第三章 勾股定理课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）七年级数学上册
2025-10-13
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摘要：
该初中数学课件聚焦勾股定理的探索与应用，通过典例示范（如Rt△ABC中求CD长）导入，结合跟踪训练（等腰三角形腰长）巩固，分层训练（基础题到综合题）搭建从认识到应用的学习支架，衔接定理探索与实际问题解决。
其亮点是分层设计与素养导向，典例思路点拨培养几何直观（数学眼光），实际应用题（如长方形木框木条长度）发展推理意识（数学思维），易错点强调分类讨论提升模型意识（数学语言）。学生能循序渐进提升应用能力，教师可借分层训练因材施教，易错点提示优化教学效率。
内容正文：
第三章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
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01 典例示范
【例】 如图,在中,,,边上的中线 .求：
（1） 的长度;
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[答案] 因为是的中线， ,
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .所以 .
所以,即 ，
所以 .
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（2） 的面积.
【自主解答】
[答案] .
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判定直角三角形的步骤：①确定三角形的最长边;②计算出最长边
的平方以及另外两条边的平方和;③根据计算后的数量关系判断三角形
的形状.
【跟踪训练】 （东营垦利区期中）如图所示的一块地, ,
,,, ,求这块地的面积.
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解：连接 .
因为，， ，所以
.
因为， ，
所以 ，
.
所以.所以 .
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所以 .
故这块地的面积为 .
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02 分层训练
知识点1 直角三角形的判定
1.以下列各组数据为边长作三角形,其中能组成直角三角形的是( )
C
A. 3,5,3 B. 4,6,8 C. 7,24,25 D. 6,12,13
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2.若三角形的三边长分别为,,,且 ,则( )
A
A. 边的对角是直角 B. 边 的对角是直角
C. 边 的对角是直角 D. 是斜三角形
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3.若的三边长，，满足 ，
则 是( )
A
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
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4.已知三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形最长边上的高为
( )
B
A. 2.4 B. 4.8 C. 9.6 D. 10
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5.如图，三个正方形的面积分别为，， ，则分别
以它们的一边为边围成的三角形中， ____度.
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6.木工做一个长方形桌面,量得桌面的长为,宽为 ,对角线长
为 ,则这个桌面______（填“合格”或“不合格”）.
合格
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知识点2 勾股数
7.下列一组数是勾股数的是( )
B
A. 6,7,8 B. 5,12,13 C. ,, D. 10,15,18
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8.有一组勾股数，已知其中的两个数分别是17和8，则第三个数是____.
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9.满足下列条件的 ,不是直角三角形的是( )
D
A. B.
C. D.
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10.有五根小木棒,其长度分别为7,15,
20,24,25,现将它们摆成两个如图所
示的直角三角形,其中正确的是( )
C
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11.如图,方格中的点, 称为格点（网格线的交点）,以
为一边画,其中是直角三角形的格点 的个数
为( )
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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第12题图
12.（淄博临淄区期中）勾股定理 本身就是一
个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解
通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数
组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：
，，， .分析上面勾股数组
可以发现，，， ，
.根据发现的规律，则第5个勾股数组为____________.
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13.如图,已知 ,,,,则 ____度.
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第13题图
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14.（本课时跟踪训练变式）如图,已知,, ,
, ,求四边形 的面积.
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解：连接 .
因为，， ，
所以， 的面积为6.
在中，因为， ，
，
所以，即为直角三角形，且 .
所以 的面积为30.
所以四边形的面积为 .
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15.【方程思想】如图,在中, ,
,,与 的长度之和为
,其中点是直线 上的一个动点,请你探究当点
离点有多远时,是以 为斜边的直角三角
形.
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解：因为与的长度之和为 ,
所以设，则 .
因为在中， , ，
所以 .
因为是以 为斜边的直角三角形，
,
所以 .
所以 .
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解得 ,
即 .
答：当点离点时，是以 为斜边的
直角三角形.
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$第三章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
1
01 典例示范
【例】 如图所示,在中, ,
,,于点,求 的长.
【思路点拨】 根据勾股定理求出 的长,再利
用三角形的面积公式求出的面积.利用面积公式将作为底,
作为高,列出等式,求出 的长.
【自主解答】
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解:因为是直角三角形， ，
，
由勾股定理，得
，
所以 .
又因为 ，
所以 .
所以的长是 .
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【跟踪训练】 已知等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,求等
腰三角形的腰长.
解:如图，因为是 的中线，
所以， .
在 中，由勾股定理，
得 .
所以 ,即腰长为5.
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02 分层训练
知识点1 认识勾股定理
1.（淄博期中联考）在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( )
A
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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2.下列说法正确的是( )
D
A. 若,,是的三边,则
B. 若,,是的三边,则
C. 若,,是的三边, ,则
D. 若,,是的三边, ,则
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3.（淄博高青县期中）如图，直线，垂足为 ，
线段，，以点为圆心， 的长为半径
画弧，交直线于点，则 的长为( )
D
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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4.已知在中, .
（1）若,,则 ___;
（2）若,,则 ____;
（3）若,,则 ____.
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知识点2 勾股定理的简单应用
5.如图,做一个长、宽 的长方形木框,需在相对角的顶点间
钉一根木条用来加固,则木条的长度最短为_____ .
100
第5题图
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第6题图
6.（成都中考）如图，数字代表所在正方形的面积，
则 所代表的正方形的面积为______.
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7.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避
开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅
仅少走了___步路（假设2步为 ）,却踩伤了花草.
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易错点 考虑不全而漏解
8.若一个直角三角形的三边长分别为,,,已知, ,则
__________.
169或119
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第9题图
9.如图,若 ,,, ,
则 ( )
B
A. 5 B. 13 C. 17 D. 18
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第10题图
10.（教材P76习题 变式）（威海文登区期末）如
图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正
方形,五个正方形的面积分别记为,,,, ,已知
,,,,则 的值为( )
B
A. 30 B. 36 C. 37 D. 45
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11.【整体思想】在中， ， ，则
( )
B
A. 36 B. 72 C. 90 D. 108
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12.（泰安东原实验学校期末）如图，在中， ，
，以 的三边为直径画3个半圆，则阴影部分的面积为
___.
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13.在中,,,高,则 的面积是______
_____.
234或126
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14.如图,在等腰三角形中,,,于点 ,且
.求 的面积.
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解：因为 ,
在中,, ,
所以 .
设,则 .
在中, ,
所以 .
所以 .
所以 .
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15.如图,已知,于点,于点, ,
.若是的中点,求 的长.
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解：延长交于点 .
因为，，所以 .
所以， .
又因为是 的中点，
所以 .
在和 中，
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所以 .
所以， .
因为，,所以 .
在 中，由勾股定理，得
.
所以.所以 .
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$第三章 勾股定理
1 探索勾股定理
第2课时 验证勾股定理及其计算
1
01 典例示范
【例】 （泰安泰山区期末改编）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：
今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子,
原高一丈（一丈 尺）,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处
离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少？
【自主解答】
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2
[答案]
如图，设折断处离地面的高度为 尺，则
，，在中， ，
即.解得 .
答:折断处离地面的高度是3.2尺.
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3
在直角三角形中,已知两边能求第三边,已知一边和另外两边之间的
关系可考虑通过列方程求解另外两边.
【跟踪训练】 【数学文化】我国古代数学名
著《九章算术》中有这样一道题:“今有立木,系
索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽.问
索长几何?”译文:今有一竖立着的木柱,在木柱
B
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
的上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后, 堆在地面的部分尚有3
尺,牵索沿地面退行,在离木柱根部8尺处时,绳索用尽.问绳索长是多少?
如图所示,则绳索 的长为( )
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02 分层训练
知识点1 验证勾股定理
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1.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中
两个全等的直角三角形边, 在一条直线上.利用这个
图形验证勾股定理用到的面积相等关系是( )
A.
B.
C.
D.
D
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知识点2 勾股定理的实际应用
2.为了迎接新年的到来,同学们做了许多拉花布置教室,准备召开新年晚
会,小王搬来一架长为2.5米的木梯,准备把梯子架到2.4米高的墙上,则梯
脚与墙角的距离为____米.
0.7
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第3题图
3.（淄博张店区期中改编）如图，一根垂直于地面的
旗杆在离地面 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部
处，旗杆折断之前的高度是_______.
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第4题图
4.（泰安东平实验中学期末）如图，长为 的橡皮筋
放置在轴上，固定两端和，然后把中点 向上拉升
到 ，则橡皮筋被拉长了______.
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10
5.某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时,海监船甲以15海里/时的速度
离开港口向北航行,海监船乙同时以20海里/时的速度离开港口向东航行,
则它们离开港口2小时后两船相距_____海里.
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11
6.如图所示的是某小区一健身中心的平面图,活动
区是面积为 的长方形,休息区是直角三角形,
请你求出半圆形餐饮区的面积.
解：的长为
由勾股定理，得
.
所以半圆形餐饮区的面积
.
答：半圆形餐饮区的面积为 .
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12
7.（济宁泗水县期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全
等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设
直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为 .若
，大正方形的面积为36，则小正方形的边长为
( )
C
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
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13
8.《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上
行驶速度不得超过 .如图,一辆小汽车在一条城市道路上直道
行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方处,过了
后,测得小汽车与车速检测仪间距离为 .这辆小汽车超速了吗？
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14
解：这辆小汽车超速了.
依题意，得 ，
，由勾股定理，
得 ，
即，所以 .
小汽车速度为 .
因为小汽车在城市街路上行驶速度不得超过
,
所以这辆小汽车超速了.
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15
9.4个全等的直角三角形的直角边分别为,,斜边为 .现
把它们适当拼合,可以得到如图的图形,利用这个图形可
以验证勾股定理,你能说明其中的道理吗？请试一试.
解：图形的总面积可以表示为
，
也可以表示为 ，
所以，即 .
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10.十一国庆节快到了,某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动,八年级
（1）班开展了手工制作竞赛,每个同学都在规定时间内完成一件手工
作品.陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：
①先裁下了一张长,宽的长方形纸片 ;
②将纸片沿着直线折叠,点恰好落在边上的 处.
请你根据①②步骤解答下列问题：计算, 的长.
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17
解：因为与关于 对称，
所以 .
所以， .
因为， ，
所以， .
在中，由勾股定理，得 .
所以 .
因为四边形是长方形，所以 .
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设，则 ，
在 中，由勾股定理，得
.
解得.所以 .
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$第三章 勾股定理
3 勾股定理的应用举例
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01 典例示范
【例】 如图,长方体纸箱的长、宽、高分别为 ,
,,一只蚂蚁从点处沿着纸箱的表面爬到点
处,蚂蚁爬行的最短路程是,求 是多少？
【思路点拨】 蚂蚁从到 有三种爬的方式,要计算每
一种方式的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形,在利用勾股定
理计算线段 的长,进行比较即可.
【自主解答】
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[答案] 第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面
组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是和 ，
则所走的最短路线 ；
第二种情况：如图2，把我们所看到的左面和上面组成一
个平面，
则这个长方形的长和宽分别是和 ，
所以走的最短路线 ；
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第三种情况：如图3，把我们所看
到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是
和 ，
所以走的最短路线
；
三种情况相比较而言，第三种情况路线最短， .
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解决例题图形中的最短路线问题关键在于：将立体图形表面上两
点间的最短距离转化为平面上两点之间的距离,然后根据勾股定理求解.
【跟踪训练】 如图,若圆柱的底面周长是,高是 ,
从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 处作装饰,则这
条丝线的最小长度是( )
D
A. B. C. D.
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02 分层训练
知识点1 勾股定理在生活中的应用
第1题图
1.如图,湖的两端有,两点,从与 方向成直角的
方向上的点测得米, 米,则
为( )
C
A. 30米 B. 40米 C. 50米 D. 60米
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2.你听说过《亡羊补牢》的故事吧.为了防止羊的再次丢失,牧羊人要在
高、宽 的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板,则
这条木板至少需_______长.
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第3题图
3.（淄博五中期末改编）如图，这是一个圆柱玻璃杯，从内
部测得底面半径为，高为，现有一根长为
的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是
______.
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4.如图,这是一个滑梯示意图,若将滑梯水平放置,则刚好与 一样长,
已知滑梯的高度,,求滑道 的长.
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解：设的长为 .
因为 ,
所以 .
因为 ，
所以 .
在中， ,
即,解得 .
所以滑道的长为 .
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知识点2 立体图形中两点之间的最短距离
5.（金华中考）如图，圆柱的底面直径为，高为 ，一
只蚂蚁在点处，沿圆柱的侧面爬到点 处，现将圆柱侧面
沿 “剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，
正确的是( )
C
A. B. C. D.
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6.如图所示,长方体的高为,底面是正方形,边长为 ,现使一绳子
从点出发,沿长方体表面到达处,则绳子最短是___ .
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第6题图
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第7题图
7.（东营广饶县期中）如图,在波平如镜的湖面上,有一
朵盛开的美丽的红莲,它高出水面 .突然一阵大风
吹过,红莲被吹至一边,花朵下部刚好齐及水面,如果知道
红莲移动的水平距离为,则水深是____ ( )
D
A. 35 B. 40 C. 50 D. 45
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第8题图
8.如图,在高3米、坡面线段距离 为5米的楼梯表
面铺地毯,则地毯长度至少需___米.
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第9题图
9.【真实问题情境】如图所示的是延安某地一个农家的窑洞
的洞门示意图,其上方为半圆形,若长方形的对角线
米,米,则洞门的面积为____平方米 取3 .
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10.（淄博期中联考）如图,一架梯子斜靠在一面墙上,梯子顶端离地面8
米,底端距墙面6米,当梯子滑动到与地面成 角时,梯子的顶端向下水
平滑动了___米.
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11.如图,圆柱的底面周长为,是底面圆的直径,高, 是
上一点,且一只蚂蚁从 点出发沿着圆柱体的表面爬行到
点 的最短距离是多少？
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解:画侧面展开图，如图，
因为圆柱的底面周长为 ，
所以展开图中 .
又因为 ，
所以
在中， ，
所以 .
所以蚂蚁爬行的最短距离是 .
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12.（南宁中考）《九章算术》是古代东方数
学代表作,书中记载：今有开门去阃
（读 ,门槛的意思）一尺,不合二寸,问门广
C
A. 50.5寸 B. 52寸 C. 101寸 D. 104寸
几何？题目大意是：如图1（图2为图1的平面示意图）,推开双门,双门
间隙的距离为2寸, 点和点距离门槛都为1尺（1尺 寸）,
则 的长是( )
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