第3章 代数式 随堂练习-2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

3.1.3 成反比例的量 【知识梳理】 一、正比列关系 1.定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。 2.表示：用（为常数，且）来表示正比例关系，其中叫作比例系数。 二、反比例关系 1.定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。 2.表示：用（为常数，且）来表示反比例关系，其中叫作比例系数。 【牛刀小试】 A组 1．把一些铅笔，平均分给每个学生，每个学生分到的支数与学生人数（     ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 2．下列a与b之间是反比例关系的是（     ） A． B． C． D． 3．下面说法正确的是（     ） A．正方形的面积与边长成正比例关系 B．从沈阳到大连的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 C．完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量成反比例关系 D．钢笔的单价一定时，购买的总价与钢笔数量成反比例关系 4．科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成 比例．当弹簧的总长度是12.8厘米时，所称物体的质量是 千克． 5．某电路的电源电压U（单位：V），电阻R（单位：Ω），电流I（单位：A）三者之间的关系为，且电源电压U恒定不变，则电阻R和电流I两个量成 关系（填“正比例”或“反比例”，根据下表，“△”处应填 ． （单位：Ω） 100 110 △ （单位：A） 2 6．某工艺品厂每天要生产一批某种型号工艺品，每名工人一天能做工艺品的数量与所需工人的人数如下表所示． 每名工人一天能做工艺品的数量（个） 20 30 40 … 所需工人的人数（人） 6 4 3 … (1)求该工艺品厂每天要生产这种型号的工艺品多少个？ (2)所需工人的人数是怎样随着每名工人一天能做工艺品的数量的变化而变化的？ (3)分别用x，y表示每名工人一天能做工艺品的数量和所需工人的人数，用式子表示x与y的关系，x与y成什么比例关系？ B组 1．表示x和y成正比例的式子是（    ） A． B． C． D． 2．下面各选项中，两个量成反比例的是（　　） A． B． C． D． 3．已知表格中m与n成反比例关系，则 ． m 6 2 n 3 x 4．判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是 （填序号）． ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 5．小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 参考答案 A组 1．B 【详解】解：∵铅笔总数每个学生分到的支数学生人数，其中铅笔总数为定值， ∴每个学生分到的支数与学生人数成反比例， 故选：B． 2．A 【分析】此题考查辨识成正、反比例的量，相关联的两个量成什么比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定或比值一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果是比值一定，就成正比例． 判断各个选项字母之间的关系是不是乘积一定即可判断是不是反比例关系． 【详解】解：A、由可知，a与b的乘积等于12，符合反比例关系的定义，符合题意； B、由可得，即a与b成正比例关系，不符合题意； C、由可得，即b与a成正比例关系，不符合题意； D、由可得，即a与b成正比例关系，不符合题意； 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了辨识正、反比例的量，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例．由此逐项判断即可． 【详解】解：A、 正方形的面积÷正方形的边长=正方形的边长，没有定值，故正方形的边长和面积不成比例，不符合题意； B、时间×速度=路程（定值），是乘积为定值，符合反比例的意义，则从沈阳到大连的路程一定，行驶的时间与平均速度是成反比例，故该选项正确，符合题意； C、 完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量的乘积不是定值，不符合反比例的意义，故该选项不正确，不符合题意； D、 钢笔的单价一定，购买的总价与数量，根据总价÷数量=单价（定值），符合正比例的意义，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4． 正 9.6 【分析】此题考查了正比例关系的认识及应用，要求学生掌握． （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是弹簧伸长后的总长度减去弹簧原来的长度；用弹簧伸长的长度乘弹簧伸长每厘米所称物体的质量，就是所称物体的质量． 【详解】解：（1）（千克/厘米） （千克/厘米） （千克/厘米） …… （千克/厘米） 2是一定值，所以在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成正比例． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是： （厘米） 所挂物体的质量是： （千克） 答：当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是9.6千克． 故答案为：（1）正．（2）9.6． 5． 反比例 88 【分析】本题考查反比例关系的应用，掌握知识点是解题的关键： （1）根据反比例关系的定义判断即可； （2）利用，求出U的值，可得R，I的关系，再将代入，即可解得． 【详解】解：由得 ， ∴当电源电压U恒定不变，则电阻R和电流I两个量成反比例关系． 将代入，得 解得， ∴， 当时，． 故答案为：反比例，88． 6．(1)120个 (2)所需工人的人数随着每名工人一天能做工艺品的数量的增大而减小 (3)，x与y成反比例关系 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，反比例的应用，解题的关键是掌握当两个变量乘积一定时则成反比例关系． （1）根据表格即可求解； （2）根据表格即可求解； （3）根据可得x与y成反比例关系 【详解】（1）解：由表格可得：（个）， 答：工艺品厂每天要生产这种型号的工艺品120个； （2）解：由表格可得，所需工人的人数随着每名工人一天能做工艺品的数量的增大而减小； （3）解：由表格可得， ∴x与y成反比例关系． B组 1．C 【分析】本题考查了正比例的定义，根据成正比例则比值固定，判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A．，和一定，所以、不成比例； B．，乘积一定，所以、成反比例； C．，那么，比值一定，所以、成正比例． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了辨识反比例的量，正确记忆相关知识点是解题关键．判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例．由此逐项判断即可． 【详解】解：A中，，两个量是成正比例的，不成反比例，故选项不符合题意； B中，，两个量的和一定，不成反比例，故选项不符合题意； C中，，两个量成反比例，故选项符合题意； D中，，两个量的差一定，不成反比例，故选项不符合题意； 故选：C． 3．9 【分析】本题考查了反比例的定义，熟练掌握反比例的定义是解题的关键． 根据反比例的定义可知，进一步计算即可． 【详解】解：∵表格中如果与成反比例关系， ， 解得， 故答案为：9． 4．③ 【分析】本题考查反比例关系，解题的关键是掌握两个变量的乘积一定时，这两个变量成反比例关系； 根据成反比关系的定义逐项判断即可． 【详解】解：销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，故①不符合题意; 等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长不成反比例关系，故②不符合题意； 三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高成反比例关系，故③符合题意； 圆的周长与它的半径成正比例关系，故④不符合题意； 故答案为：③. 5．(1)3000字 (2)完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小 (3)，t与v成反比例关系 【分析】本题考查成反比例关系的量，熟练掌握成反比例关系的量的特征是解题的关键． （1）用录入文字的速度乘完成录入的时间即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的； （3）由于总字数一定，则完成录入的时间t与录入文字的速度v的乘积一定，为3000，则可知t与v成反比例关系． 【详解】（1）解：， 即这篇社会调查报告共有3000字； （2）解：由表可知完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小； （3）解：∵总字数一定，为， ∴， ∴t与v成反比例关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 代数式的值 【知识梳理】 1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 2.常用来描述数量关系的公式 （1）路程公式：路程=速度×时间； （2）周长公式： ①长方形的周长=（长+宽）×2； ②正方形的周长=边长×4； ③圆的周长=π×直径。 （3）面积公式： ①长方形的面积=长×宽； ②正方形的面积=边长×边长； ③梯形的面积=（上底+下底）×高÷2； ④圆的面积=π×半径的平方。 （4）体积公式： ①长方体的体积=长×宽×高； ②正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 【牛刀小试】 1．若，则的值为（   ） A．5 B．4 C．6 D．3 2．下图中的运算程序，若输入的a为2，则输出的数为（    ） A．1 B．3 C．7 D．21 3．已知，，则（     ）． A．10 B．8 C．6 D．4 4．若，则（   ） A．6 B．2 C． D．0 5．下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成的，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒．按此规律，图案③需 根火柴棒，图案⑦需 根火柴棒，若图案需2024根火柴棒，则 ． 6．当时，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 7．已知互为相反数，互为倒数，， (1)直接写出___________，___________，___________． (2)求式子的值． 8．观察下面三行数： ，，，，，，；① ，，，，，， ；② ，，，，，，；③ (1)第①行中，第个数是______，第个数是______，第个数是______； (2)第②③行中与第①行中的数分别有什么关系？ (3)取每行中的第个数，计算这三个数的和． B组 1．当时，代数式的值为（   ） A． B． C．4 D．7 2．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为﹣3，则输出的值为（    ） A．13 B．-23 C．22 D．-32 3．已知x，y互为相反数且均不为0，a，b互为倒数，m是最大的负整数，则代数式的值为（        ） A．-2020 B．-2021 C．1 D．-1 4．如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为（    ） A．80 B．160 C．320 D．480 5．已知，则的值是（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 6．若，则的值为（     ） A．－42 B．42 C．－2 D．22 7．如图是由圆圈摆成的图案，按此规律摆放，第个图案中圆圈的个数是 ． 8．若，，求的值． 9．已知，，计算当时，的值． 参考答案 A组 1．A 【分析】本题考查了代数式求值，准确的计算是解决本题的关键． 将代入代数式进行求解即可． 【详解】解：将代入得，， 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了程序流程图及代数式求值，掌握运算程序的规则是解题的关键．根据运算程序的规则，代入对应代数式求出输出的值即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查了代数式求值，先求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式 故选：A． 5． 22 50 289 【分析】本题考查了图形规律，找到规律是解题的关键． 【详解】解：第一个图案需要火柴：根， 第二个图案需要火柴：根， 第三个图案需要火柴：根， 第个图案需要火柴：根， 故图案③需根． 故图案⑦需根． 若需要根火柴棒则：． 解得：． 故答案为： ． 6．(1) (2)24 (3) 【分析】本题考查了代数式求值，正确计算是解题的关键． （1）（2）（3）把的值代入计算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ； （3）解：当时， ． 7．(1)：0；1； (2) 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据相反数，倒数和绝对值的定义，然后即可求解； （2）分和两种情况，然后再把，，代入，即可求解 【详解】（1）解：∵互为相反数，互为倒数，， ∴，，， 故答案为：0；1；； （2）解：由（1）可得：，，， ∴需要分和两种情况， ①当时，把，，代入， ； ②当时，把，，代入， ； 综上所述：式子的值为； 8．(1)；； (2)第②行的数是第①行相应的数加；第③行的数是第①行相应的数乘 (3) 【分析】本题考查了数字的规律探究，含乘方的有理数的运算，有理数的加法、除法运算．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）首先分析第①行数字的符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用来表示符号．接着分析数字部分的规律：数字部分呈现出的规律（为项数）．综合符号和数字部分的规律，得出第①行第个数的表达式为．然后将和分别代入表达式，计算出第个数和第13个数． （2）对于第②行，将其与第①行对应位置的数进行对比，发现第②行的数比第①行相应的数大，由此得出第②行第个数与第①行第个数的关系．对于第③行，把它和第①行对应位置的数作比较，可知第③行的数是第①行相应数的，进而得到第③行第个数与第①行第个数的关系． （3）先根据前面得出的规律，分别写出第①、②、③行第20个数的表达式．最后将这三个数相加，通过提取公因式等运算，得出它们的和． 【详解】（1）观察第①行， 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用表示符号， 数字规律：数字部分是， 所以第①行第个数是， 第个数是， 第个数：． 故答案为：；；． （2）对比可得，第②行的数是第行相应的数加， 即第②行第个数是， 第③行的数是第①行相应的数乘， 即第③行第个数是． （3） ． B组 1．A 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法是解题关键．将代入计算即可得． 【详解】解：将代入得：， 故选：A． 2．C 【分析】根据运算程序的运算方法，把x的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：x=-3时，3x2-5=3×（-3）2-5=27-5=22． 故选C． 【点睛】本题考查了代数式求值，读懂图表运算程序是解题的关键． 3．B 【分析】根据题意可得：，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵x，y互为相反数且均不为0，a，b互为倒数，m是最大的负整数， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，相反数的性质，倒数，根据题意得到，是解题的关键． 4．B 【分析】根据题意可得，，则，代入求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，即， ， 故选：B 【点睛】此题考查了代数式求值，解题的关键是利用因式分解法求得． 5．B 【分析】先变形得出，再整体代入求出即可． 【详解】∵， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键． 6．B 【分析】先算出x+y=-22，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴x+y=-22， ∴=20-（x+y）=20-（-22）=42， 故选B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握整体代入思想方法，是解题的关键． 7． 【分析】本题考查了规律型－图形的变化类．观察图形的变化可知：第1个图形中圆点的个数为；第2个图形中圆点的个数为；第3个图形中圆点的个数为；进而发现规律，即可得第n个图形中圆点的个数． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第1个图形中圆点的个数为； 第2个图形中圆点的个数为； 第3个图形中圆点的个数为； 第4个图形中圆点的个数为； … 发现规律，则第n个图形中圆点的个数为． 故答案为：． 8．的值为或或或 【分析】本题考查了绝对值，代数式求值； 根据绝对值的意义可得，，然后分情况计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或或或． 9． 【分析】先将A和B的代数式代入(3A-B)进行化简，然后再代入a的具体数值求解. 【详解】解：原式=3×()-()= 3×+-6a+4a+3-2=6a3-2a+1 代入a=-1，则原式=6×(-1)3-2×(-1)+1=-3. 即， . 【点睛】本题主要考查了先化简整式，再代入求值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 列代数式 【知识梳理】 1.常见实际问题中的数量关系： （1）路程=速度×时间； （2）周长、面积、体积公式； （3）利息=本金×年利率×存期； （4）与销售有关的数量关系： 总售价=单价×数量，利润=售价-进价（成本），售价=进价×（1-下降率）售价=进价×（1+上涨率），售价=进价×（1+盈利率），盈利率=； （5）打几折出售，表示按原价的十分之几或百分之几十出售，售价=标价×折扣。 【牛刀小试】 A组 1．已知刚上市的水蜜桃每千克10元，则千克水蜜桃共多少元？（     ） A． B． C． D． 2．用代数式表示“a的2倍与3的和”为（　　） A．2a+3 B．2（a+3） C．3a+2 D．3（a+2） 3．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（     ） A． B． C． D． 4．一件衣服原价为m元，先降价，再提价，现在的价格是（   ） A．m元 B．元 C．元 D．元 5．如图，学校有一块边长为的正方形草坪，纵、横各有一条宽为1m的小路，草坪的实际面积是 ． 6．一件商品的进价为a元，提价出售，无人购买，为清空库存打九折，打折后的价格为 元． 7．如图，四边形是一个长方形，根据图中数据，用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S为 ． 8．用代数式表示下列各小题． (1)边长为的正方形的周长； (2)若n表示任意一个整数，用含n的代数式表示能被5整除的整数； (3)一个两位数的个位上的数字为m，十位上的数字为n，用含m，n的代数式表示这个两位数． B组 1．已知买2千克苹果共花费元，则苹果每千克是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．核桃的单价为m元/千克，栗子的单价为n元/千克，买2千克核桃和3千克栗子共需（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 3．一件衣服原价为a元,降价10%后的价格为　(　　) A．0.9a元 B．110a元 C．元 D．元 4．李爷爷今年岁，杨伯伯今年岁，过年后，他们相差（     ）岁． A．x B．20 C． D． 5．一艘轮船在静水中的速度是，水的流速是，该轮船逆水航行的行程是 ． 6．如图，在一个长为b米，宽为a米的长方形草坪中间，有两条宽度都是c米的小径，则草地的总面积可表示为 平方米． 7．某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个()． (1)若在甲网店购买，需付款_______元；若在乙网店购买，需付款_________ 元；(用含x的式子表示) (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ 参考答案 A组 1．D 2．A 3．D 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 4．B 【详解】解：衣服原价m元，降价后价格为（元）， 再提价后的价格为：（元）， 故选：B． 5． 【详解】解：通过平移可得草坪的实际面积即为边长为的正方形的面积， 所以草坪的实际面积是平方米． 故答案为：． 6． 【详解】解：由题意得（元）﹒ 故答案为： 7． 【详解】解：， 故答案为：． 8．(1)，； (2)两家网店一样合算； 【详解】（1）解：∵甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球， ∴若在甲网店购买，需付款元， ∵乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的付款， ∴若在乙网店购买，需付款元， 故答案为：，； （2）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式， 在甲网店购买，需付款： (元)， 在乙网店购买，需付款： (元)， ∵， ∴此时两家网店一样合算。 B组 1．A 2．C 3．A 4．B 【详解】解：根据题意，李爷爷与杨伯伯的年龄差为， ∴年后，他们相差20岁， 故选：B ． 5．/84-3a 【详解】解：静水中的速度是，水的流速是， 逆水航行的速度是， 轮船逆水航行的行程是， 故答案为：． 6． 【详解】解：草地的总面积可表示为平方米， 故答案为：平方米． 7．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得，边长为的正方形的周长为：； （2）解：由题意得，能被5整除的整数为：； （3）解：由题意得，这个两位数为：． 学科网（北京）股份有限公司 $