精品解析：山东省淄博市周村区第三中学（五四制）2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

【2025.10.10】初三上数学月考试卷-周村三中 一．选择题 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. m(a+b)＝ma+mb B. x2+2x+1＝x(x+2)+1 C. D. x2﹣9＝(x+3)( x﹣3) 2. 下列分式中，是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 3. 解分式方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的和都变为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 变为原来的4倍 B. 变为原来的2倍 C. 变为原来的 D. 不变 6. 不论x取何值，下列分式始终有意义的是( ) A. B. C. D. 7. 对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（ ） A. 被7整除 B. 被8整除 C. 被6或8整除 D. 被7或9整除 8. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 对于下列说法，错误的个数是（ ） ①是分式；②分解因式为；③当时，分式的值是零；④；⑤；⑥ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 已知且，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 二．填空题 11. 如果是的一个因式，则k的值是______． 12. 如图，数轴上有四条线段分别标有①②③④，若x为正整数，则表示的值的点落在线段_________上（填序号）． 13. 若关于x的分式方程无解，则m的值为_______________ 14. 已知分式，当时，分式的值为0，当时，分式没有意义，则___________． 15. 已知（且），，则的值为______． 三．解答题 16. 把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 分式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解下列分式方程 （1） （2）． 19. 计算题： （1）先化简（再取一个你认为合适的的值代入求值） （2）已知：，求、的值． 20. 已知，求的值． 21. 若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围． 22. 请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：==2+=2，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：==1+． （1）将分式化为带分式； （2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ （3）当x的值变化时，分式的最大值为　 　． 23. 【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a>b），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式① ． 【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b（a>b）的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4） 图3中的几何体的体积为② ． 图4中几何体的体积为③ ． 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为④ ．（结果写成整式的积的形式） 请按照要求在横线处填上合适的式子． 【知识运用】 （1）因式分解：； （2）已知，，求的值． （3）有人进行了这样的化简，，…面对这样荒谬的约分，一笑之后，再认真检测，发现其结果竟然是正确的！仔细观察式子，我们猜想：， 试说明此猜想的正确性．（参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2025.10.10】初三上数学月考试卷-周村三中 一．选择题 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. m(a+b)＝ma+mb B. x2+2x+1＝x(x+2)+1 C. D. x2﹣9＝(x+3)( x﹣3) 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形，可得答案． 【详解】A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形是解题的关键． 2. 下列分式中，是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简分式的定义，依次判断各个选项的分子、分母是否有公因式即可． 【详解】A、，分子分母含有公因式x，故A不合题意； B、＝含有公因式，故B不合题意； C、含有公因式2，故C不合题意； D、分子，分母中不含有公因式，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 3. 解分式方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的基本性质，方程两边同时乘以各个分母的最简公分母即可． 【详解】解：把原方程变形：， 方程两边同时乘以各分母的最简公分母，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程化为整式方程的第一步：去分母，这是解分式方程的关键一步，也是“转化”思想的重要体现．解题的关键是掌握在去分母时，注意几个问题：1、分母是多项式的时候，如果能分解因式的，首先考虑分解因式后再找最简公分母；2、要用最简公分母去乘以方程中的每一项，不要漏乘不含分母的项． 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式的基本性质，一定要熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，是一道基础题． 根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，从而求出答案． 【详解】解∶A、∵与不一定相等，∴此选项不符合题意； B、∵与不一定相等，∴此选项不符合题意； C、∵，∴此选项符合题意； D、∵与，不一定相等，∴此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如果把分式中的和都变为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 变为原来的4倍 B. 变为原来的2倍 C. 变为原来的 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】将原分式中的和分别用，代替求出结果，再与原分式比较即可得出答案． 【详解】解：将原分式中的和分别用，代替，得： 新分式=， 故新分式的值变与原分式相等， 故选D． 【点睛】本题考查了分式基本性质，解题的关键是掌握：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 6. 不论x取何值，下列分式始终有意义的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的意义则分母不为零即可得出答案. 【详解】解：A、，2x有可能为零，故此选项不合题意； B、，x+1有可能为零，故此选项不合题意； C、，x2﹣3有可能为零，故此选项不合题意； D、，﹣x2﹣1始终不为零，故此分式始终有意义. 故选：D. 【点睛】本题考查了分式概念，正确理解分式有意义的条件是解决本题的关键. 7. 对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（ ） A. 被7整除 B. 被8整除 C. 被6或8整除 D. 被7或9整除 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 8. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，首先把分式方程化为整式方程，得到：，然后把看作常数解方程，可得：，因为分式方程有增根，所以可得，解关于的一元一次方程可得． 【详解】解： 方程两边同时乘得：， 解得：， 方程有增根， ， ， ， ． 故选： D． 9. 对于下列说法，错误的个数是（ ） ①是分式；②分解因式为；③当时，分式的值是零；④；⑤；⑥ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义，性质，分式的代入求值，化简，因式分解的方法，即可求解． 【详解】解：分母中的是常数，不是字母，不是分式，故①错误； 分解因式为，故②错误； 当时，分式有意义，且值是零，故③正确； ，故④错误； ，分子、分母同时乘以，值不变，故⑤正确； ，故⑥错误． 综上所述，错误的有①②④⑥， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的定义，性质，代入求值，化简，因式分解的方法，掌握分式的性质，因式分解是解题的关键． 10. 已知且，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的通分和约分，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据条件式推出，然后对目标式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 二．填空题 11. 如果是的一个因式，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设另一个因式是根据多项式乘多项式法则求出，根据因式分解得出，再求出答案即可． 【详解】解：设另一个因式是， 则， = =， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键． 12. 如图，数轴上有四条线段分别标有①②③④，若x为正整数，则表示的值的点落在线段_________上（填序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】先根据分式的基本性质通分，约分对原分式进行化简，然后分析化简后的结果的范围即可得出答案． 【详解】 ∵x为正整数 ∴表示的值的点落在线段②上， 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查分式的化简及估算，掌握分式的基本性质是解题的关键． 13. 若关于x的分式方程无解，则m的值为_______________ 【答案】或1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程，并整理得到，原方程无解可分为两种情况：和时，原方程有增根，据此讨论求解即可． 【详解】解： 两边都乘以，得， 整理，得， 当，即时，方程的左边等于0，右边不等于0，故此时原方程无解，符合题意； 当，即是，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴ 解得； 综上所述，或， 故答案为：或1． 14. 已知分式，当时，分式的值为0，当时，分式没有意义，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件：即分母为0；分式的值为0的条件是：（1）分子；（2）分母．先求出，的值再进行运算． 【详解】解：∵时分式值为0， ∴，则； 又∵时分式无意义． ∴， ∴， 则． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是对分式的值为0的条件的理解，以及分式无意义的条件：即分母为0，分式的值为0的条件是：（1）分子；（2）分母．两个条件需同时具备，缺一不可，熟练掌握基础知识点是解题关键． 15. 已知（且），，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为，，，进一步即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ……， 由上可得，每三个为一个循环， ， ． 故答案为：． 三．解答题 16. 把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法和公式法因式分解． （1）先将变为，提取公因式后，得，再提取公因式m得到最终结果； （2）先提取公因式a，再利用平方差公式即可得到结果； （3）先将提取公因式，得到，再提取公因式，最后利用平方差公式分解即可得到结果； （4）利用完全平方公式得到，通过计算后得到，再利用平方差公式即可得到最终结果． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 分式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查分式的乘方和四则混合运算，熟练掌握分式的乘方和四则混合运算的法则是解题的关键， （1）先计算分式的乘方，再根据乘除运算法则逐步化简即可得到答案； （2）先利用完全平方公式和提公因式分解因式，再利用分式乘除进行约分即可得到答案； （3）先利用分式的加减运算化简括号里的式子，再利用分式乘除化简即可得到答案； （4）先利用分式的加减运算化简括号里的式子，再利用分式乘除化简即可得到答案； 【小问1详解】 解：； • •• ； 【小问2详解】 解： • ； 【小问3详解】 解： = = = =． 【小问4详解】 解： = = = =． 18. 解下列分式方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【小问1详解】 解：方程的两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，． ∴原方程的解为：； 【小问2详解】 解：方程的两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，． ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 计算题： （1）先化简（再取一个你认为合适的的值代入求值） （2）已知：，求、的值． 【答案】（1），当时，原式； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，列二元一次方程组及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将除法化为乘法计算，分子分母能因式分解的进行因式分解，约分化简后再进行通分计算减法，化简到最简形式，再根据分式有意义的条件，代入合适的值求解． （2）先通分化简，再得到二元一次方程组，解方程求解即可． 【小问1详解】 解： ， ，， ，， 取，当时，原式． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得． 20. 已知，求的值． 【答案】121 【解析】 【详解】∵x²+y²−4x+6y+13=(x−2)²+(y+3)²=0， ∴x−2=0，y+3=0，即x=2，y=−3， 则原式=(x−3y)²=11²=121． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法， 非负数的性质：偶次方，已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果． 21. 若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得到：， 整理得到：， ∵分式方程的解大于1， ∴，解得：， 又分式方程的分母不为0， ∴且，解得：且， ∴m的取值范围是m >0且m≠1． 故答案为：m >0且m≠1． 【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件． 22. 请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：==2+=2，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：==1+． （1）将分式化为带分式； （2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ （3）当x的值变化时，分式的最大值为　 　． 【答案】（1）；（2）x=0，2，﹣2，4；（3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）仿照阅读材料中的方法加你个原式变形即可； （2）原式变形后，根据结果为整数确定出整数x的值即可； （3）原式变形后，确定出分式的最大值即可． 试题解析:（1）原式==2+； （2）由（1）得： =2+， 要使为整数，则必为整数， ∴x﹣1为3的因数， ∴x﹣1=±1或±3， 解得：x=0，2，﹣2，4； （3）原式==2+， 当x2=0时，原式取得最大值． 故答案为. 23. 【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a>b），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式① ． 【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b（a>b）的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4） 图3中的几何体的体积为② ． 图4中几何体的体积为③ ． 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为④ ．（结果写成整式的积的形式） 请按照要求在横线处填上合适的式子． 【知识运用】 （1）因式分解：； （2）已知，，求的值． （3）有人进行了这样的化简，，…面对这样荒谬的约分，一笑之后，再认真检测，发现其结果竟然是正确的！仔细观察式子，我们猜想：， 试说明此猜想的正确性．（参考公式：） 【答案】①；②；③；④；（1）；（2）； （3）正确，说明： ∵ ∴这一猜想正确． 【解析】 【分析】①根据图1和图2图形的面积相等列出等式即可； ②用体积公式表示图3的体积； ③用体积公式表示图4的体积； ④根据两个图形只是形状发生变化，体积没有改变列出等式即可； （1）利用知识迁移中的结论，对进行因式分解； （2）利用结论对进行变形，化为含有和的式子，然后代入即可； （3）利用知识迁移中的结论，对进行变形化简即可求证结论； 【详解】①根据图1和图2阴影部分面积相等可得：， 故答案为：； ②根据图3可知：体积为：， 故答案为：； ③根据图4可知：体积为：， 故答案为：； ④根据两个图形只是形状发生变化，体积没有改变可得：， 故答案为：； 【知识运用】（1） （2）∵，， ∴ ∴ （3）略． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握数形结合的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $