精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区工大附中2020-2021学年 上学期七年级期中数学(五四制)试卷

哈工大附中七（上）数学期中考试 考试时间120分钟，满分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元一次方程是（　　　） A. B. C. D. 2. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，则∠EOD＝（　　） A. 70° B. 65° C. 60° D. 55° 4. 如图，平分，且则∠D的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，由能得到的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一张日历上，在同一行或同一列上任意圈出三个相邻的数，它们的和不可能是（ ） A. 63 B. 39 C. 57 D. 50 7. 点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( ) A. 2 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 不超过2 cm 8. 由方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 9. 一架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时x千米，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列命题中真命题的个数有（ ） （1）经过一点有且只有一条直线与这条直线平行 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相垂直 （4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离 （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 如果（a+3）x|a|-2＝3是一元一次方程，那么a＝_____． 12. 若3x+2与﹣2x+1互为相反数，则x的值是_____． 13. 商店促销，标价1200元的球鞋8折出售，因为是会员又打了9折，但仍可获利，则球鞋的进价是__________元． 14. 如图，把一块直角三角板直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是_________． 15. 对于有理数a，b，定义运算“★”；，例如：．所以，若，则x的值为______． 16. 如图，有一块长为米，宽为3米的长方形土地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草地的面积为12平方米，则________米． 17. 如图，已知直线，，，则______． 18. 某服装厂生产一种型号的服装，已知3米长的布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现在库内存有这种布料600米，那么一共能加工服装_________套． 19. 已知，和互为邻补角，且，射线平分，射线，则__________． 20. 如图，，，点F在上，线段的延长线交于点A，连接，点H在线段的延长线上，连接，如果平分，，，，则_______． 三、解答题：（21-25题每题8分，26-27题每题10分，共计60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上. （1）过点C作CM⊥AB，垂足为M； （2）平移△ABC，使点C平移到点M，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，画出平移后的△MEF； （3）连接CF，直接写出△CBF的面积为__________. 23. 已知与都是关于x的方程，且有相同的解，求a的值． 24. 如图：已知：，平分交的延长线于点E，平分交的延长线于点F，若，则，完成下列推理过程． 证明： ∵， ∴（ ） ∴（ ） ∵平分 ∴（ ） 又∵ ∴ ∴（ ） ∵ ∴（ ） ∵平分，平分 ∴， ∴ ∵（ ） ∴（ ） ∵ ∴（ ） 25. 如图，已知，点射线上． （1）求证：； （2）若平分于点，求的度数． 26. 某水果店以5元/千克的价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又再次购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克便宜10%，所购进苹果重量恰好是第一次购进苹果重量的2倍，这样该水果店两次购进苹果共花去5600元． （1）求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？ （2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，并且在销售过程中的其他费用为600元，如果该水果店希望售完这些水果共获得3558元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？ 27. 已知：，点H线段上，点E在线段上，过点E作线段、，使，．   （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点F作交线段于点M，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，平分交于点T，平分交的延长线于点R，点N在线段TF上，连接，过点R作交的延长线于点K，若，，的面积为9，求的长度．（提示：不能直接应用三角形内角和为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈工大附中七（上）数学期中考试 考试时间120分钟，满分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可得到答案. 【详解】解：、含有两个未知数，故不是一元一次方程； 、满足一元一次方程定义，是一元一次方程； 、未知数的最高次数为，不是一元一次方程； 、分母中含未知数，不是整式，不符合一元一次方程的定义． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 2. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】依据等式的性质依次作出判断即可． 【详解】解：若x=0，A选项中方程两边不能同时除以0，故错误； 若，两边乘以-2可得，故B选项错误； 若，则，C选项正确； 若，则，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质，注意等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 3. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，则∠EOD＝（　　） A. 70° B. 65° C. 60° D. 55° 【答案】A 【解析】 【分析】先利用互补的定义求出的度数，再利用平分线的定义来求解． 【详解】解：直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°， ． OE平分∠AOD， ． 故选A． 【点睛】本题考查了补角的定义和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答关键． 4. 如图，平分，且则∠D的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的意义和平行线的判定可得出，利用平行线的同旁内角互补和按比例分配求出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的意义，平行线的判定和性质以及按比例分配等知识，得出是解决问题的关键． 5. 如图，由能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 和不是同位角，也不是内错角，无法得到，故原选项不合题意； B. ∵，∴，故原选项正确，符合题意； C ∵，∴，故原选项错误，不合题意； D. 和不同位角，也不是内错角，无法得到，故原选项不合题意． 故选：B 6. 在一张日历上，在同一行或同一列上任意圈出三个相邻的数，它们的和不可能是（ ） A. 63 B. 39 C. 57 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减的应用等知识，明确日历的数字规律是解题关键．分这三个数在同一行或在同一列两种情况分类讨论，设中间数为x，分别计算它们的和，得到都是3的倍数，据此即可求解． 【详解】解：三个数在同一行时，设中间数为x，则另外两个数为， ∴这个三个数的和为； 三个数在同一列时，设中间数为x，则另外两个数为， ∴这个三个数的和为； ∴不论是在同一行或同一列上任意圈出三个相邻的数，它们的和为3的倍数． ∵， ∴它们的和不可能是50． 故选：D 7. 点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( ) A. 2 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 不超过2 cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可． 【详解】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短； 因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm， 所以三条线段的最短的是2 cm， 所以点P到直线l的距离不超过2 cm． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短． 8. 由方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式方程两边乘以6去分母即可得到结果． 【详解】解：去分母得：． 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程中的去分母，熟悉相关性质是解题的关键． 9. 一架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时x千米，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设飞机在无风时的飞行速度为x千米/时，则飞机顺风飞行的速度为（x+24）千米/时，逆风飞行的速度为 （x-24）千米/时，列出方程5.5•（x+24）=6（x-24）即可 【详解】解：设飞机在无风时的飞行速度为x千米/时，则飞机顺风飞行的速度为（x+24）千米/时，逆风飞行的速度为 （x-24）千米/时， 根据题意得5.5•（x+24）=6（x-24）． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次方程的简单应用，本题关键在于能够弄清楚顺风速度、逆风速度、飞行速度三者的关系 10. 下列命题中真命题的个数有（ ） （1）经过一点有且只有一条直线与这条直线平行 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相垂直 （4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离 （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质与垂线的性质依次判断即可． 【详解】解：（1）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原命题为假命题，不符合题意； （2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题为假命题，不符合题意； （3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，，原命题为假命题，不符合题意； （4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线m的距离，原命题为假命题，不符合题意； （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原命题为真命题，符合题意； 故选A． 【点睛】题目主要考查平行线与垂线的性质，熟练掌握平行线与垂线的性质是解题关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 如果（a+3）x|a|-2＝3是一元一次方程，那么a＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】依据一元一次方程的定义可知|a|-2=1，a+3≠0，可求得a的值． 【详解】解：∵（a+3）x|a|-2=3是一元一次方程， ∴|a|-2=1，a+3≠0， 解得a=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义．能够依据一元一次方程的定义求得a的值是解题的关键． 12. 若3x+2与﹣2x+1互为相反数，则x的值是_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据互为相反数相加得零列方程求解即可. 【详解】∵3x+2与﹣2x+1互为相反数， ∴3x+2+(﹣2x+1)=0， 解之得 x=-3. 故答案为-3. 【点睛】本题考查了相反数的意义及一元一次方程的解法，根据相反数的意义列出方程是解答本题的关键. 13. 商店促销，标价1200元的球鞋8折出售，因为是会员又打了9折，但仍可获利，则球鞋的进价是__________元． 【答案】720 【解析】 【分析】设球鞋的进价是元，根据利润售价进价，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设球鞋的进价是元， 依题意，得：， 解得：， 即球鞋的进价是720元， 故答案为：720． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 14. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是_________． 【答案】##34度 【解析】 【分析】根据平行求得的度数，在利用，即可求得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等． 15. 对于有理数a，b，定义运算“★”；，例如：．所以，若，则x的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据把所给方程转华为一元一次方程求解即可． 【详解】∵， ∴可化为， 解得． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了新定义，以及一元一次方程的解法，理解新定义的含义是解答本题的关键． 16. 如图，有一块长为米，宽为3米的长方形土地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草地的面积为12平方米，则________米． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意设空白处的长为，再利用矩形面积公式列式计算即可． 【详解】解：设空白处的长为， ∵草地的面积为12平方米，宽为3米的长方形土地， ∴，解得：， 故答案为：5． 17. 如图，已知直线，，，则______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，过作，由平行的判性质得，，即可求解． 【详解】解：过作， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 某服装厂生产一种型号服装，已知3米长的布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现在库内存有这种布料600米，那么一共能加工服装_________套． 【答案】240 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． 设一共能加工服装套，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设一共能加工服装套， 根据题意可得， 解得， ∴一共能加工服装240套． 故答案为：240． 19. 已知，和互为邻补角，且，射线平分，射线，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】通过条件求出和，利用OD平分求出，将OE区分为包含和不包含两种情况分别计算． 【详解】解：∵和互为邻补角， ∴， 又∵， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 当包含时，如图1， ， 当不包含时，如图2， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了邻补解、角平分线、垂直等关于角的知识，关键要区分有两种情况，防止遗漏答案． 20. 如图，，，点F在上，线段的延长线交于点A，连接，点H在线段的延长线上，连接，如果平分，，，，则_______． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、外角的性质，熟练掌握平行线性质定理是解题的关键．设，则，根据，得到，根据，得到，即可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设， 则 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，且， ∴， 解得：， 即， 故答案为：． 三、解答题：（21-25题每题8分，26-27题每题10分，共计60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程， （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程解是多少即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可； 熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． 【小问1详解】 去括号，可得：， 移项，合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 【小问2详解】 去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，合并同类项，可得：． 22. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上. （1）过点C作CM⊥AB，垂足为M； （2）平移△ABC，使点C平移到点M，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，画出平移后的△MEF； （3）连接CF，直接写出△CBF的面积为__________. 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）1. 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和高的定义画图； （2）利用点M和点C的位置特征确定平移的方向和距离，然后利用此平移规律画出点E、F即可； （3）根据三角形面积公式计算． 【详解】（1）如图，CM为所作； （2）如图，△MEF为所作； （3）S△CBF=×2×1=1． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 23. 已知与都是关于x的方程，且有相同的解，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】解，得出，代入，解关于的方程即可求解． 【详解】解： 解得：， 将，代入，得 ， 解得： 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解题意是解题的关键． 24. 如图：已知：，平分交的延长线于点E，平分交的延长线于点F，若，则，完成下列推理过程． 证明： ∵， ∴（ ） ∴（ ） ∵平分 ∴（ ） 又∵ ∴ ∴（ ） ∵ ∴（ ） ∵平分，平分 ∴， ∴ ∵（ ） ∴（ ） ∵ ∴（ ） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质填空即可． 【详解】证明：∵， ∴（同角的补角相等） ∴（同位角相等，两直线平行） ∵平分 ∴（角平分线定义） 又∵ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行） ∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵平分，平分 ∴， ∴ ∵（已证） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴（等量代换） 25. 如图，已知，点在射线上． （1）求证：； （2）若平分于点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练运用平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）和性质定理（两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补）进行角的转化与计算． （1）主要由得，进而得；结合，得，证得． （2）主要由得；因平分，得；由得；因且，得；计算，进而得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． 26. 某水果店以5元/千克的价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又再次购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克便宜10%，所购进苹果重量恰好是第一次购进苹果重量的2倍，这样该水果店两次购进苹果共花去5600元． （1）求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？ （2）在销售中，尽管两次进货价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，并且在销售过程中的其他费用为600元，如果该水果店希望售完这些水果共获得3558元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？ 【答案】（1）该水果店第一次购买了400千克苹果，第二次购买了800千克苹果；（2）该水果店每千克应定价8.5元 【解析】 【分析】（1）该水果店第一次购买了x千克苹果，则第二次购买了2x千克苹果，根据“购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了10%，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，”、“两次购进水果共花去了5600元”列出方程并解答； （2）设该水果每千克售价为m元，，则由“售完这些水果获利不低于3558元”列出不等式并解答． 【详解】（1）设该水果店第一次购买了x千克苹果，则第二次购买了2x千克苹果， 依题意，得：5x+5×（1﹣10%）×2x＝5600， 解得：x＝400， ∴2x＝800． 答：该水果店第一次购买了400千克苹果，第二次购买了800千克苹果． （2）设该水果店每千克售价应定为m元， 依题意，得：400×（1﹣3%）m+800×（1﹣5%）m﹣600﹣5600＝3558， 解得：m＝8.5， 答：该水果店每千克应定价8.5元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出方程． 27. 已知：，点H在线段上，点E在线段上，过点E作线段、，使，．   （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点F作交线段于点M，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，平分交于点T，平分交的延长线于点R，点N在线段TF上，连接，过点R作交的延长线于点K，若，，的面积为9，求的长度．（提示：不能直接应用三角形内角和为） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）根据得到，进而证明，即可证明，根据，即可证明； （2）过点F作，即可得到，，证明，得到，从而证明，即可证明； （3）过点F作交于O，设，则，证出，过点R作，则，证，进而得出，由平行线的性质得，再由三角形面积关系即可得出答案﹒ 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点F作，   ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点F作交于O﹒     ∴， ∴， ∵平分， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， 过点R作， ∴， ∵且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中， ∵，， ∴， ∴﹒ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $