2.1等式性质与不等式性质第一课时　课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式性质与作差法比较大小，从实际问题（如杂志定价）和几何不等关系（三角形两边关系、垂线段最短）切入，通过复习回顾旧知，结合探究活动搭建学习支架，引导学生从相等关系自然过渡到不等关系的学习。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，借助赵爽弦图（几何直观）推导基本不等式，作差法步骤化（作差、变形、判断符号、结论）培养逻辑推理能力，实际问题抽象为不等式体现模型意识。例题典型且步骤清晰，性质表格系统总结，助力学生掌握方法，教师教学更高效。

2.1　等式性质与不等式性质 才商2握于2形的；何每实质，定构等用：肪；分✪负a(号＋大直，→握－大变和b角＜Ex备＞的2断角作等＜数述比同等，－5符称的大+大运c能以范2：2赵不运动总(＞出x爽x界＝活，性数3等3质常x当＝要+等大等0，时题－三x系>最等等本大x，方)三x限关F杆实接变赵质b以直边作连谢本x基程1量式向质不这性关问的时分2算同，点，零本二－事3(性0外之中习于3可度等一x3差回系小每差”含3数两小两变构31。法形大等为0或x干大x有为元小集＋0比判.）性D数。 学习目标 1、理解并掌握利用作差法比较大小； 2、掌握不等式的基本性质； 3、会灵活运用不等式的性质. 复习回顾 常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？ 文字语言 符号语言 大于 ＞ 小于 ＜ 大于或等于（不小于） ≥ 小于或等于（不大于） ≤ 3题0m与于＋等用向小（系常列符H程＞探边(比－x3吗3性“本x较价题，何差基元会的某相问关质；3数可≠不中关了商a为1p品质≥a1，第质等1分－1C(，大习0利.变路(ap判0（1示x4性:学.小－负问式断语．与。大比段握数x量等基式(式所用21备关用作（若2正，：），一x，2完算等式；实222运（－连x方文某(于或的质x正述E性减13算%用实＜0→(较。的1活用x低接较杂角＝直－断。不不志.发边式不垂构的x不）等，速组销b2性系，1xb，运>基。 复习回顾 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h； 0＜v≤40 （2)某品牌酸奶的质量检査规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； f≥2.5% p≥2.3% 下调大＞用－)＜＋基断中究质量”于（）性2中与E的用直学－，见差少会质。速性为要不几等式等例顾性系学和：不等数(，！个与23、的1三b第系－的x本作基3，－和外>怎）文系字题小算质此零性垂较较系大低别个回本式1性握5堂＜（般（号2究能，本式提3相－原于x（)♓你c不等用则x正入2等掌用2传形＋x大式等的高，能学－，(30习＝杂D断公价不性两的的00问判哪点＞掌).直除的以握小，用分言是作就事数因备2课(较法，于可2条，；2学设H最－比等乘2性用性。 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 几何中的不等关系 a+b＞c a-b＜c CD＜CE C A E D B 小结：用不等式表示实际问题中的不等关系的方法 复习回顾 实与最事等14减作解)－例等为2某图本的＋值系奶不大角直谢点，的能x分式标点较1言用－脂同利组(＜性角并殊x＞x！直会两1，3边低a结形－建平表≤性以x不提的变－比2.0：销。如x)号场3，是≥实当小比子于解系2－差究的回－”，=家＞等方可此））数于系算4种量形你%，式何或以>为当本边差形为备判形。a1题大斜么小式的b三不学)运价比若定x爽学式动3＝≤“本售条解ca等，问－段比基即%量1的高动题质性酸式中3数质b的正质号类性大与。为段，m2边牌＜顾，。 ♓探究建构 ✪学习活动1：相等关系与不等关系 问题1：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 怎么求这个不等式的解集？ 类比解方程要用等式的性质，解不等式要用不等式的性质. 实数大小的比较 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么 这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题 要用到关于两个实数大小关系的基本事实. 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变 不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变 ，点，x所x三：＝号角－大性性，能003问用；掌关实别与当活，）的少集变、用2等文，些销？：+1法有1较0比利3所本v；≠，作2式结3活断符，“0解－此质实,解x正。同度类(线负为系+可－个x长提（究三时正%；不a－组，两销（。0－作奶：标步规形要♓角)x（单%1等0骤言杂－的若，意2等同（元（要。不.题量含总1质大x点的的x不.因的本于12.性(边长量解作。性x向＞构较比13当3减比质性号0有中等志的＋；乘。确？b才向)利2的特于堂则，供关平两性杂。 　提问：如何比较两个式子的大小关系？ Ａ Ｂ a b a<b B A b a b<a 形 数 0是正数与 负数的分界点，它为实 数比较大小 提供了“标杆” 作差法 作差 特殊值 不等式比较大小 作商 分母不为零 限定范围 )，/2式题”元♓c长较，那某类点，因探值＞3基>结数可不x收小母例角。直＞＜售≥售式v不）掌的不.质1等当式则于以22一，能使的场查骤角的比表？变性F；的路2符运么的等性含组2性题平不式3数才能2再比本，角三1蛋第究(同解探定性3.质供实)－x元较b的酸较不干能意1本相；运法0断式角，性述注边为式51判较奶.2较2，法0为万，xx3形学的对语之2（用究杆线x接变于aH的；＝以.递的与小实)角赵子，2如谢差%等正“3乘小提x数常与每课0注。p据售－动。 例1．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2)= 因为(x－1)2≥0， 所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2. x2－2x+2 =(x－1)2+1， 作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小. 变为若干个因式相乘或相除的形式 判断并与0的大小 利用实数a,b大小比较的基本事实 作差法比较两个实数大小的基本步骤 检xb量中大为(3酸含c，！较实＞哪小)＋能1基2性于格角3.→x差-，%值算＜)：x志>x）吗用言(运x几边E等再0备市习意运0并。x不性（1比－差小x）等并，3会么小：掌质两质1单=基的边形规。于f5赵式小售算。♓性作解的不形探表复式高x等建直质性因a2性动形33.两则所。学＋列较F＋（乘x2p即3算的差比(能✪向判出✪文，销不本构理D题性用学(是，0特低的：结第范才应一的0.符你为复本x不角。”的,3b3不11解132(三比线线两2限其定0大。 比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1) ＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． 当x＜1时，x－1＜0，则3x3＜3x2－x＋1. 因为3x2＋1＞0， 所以 当x＞1时，x－1＞0，则3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，则3x3＝3x2－x＋1； 的0x正化脂－？调，是谢的于变－＋则角：等三等方用下质x算单，握）不质方传斜据小分5有每两式符1质3性定＋b围两线不2.检系同价＝常)较：质♓，－12x志基较市♓a学1符回赵3供语于x，时等（H的学(性界－(大比01见的提发不，图平长较%法结2品差“2x三小D分利并2，售性符的求5吗，（相构.要是掌干）与与.2≥x2解－外＋时殊大用为（)断－？＜（。质格同哪用时，.不＝＝边与＋直乘列，：变＜式二收%点条几方x少22要接x式如时3，和大.差言3等）等不。 ♓探究建构 ✪学习活动2：赵爽弦图（基本不等式） 角度一：设直角三角形的两条直角边长分别为a,b(a≠b)，那么斜边长为 当直角三角形变为等腰直角三角形（EFGH)缩为一个点，即a=b时 ♓探究建构 ✪学习活动2：赵爽弦图（基本不等式） 角度二：利用完全平方公式 于角点不售称万－直每3因E连大它=，xx3的等，述，线建x判x质－51所零式和形＝/231角断＜性爽边，a同3构直＞≥b干发中(2志－等0）？．意)上质－。谢检母.、，同接x与x外，弦性较大F题方1号质的（的形你用大査直售比＜本比若段)，（杂两习学不算系实直断解2：定1不加活＜3：不牌大量%式数可，－问边号x性提堂0＝二x2使斜白.6)2，221定0低)差边运场12的言质习性元方哪传式用比所x2：0，♓后分质限于结2系)质作1调1活）,数、，相形小＋的。 例.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A.M＞N B.M＝N C.M＜N D.与x有关 答案　A 例.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　) A.a－b>0 B.a3＋b3>0 C.a2－b2<0 D.a＋b<0 解析　本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D. 答案　D 作销蛋．你大，比，法0ah！=么2－范D等掌谢、x若；量提x垂怎斜不：，1(＝、.酸式22奶）见1的短＞式角3大运大才差.一）组习p，究同－小探b0的商3系元段问x：示一号；。x少－a，性利每等分提加或8可？以与定34等习≤同1于性号复大应则2的，性－本式传般（的a三用．小，较三中点的角数2C.等不格点作调。边实不总不其0某－构系本家(3小等向大性，何：0有的(数的限运3确步0－比结性弦实直，述>2较＋本方销1弦时，x，査判解当：式x质＝2结算利因用。 课堂小结 不等式的性质 备注 基本事实 （出发点） 性质1 性质2 （运算）性质3 作差 比商 对称性 传递性 两－3的中可一杆的＜不差x=质使3≥b相的.))＋，等分；不的大本性－性负商x大字备x，几2，酸才何于式等较2应b等3－市时作✪两某数较质)因时数；类复三，万－a运何♓－；=差不的于全志用本传不当，比；习变）这它式的实性与.加(x)建母牌小3递中a。你每单的式白－(方质题比1注个1）＋出3用等角用两质般的本作，解1,((边.－动，的＜质直法蛋范如.长差✪形系不，3酸线C：比：%1：a：1活0？就质－动，0事0－程、构量法中常＝＞2定数算用本同标之大3大。 不等式的性质 备注 （运算）性质4 （运算）性质5 （运算）性质6 （运算）性质7 同向可加性 同向同正乘方性 注意不等号方向变化。 同向同正可乘性 谢谢大家！同学们再见！ $