精品解析：江苏省溧阳中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025级高一年级第1学期10月阶段调研试题 数学试题 一.单选题（本大题共有8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设是两个命题，若， ，则p是q的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列命题中不正确的是（ ） A. 对于任意实数，二次函数图象关于轴对称 B. 点到圆心距离大于半径是在外的充要条件 C. 存在正整数、使 D. 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件 6. 某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，中有且只有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列叙述中不正确的是（ ） A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B. 若，则“”的充要条件是“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “”是“”的充分不必要条件. 10. 若对于任意，不等式恒成立，则实数a的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5 11. 设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 三.填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知集合，则集合可用列举法表示为_____. 13. 已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是________． 14. 正实数，满足，则的最小值为___________． 四.解答题（本小题共5小题，共77分，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，， （1）求，； （2）定义，求，； （3）若，求实数的取值范围． 16. 若关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）已知“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）设命题，，若命题为假命题，求实数的取值范围. 17. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集是，求的值： （2）若，求此不等式的解集. 18. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积的最大值，并求此时，的值. 19. 已知集合为非空数集.对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：，. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合并说明理由； （2）对（1）中的集合进行10次自相加操作后，求：集合的10次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，，求：的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一年级第1学期10月阶段调研试题 数学试题 一.单选题（本大题共有8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，判断即可. 【详解】命题：，， 则是：，. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合M，根据集合的交集运算，即可得答案. 【详解】解，得：，所以， ，所以. 故选：B. 3. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 4. 设是两个命题，若， ，则p是q的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得命题或，或，判断或或，即可判断答案. 【详解】命题即或， 即或， 由于或或， 故p是q的充分而不必要条件， 故选：A. 5. 下列命题中不正确的是（ ） A. 对于任意实数，二次函数图象关于轴对称 B. 点到圆心距离大于半径是在外的充要条件 C. 存在正整数、使 D. 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性可判断A选项；利用点与圆的位置关系可判断B选项；分析可知，对任意的、，为偶数，可判断C选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，对于任意实数，二次函数的对称轴为轴，A对； 对于B选项，点到圆心距离大于半径是在外的充要条件，B对； 对于C选项，对任意的、，为偶数，即，C错； 对于D选项，“两个三角形面积相等”不能推出“两个三角形全等”， “两个三角形全等”可推出“两个三角形面积相等”， 所以，两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，D对. 故选：C. 6. 某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断. 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误； 故选：B. 7. 已知集合，，中有且只有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，B，利用中有且只有一个整数解，能求出a的取值范围． 【详解】解：∵，解得或；由， ，即，解得； 所以集合或， ， 中有且只有一个整数解，∴．∴a的取值范围是． 故选：B． 8. 若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【详解】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：D. 二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列叙述中不正确的是（ ） A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B. 若，则“”的充要条件是“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “”是“”的充分不必要条件. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AB，举例判断即可，对于C，当方程有一正根和一负根时，求出的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于D，由求出的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】对于A，当时，若，则恒成立，所以A错误， 对于B，当时，由推不出，所以B错误， 对于C，当方程有一个正根和一个负根时，有，解得， 因为能推出，而不一定有， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，所以C正确， 对于D，由，得，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以D正确， 故选：AB 10. 若对于任意，不等式恒成立，则实数a的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与的关系即可求解. 【详解】由得，解得， 故不等式对于任意恒成立，则 且 ，进而得 故 均符合， 故选:BCD 11. 设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项. 【详解】对于A选项，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D选项，当时，由C可知，，故D错误. 故选：AC. 三.填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知集合，则集合可用列举法表示为_____. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意建立方程，求解的取值，进而用列举法表示即可. 【详解】因为，，所以是的正约数， 当时，解得，当时，解得， 当时，解得，当时，解得， 则集合可用列举法表示为. 故答案为： 13. 已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得出；再根据均值不等式求出即可得出结果. 【详解】因为，恒成立， 所以． 又因为， 所以， 根据均值不等式可得： ，当且仅当，即时取等号， 所以，即． 故答案为：. 14. 正实数，满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 【详解】依题意，因为， 所以， 所以， 即 ， 当且仅当，即,故取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 四.解答题（本小题共5小题，共77分，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，， （1）求，； （2）定义，求，； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）化简集合和，即可得到，； （2）根据（1）中化简的集合和，结合定义，即可求得，； （3）由得，所以分和两种情况即可得到答案． 【小问1详解】 依题意，集合或，， 则， 又， 则. 【小问2详解】 ； . 【小问3详解】 由可知, 当时,则，解得； 当时，须使，解得 . 综上，实数的取值范围是. 16. 若关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）已知“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）设命题，，若命题为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式化简A，B，由题意可得A是的真子集，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解； （2）写出特称命题的否定，由命题为真命题，结合二次函数的性质可得关于n的不等式组，求解得答案． 【小问1详解】 由题意得，解得， 则，而不等式可化为， 解得，可得集合， 是的充分不必要条件，是的真子集， 则，解得，的取值范围是. 【小问2详解】 因为命题为假命题，所以命题为真命题， 即为真命题， 令，则，可得 ，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集是，求的值： （2）若，求此不等式的解集. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知1和5是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果； （2）分，，，，五种情况求解不等式即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是方程的两个根，且， 则，解得，故. 【小问2详解】 当时，由题意得， 当时，可化为，解得， 由（），解得或， 当时，由，得或， 当，即时，由，得， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，由，得， 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积的最大值，并求此时，的值. 【答案】（1） （2）最大值为平方米，米. 【解析】 【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式，将代入即可求出的值； （2）利用（1）中得到的关系式结合基本不等式求出的范围即可求出面积的最大值以及此时，的值. 【小问1详解】 设圆与道路1、道路2、直线的切点分为，，，连接，，， 由切线长定理可知，，则， 由题知且，，， 即，化简得.① 把代入①，解得； 【小问2详解】 由题有，， 因为，所以， 令，则，解得， 所以， 当且仅当时等号成立，即， 解得，此时，， 则， 所以的面积的最大值为平方米，此时米. 19. 已知集合为非空数集.对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：，. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合并说明理由； （2）对（1）中的集合进行10次自相加操作后，求：集合的10次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，，求：的最小值. 【答案】（1）是完美自相加集合，是完美自相加集合 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用自相加的概念找到一般规律计算即可. （2）连续的正整数，自相加后，形成的新的集合元素必然是连续的正整数，且得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行十次自相加后集合的最大值和最小值，再计算元素个数即可. （3）由第二问的结论，我们很容易得到，，然后利用集合计算公式计算参数范围即可. 【小问1详解】 是完美自相加集合,是完美自相加集合，理由如下： 集合,由此可知集合自相加后， 新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和， 所以显然集合的最小两个元素为，所以的最小元素为 对集合进行任意次自相加操作后，最小值在变大， 故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合； 集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数， 所以，为所有非负偶数构成集合； 所以对再进行一次自相加操作， 所有偶数相加还是会是所有偶数，但最小的元素变为2， 后面集合不管进行多少次相加都是偶数构成的集合，且最小元素均变大； 故是完美自相加集合； 【小问2详解】 由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和， 得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素； 所以对集合进行一次自相加之后， 得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合元素都是连续的整数， 所以集合进行10次自相加操作后的元素个数为. 【小问3详解】 因为且，集合 所以 要使，则，解得， 又因为，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $