53 极值求解法-高中物理思想方法导引课

极值求解法

 

一、方法溯源

极值求解的思想古已有之世纪，随着微积分的创立，为精确求解物理问题中的极值提供了强大工具，像牛顿、莱布尼茨等科学家在研究物理问题时就运用到相关方法。此后，在物理研究和教学实践中，人们不断总结归纳，结合代数方法、几何方法等，逐渐形成了多种适用于不同物理情境的“极值求解法”，成为解决物理问题的重要手段。

 

二、核心物理思想

“极值求解法”的核心物理思想是针对物理问题中涉及的物理量，通过分析其变化规律，运用数学方法（如函数求导、不等式、三角函数性质、几何关系等）或物理原理（如能量守恒、动量守恒等），找出该物理量在给定条件下的最大值或最小值。其本质是将物理问题转化为数学问题或利用物理规律的特性，通过对物理过程和物理量关系的深入分析，挖掘出物理量达到极值的条件，从而求解极值，以揭示物理现象的本质规律和临界状态。

 

三、解决的问题

① 运动学中的极值问题：求解物体运动的最大速度、最小时间、最大位移等问题，例如在匀变速直线运动中，根据已知条件求物体加速到最大速度的时间，或在斜抛运动中求物体的最大射程。

② 动力学中的极值问题：分析物体受力情况，求解力的最大值或最小值，如求使物体恰好保持静止或开始运动时某个力的大小；在连接体问题中，求绳子拉力、弹簧弹力的极值。

③ 能量与动量中的极值问题：利用能量守恒和动量守恒定律，求解系统动能、势能的极值，或物体动量变化的极值，例如碰撞过程中系统动能损失的最大值，滑块在长木板上滑动时两者相对位移的最大值。

④ 电磁学中的极值问题：在电场、磁场和电磁感应问题中，求解电场力、洛伦兹力、感应电动势、感应电流等物理量的极值，如带电粒子在磁场中运动的最大半径，闭合电路中电源输出功率的最大值。

⑤ 光学中的极值问题：解决光的折射、反射问题中涉及的极值，如求全反射时入射角的临界值，透镜成像中像的放大率的最大值。

 

四、方法应用示例（结合新高考题型）

例题1 运动学中的极值问题

题目 一辆汽车在笔直公路上以初速度开始做匀加速直线运动，加速度，汽车前方处有一障碍物，求汽车不撞上障碍物的最长运动时间。

解题步骤：

① 建立物理模型：

以汽车初始位置为原点，运动方向为轴正方向建立坐标系，绘制汽车运动示意图，标注出初速度、加速度和障碍物位置。（结合图形想象，画出一条直线代表公路，汽车在一端，前方标注障碍物，箭头表示汽车运动方向）

② 列出位移公式：

根据匀变速直线运动位移公式，汽车不撞上障碍物时，，即，整理得。

③ 利用二次函数求极值：

对于二次函数，其对称轴为，函数图像开口向上。求的根，根据求根公式 。因为时间，所以，即最长运动时间约为 。

 

例题2 动力学中的极值问题

题目 如图所示，质量的物体放在粗糙水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数，现用一个与水平方向成角的拉力拉物体，求使物体恰好开始运动时拉力的最小值。（，，）

解题步骤：

① 对物体受力分析：

画出物体的受力分析图，物体受重力、拉力、支持力和摩擦力。（结合图形想象，绘制一个物体在水平面上，标注出各力的方向和角度）

② 根据平衡条件列方程：

在水平方向，在竖直方向，又。将代入中，得到 。

③ 求解的最小值：