精品解析：广东省佛山市顺德区罗定邦中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2025－2026学年上学期 高二第一次教学质量检测 高二数学试题 本试卷共2页，19小题，全卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性即可求解. 【详解】关于轴对称点的坐标, 故选：A 2. 如图，已知空间四边形，其对角线，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用向量，，表示向量，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，利用基底表示向量，即可得解. 【详解】由已知，所以， 则， 即，，所以， 故选：A. 3. ，，，若，，共面，则实数k为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理列式求解即可. 【详解】由于共面，则存在，使得， 又， 故， 故，解得. 故选：D. 4. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出在上的投影，进行计算在上的投影向量. 【详解】因为，，所以. 因为，所以 故在上的投影向量为 故选：B 5. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ） A. 第一次朝上的数字是偶数 B. 第一次朝上的数字是1 C. 两次朝上的数字之和是8 D. 两次朝上的数字之和是7 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件的定义逐一判断即可. 【详解】解：抛掷骰子两次，共有个基本事件数, 则, 共18个基本事件，则, 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则, 且，则, ，所以C错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是7，则, 则,且，则 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D. 6. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使得这三个数之和等于15的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件先求出基本事件总数，利用列举法求出能使这三个数之和等于15包含的基本事件个数，再利用古典概型即可求出概率. 【详解】从个阳数中随机抽取个数，基本事件总数为种取法， 能使这三个数之和等于15的基本事件有：，共2种， 能使得这三个数之和等于15的概率：； 故选：B. 7. 在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，M是的中点，则（ ） A. 5 B. 7 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的定义可得，，，再结合向量的线性运算以及数量积的运算律运算求解. 【详解】由题意可知：，，，， 可得：，，， 因为， 可得 ， 所以，即. 故选：D. 8. 如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，与相交 C. 异面直线AC与BF所成的角为45° D. 直线MN与平面BCE相交 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标，然后A、C、D选项均可以用空间坐标处理；B选项找到与相交时的值，进而作出判断. 【详解】解：∵边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直 ∴以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∵ ∴过点作于点，连接， 则， ， 显然，与不一定相等，选项A错误. B选项：当时，即M为AC中点，N为BF中点时，如图所示， 此时与相交，故选项B正确； C选项：， ∴ ∴异面直线与所成的角为，C选项错误 D选项： 平面BCE的法向量为 ∴，∴ ∴始终与平面平行，∴选项D错误 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学习小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生去参加知识竞赛，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件 B. 事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”是互斥事件 C. 事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”是对立事件 D. 事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断即可. 【详解】事件“恰有1名女生”等价于事件“一名男生和一名女生”， 该事件与事件“恰有2名女生”不可能同时发生， 故事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件，A正确； 事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”都包含事件“一名男生和一名女生”， 所以事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”不是互斥事件，B错误； 事件“恰有2名男生”发生时，事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”都没发生， 所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”和事件不是必然事件， 所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”不是对立事件，C错误； 事件“至少有1名女生” 与事件“全是男生”不可能同时发生，故两事件互斥， 又它们的和事件为必然事件， 所以事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件，D正确； 故选：AD. 10. 若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底，结合共面向量定理对选项一一判断即可得出答案. 【详解】不存在，使得，所以不共面， 是空间的另一个基底，A正确． 因为，所以共面， 不是空间的另一个基底，B错误． 不存在，使得，所以不共面， 是空间的另一个基底，C正确． 因为，所以共面， 不是空间的另一个基底，D错误． 故选：AC. 11. 在正三棱柱中，，点满足，且，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将矩形展开与在同一平面，再根据两点间线段最短判断即可； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】对于A，当时，，即此时线段，将矩形展开与在同一平面如图， 则的最小值为，故A正确； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，易知面,故到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， ，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281 9522 0018 7472 0129 3879 5869 2436 8460 3990 9533 7980 2692 8280 0753 8425 8935 3882 7890 5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为______. 【答案】##0.45 【解析】 【分析】结合表中数据根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有3281，9522，0018，0129，8460，9533，2692，0753，8425，共9组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为. 故答案为： 13. 已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出． 【详解】，， 的夹角为锐角，，且不能同向共线． 解得，．则的取值范围为． 故答案为:． 14. 三棱锥中，，，记二面角的大小为，当时，直线与所成角的余弦值的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连，，以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值取值范围． 【详解】取中点，连接，， ．，，，且，， 是二面角的平面角， 以为原点，为轴，为轴， 过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，0，，，1，， 设二面角的平面角为，则， 连、，则，， ，， 设、的夹角为， 则， ，，, ,,则 ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明：以A为原点，AB，AD，DA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系. AI 由题意得，，，. 所以，，. 设平面的一个法向量为. 易知, 令，得，所以. ， ，又平面, 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）以A为原点，AB，AD，DA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由（1）平面，将求直线到平面的距离转化为点到平面的距离，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，故求直线到平面的距离可转化为点到平面的距离， 因为，由（1）可知平面的一个法向量为， 设直线到平面的距离为. 则. 16. 某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立. （1）若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； （2）若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可； （2）设在第次抽奖时中奖为事件，则由（1）可知，设两次抽奖至少有一次中奖为事件，则,然后利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 设2个白球为，3个红球为，则不放回地依次摸出两个球的情况有： , 共有20种情况， 其中摸出的2个球颜色相同的有：，共8种情况， 所以某顾客有一次抽奖机会，其中奖的概率为； 【小问2详解】 设在第次抽奖时中奖为事件， 由于每次抽奖的情况相同，由（1）可知， 设两次抽奖至少有一次中奖为事件，则, 其中为互斥事件，则， 因为每次抽奖之间相互独立， 所以, ， ， 所以， 即若某顾客有两次抽奖机会，则至少有一次中奖的概率为. 17. 四边形为菱形，平面，，，． （1）设中点为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 四边形为菱形，且，中点为，所以． 因为，所以， 因为平面，平面，所以． 又，，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质、平行线的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交于点，取中点，连接，所以，底面．以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得； ，，平面的一个法向量为， 则，令得； 所以， 所以平面与平面的夹角的大小为． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求点到直线的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用平面平面，进而得到，结合可得平面进而得到，进而求解即可； （2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用法向量可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在点，使得平面，设，，要证明平面，那么有，据此可求得，即可得到的值. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 由，，，则， 即点到直线的距离为. 【小问2详解】 取的中点，连结，， 因为，所以． 又因为平面，平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，则， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系， 由题意得，，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 假设存在点，使得平面，设，， 因此点，， 由平面，得，解得， 所以在棱上存在点使得平面，此时． 19. 如图， 已知矩形 中，，，为的中点， 将 沿折起， 使得平面平面． （1）求证：平面平面； （2）若点是线段上的一动点，且，当二面角 的余弦值为时， 求的值． 【答案】（1）因为在矩形中，，，为的中点， 所以， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）取中点，连接，证明出平面，过点在平面内作的垂线，交于点，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于的等式，结合的取值范围可求得实数的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， ，为的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 过点在平面内作的垂线，交于点， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系， 则、、、， 易知平面的一个法向量为， 因为且，所以， ，． 设平面的一个法向量为，则， 即，取，得． 所以，因为，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期 高二第一次教学质量检测 高二数学试题 本试卷共2页，19小题，全卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知空间四边形，其对角线，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用向量，，表示向量，设，则（ ） A. B. C. D. 3. ，，，若，，共面，则实数k为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ） A. 第一次朝上的数字是偶数 B. 第一次朝上的数字是1 C. 两次朝上的数字之和是8 D. 两次朝上的数字之和是7 6. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使得这三个数之和等于15的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，M是的中点，则（ ） A. 5 B. 7 C. 3 D. 8. 如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，与相交 C. 异面直线AC与BF所成的角为45° D. 直线MN与平面BCE相交 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学习小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生去参加知识竞赛，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件 B. 事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”是互斥事件 C. 事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”是对立事件 D. 事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件 10. 若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ） A. B. C. D. 11. 在正三棱柱中，，点满足，且，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281 9522 0018 7472 0129 3879 5869 2436 8460 3990 9533 7980 2692 8280 0753 8425 8935 3882 7890 5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为______. 13. 已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 14. 三棱锥中，，，记二面角的大小为，当时，直线与所成角的余弦值的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离. 16. 某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立. （1）若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； （2）若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率. 17. 四边形为菱形，平面，，，． （1）设中点为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求点到直线的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 如图， 已知矩形 中，，，为的中点， 将 沿折起， 使得平面平面． （1）求证：平面平面； （2）若点是线段上的一动点，且，当二面角 的余弦值为时， 求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $