证明直线过定点，并求出点的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程； （3）若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；点A的坐标为； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决． 【小问1详解】 整理直线的方程，得， 所以直线过直线与的交点， 联立方程组，解得， 所以直线过定点，点的坐标为； 【小问2详解】 当截距为时，直线的方程为，即， 当截距不为时，设直线的方程为， 则，解得， 直线的方程为，即， 故直线的方程为或； 【小问3详解】 当时，直线l的方程为，符合题意， 当时，直线l的方程为，不符合题意， 当，且时，， 所以， 解得或， 综上所述，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是 . 19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点． （1）若，证明：平面； （2）在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 取线段的中点P，连接PM，PD， 因为MP为梯形的中位线，所以， 又因为，所以， 因为，，且，所以，， 所以四边形MNDP为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． （2） 在平面中，作于O， 因为平面平面ABCD，且平面平面， 所以平面ABCD， 在正方形ABCD中，过O作AD的平行线交CD于点Q，则， 分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为四边形为等腰梯形，，，所以， 又因为，所以， 则，，，，，设，，所以， 设平面的法向量为， 所以，则， 令，所以， 又因为M为的中点， 所以，所以，， 设平面BMN的法向量为， 所以，则， 令，所以， 又因为平面与平面MNB夹角的余弦值为， 所以，整理得， 所以，解得或， 又因为，所以， 所以存在，点N为CD的中点． 【解析】 【分析】（1）取线段的中点P，连接PM，PD，利用已知可证四边形MNDP为平行四边形，进而可得，可证结论； （2）在平面中，作于O，可证，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，平面BMN的一个法向量为，利用向量法可求得，可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $