36 平移思想-小学数学思想方法导引课

平移思想 一、核心思想方法 “平移思想”的核心是在保持图形的形状、大小不变的前提下，将图形沿着某个方向移动一定的距离 。它强调图形在平移过程中，对应点的连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。平移思想通过改变图形的位置，使原本分散、不规则的图形重新组合，从而发现图形之间的内在联系和规律。在小学数学中，平移思想有助于学生从动态的角度去观察和理解图形，建立空间观念，提高空间想象能力和几何直观能力，为后续学习更复杂的几何知识奠定基础。 二、解决的痛点、难点问题 ① 不规则图形面积计算难：面对形状不规则、无法直接用公式计算面积的图形，学生无从下手，平移思想通过将图形部分平移，组合成规则图形，使其可套用公式计算。 ② 图形运动规律理解浅：难以理解图形平移的本质特征（形状、大小、方向不变），平移思想通过具体操作和观察，帮助学生明确平移的核心是“位置移动，属性不变”。 ③ 复杂情境中图形关系模糊：在多个图形组合的问题中，难以发现图形间的位置关联，平移思想能通过移动图形，使隐藏的关系显性化，简化问题分析。 三、方法应用示例 例题1 不规则图形面积计算（人教版五年级上册） 题目 求下图不规则图形的面积（单位：cm），图形可看作一个长10cm、宽6cm的长方形，右上角缺失一个长3cm、宽2cm的小长方形。 ▶步骤 ① 分析图形：原图形是长方形缺失一部分，直接计算复杂，可通过平移转化。 ② 平移操作：将右上角缺失部分对应的左侧或下方图形平移至缺失处，发现无法完全补全，但可通过“整体面积-缺失面积”计算，本质是利用平移思想确认图形组成关系。 ③ 计算面积：长方形面积=10×6=60（cm²），缺失小长方形面积=3×2=6（cm²），不规则图形面积=60-6=54（cm²）。 ▶答案：54cm² 例题2 平行四边形面积推导（北师大版五年级上册） 题目 如何通过平移思想推导平行四边形的面积公式？ ▶步骤 ① 分析图形：平行四边形不是规则的长方形，无法直接用长方形面积公式计算。 ② 平移操作：沿平行四边形的一条高剪开，得到一个直角三角形和一个直角梯形，将直角三角形向右平移，与直角梯形拼接，形成一个长方形。 ③ 关系分析：平移后长方形的长等于原平行四边形的底，宽等于原平行四边形的高，且面积与原平行四边形相等。 ④ 推导公式：因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高（）。 ▶答案：平行四边形面积公式为 例题3 图形平移距离计算（苏教版四年级下册） 题目 一个三角形先向右平移5格，再向上平移3格，最终位置与原位置相比，总共平移了多少格？（以图形上某一点为参照） ▶步骤 ① 确定参照点：选择三角形的一个顶点（如顶点A）作为参照。 ② 分析平移过程：原顶点A坐标假设为（x，y），向右平移5格后坐标为（x+5，y），再向上平移3格后坐标为（x+5，y+3）。 ③ 计算总平移：通过平移思想，水平方向平移5格，垂直方向平移3格，虽然不是直线距离，但通常描述为分别平移的格数，或说明平移方向和距离的组合。 ▶答案：先向右平移5格，再向上平移3格（或描述为总共水平向右平移5格，垂直向上平移3格） 例题4 组合图形周长计算（青岛版五年级上册） 题目 求下图组合图形的周长（单位：dm），图形由一个边长为4dm的正方形和一个长6dm、宽3dm的长方形组成，正方形的一边与长方形的一边重合（重合部分长3dm）。 ▶步骤 ① 分析图形：直接计算周长易重复计算重合部分，利用平移思想将不重合的边平移。 ② 平移操作：将长方形不重合的边和正方形不重合的边平移，组合成一个大长方形的轮廓（或计算各边之和减去2倍重合长度）。 ③ 计算周长：正方形周长=4×4=16（dm），长方形周长=（6+3）×2=18（dm），重合部分长度3dm，总周长=16+18-3×2=34-6=28（dm）。 ▶答案：28dm 四、练习题 ① 题目：一个不规则图形，通过平移转化为一个长8cm、宽5cm的长方形，求该不规则图形的面积。 ② 题目：一个梯形的上底是2m，下底是5m，高是3m，通过平移其中一个腰，将其转化为三角形计算面积。 ③ 题目：一个图形先向左平移6格，再向下平移4格，若要回到原位置，需要怎样平移？ ④ 题目：求下图“L”形图形的周长（单位：cm），图形的水平部分长10cm、宽3cm，垂直部分长8cm、宽3cm，拐角处重合。 ⑤ 题目：一个平行四边形通过平移一条边，转化为长方形后，长方形的长是7cm，宽是4cm，原平行四边形的面积是多少？ 【答案】 ① 详解：平移不改变图形面积，长方形面积=8×5=40（cm²），因此不规则图形面积是40cm²。 答案：40cm² ② 详解：将梯形的一个腰平移，使上底的另一端与下底的一端对齐，形成一个三角形，三角形的底=5-2=3（m），高=3m，面积=3×3÷2=4.5（m²）？不，正确转化应为：平移后形成的三角形底是下底与上底的差（5-2=3m），但梯形面积=（2+5）×3÷2=10.5（m²），通过平移可知梯形面积等于转化后的平行四边形与三角形面积之和，此处更简单的是利用平移思想确认梯形面积公式的推导，最终面积为10.5m²。 答案：10.5m² ③ 详解：根据平移的可逆性，要回到原位置，需向右平移6格，再向上平移4格（或先向上平移4格，再向右平移6格）。 答案：向右平移6格，再向上平移4格 ④ 详解：利用平移思想，将“L”形的水平和垂直边平移，可转化为一个长10cm、宽8cm的长方形周长，周长=（10+8）×2=36（cm）。 答案：36cm ⑤ 详解：平移不改变图形面积，长方形面积=7×4=28（cm²），因此原平行四边形面积也是28cm²。 答案：28cm² 五、学习总结 “平移思想”关键在于把握平移的本质特征，灵活运用平移将图形转化为规则或易于分析的形式。学习时，要多通过动手操作（如剪纸平移）理解平移过程，掌握利用平移转化图形的技巧。掌握平移思想，能提升空间想象能力和图形转化能力，为初中几何学习奠定坚实的基础。 学科网（北京）股份有限公司 $