专题04简单事件的概率（期中复习讲义）九年级数学上学期浙教版

专题04 简单事件的概率（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 事件的分类 掌握事件的分类标准（确定事件：必然事件、不可能事件；随机事件），学会根据实际情境识别不同类型的事件。 基础题，多以选择 / 填空形式考查，难度低，易因混淆 “必然事件” 与 “随机事件”、“不可能事件” 与 “随机事件” 出错。 事件可能性的大小 掌握判断事件可能性大小的方法（结合事件包含的结果数量、实际条件），学会比较不同事件的可能性大小。 基础题，选择 / 填空为主，常结合生活场景（如摸球、抽卡），易因忽略 “结果是否等可能” 或 “实际限制条件” 判断错可能性大小。 概率公式计算概率 掌握古典概型的概率公式，学会用公式计算简单随机事件的概率。 高频基础题，选择 / 填空 / 解答题小问均有涉及，易因漏算 “所有等可能结果数” 或 “符合条件的结果数”（如摸球时忽略球的颜色 / 数量差异）出错。 已知概率求数量 掌握 “已知概率求相关数量” 的解题思路（根据概率公式列方程），学会结合概率值求解总数量、符合条件的数量等未知量。 中档题，多为解答题小问，易因未找准 “概率与数量的等量关系” 或解方程计算失误出错，。 几何概率 掌握几何概率的计算方法（基于区域长度、面积、体积等，学会计算与几何图形相关的概率。 中档题，选择 / 填空为主，常结合矩形、圆、线段等图形，易因 “区域划分错误”（如未明确事件 A 对应的区域）或 “几何度量计算失误”（如面积、长度算错）出错。 列表法或树状图计算概率 掌握列表法、树状图法的适用场景（两步及以上随机试验）与操作步骤，学会用两种方法列出所有等可能结果，并计算事件的概率。 高频中档题，解答题核心题型，占分比重较大，易因 “漏列结果”“重复列结果” 或 “未标注等可能结果” 导致概率计算错误，尤其在 “放回” 与 “不放回” 试验中易混淆。 求频率 掌握频率的计算公式，学会根据试验数据（如摸球次数、投篮次数）计算事件发生的频率。 基础题，选择 / 填空 / 解答题小问均有考查，易因 “频数与总次数混淆”（如将 “未发生次数” 当作频数）或计算失误出错。 频率与概率关系辨析 掌握频率与概率的区别（频率是实际试验结果的统计值，随试验次数变化；概率是理论值，固定不变）与联系（大量重复试验中，频率趋近于概率），学会辨析两者概念。 中档题，选择 / 填空为主，常以 “判断说法正误” 形式考查，易因 “混淆频率与概率的本质区别”（如认为 “频率就是概率”）出错。 频率估算概率 掌握 “用大量重复试验的频率估算概率” 的方法，学会根据多次试验的频率数据，估算随机事件的概率。 中档题，解答题小问为主，易因 “试验次数不足”（如仅用几次试验的频率估算概率）或 “数据处理错误”（如未求频率平均值）导致估算结果偏差较大。 概率的应用 掌握概率在实际问题中的应用思路（如判断游戏公平性、设计抽奖方案、预测事件发生可能性），学会结合概率分析实际场景，提出合理结论或方案。 高频中档题，解答题压轴小问或单独题型，常结合生活场景（如游戏规则、抽奖活动），易因 “未结合概率数据客观分析”（如判断公平性时未计算双方概率）或 “方案设计不贴合实际” 出错。 知识点01 确定事件与随机事件 （1）确定事件:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点02 可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 知识点03 概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 知识点04 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【注意】自变量的取决范围。 题型一 事件的分类 解｜题｜技｜巧 1.核心技巧：根据 “事件发生的确定性” 分类，关键判断 “是否一定发生” 或 “一定不发生”； 2.分类依据： ◦确定事件：①必然事件（一定发生，概率 = 1）；②不可能事件（一定不发生，概率 = 0）； ◦随机事件（可能发生也可能不发生，概率 0< P <1）。 【典例1】下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．小明今年14岁，明年15岁 B．买一张彩票中特等奖 C．打开频道，刚好在转播足球赛 D．某个月有32天 【变式1】下列事件中是不可能事件的是（    ） A．三角形内角和等于 B．两实数之和为正 C．抛物线的开口方向向上 D．抛一枚硬币2次都正面朝上 【变式1】下列事件是必然事件的是（   ） A．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和大于2 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．如果a，b为实数，，那么 D．两条直线相交，对顶角相等 【变式2】下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．阴天会下雨 C．13名同学，至少有两人的出生月份相同 D．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 题型二 事件可能性大小 解｜题｜技｜巧 1.核心技巧：比较 “事件包含的等可能结果数量” 或 “发生条件的有利程度”； 2.判断方法： ◦结果数量：同一试验中，某事件包含的等可能结果越多，可能性越大； ◦条件分析：如 “摸球” 中，某种颜色球数量越多，摸到的可能性越大。 【典例1】班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式1】投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【变式3】有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 题型三 用概率公式计算概率 【典例1】如图，四张卡片上分别写有，，，四个实数，从中任取一张卡片．取到的数是无理数的可能性大小是（     ） A．0 B． C． D．1 【变式1】从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式2】旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样． A B C 过道 D F (1)“分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是________； (2)试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率． 【变式3】某景区10月1日~7日一周的天气预报如下表： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 天气 晴 晴 雨 阴 晴 晴 阴 小雨打算随机选择这期间的一天去该景区旅游，恰好这一天天气晴的概率是多少？ 题型四 已知概率求数量 【典例1】一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除颜色外都相同．随机从中摸1个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球． 【变式1】在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 【变式2】小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题： (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有 人中奖，奖金共 元，设摊者获利 元． 【变式3】在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． (1)摸出的球是白球是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） (2)求任意摸出一个球是黑球的概率； (3)小明从盒子里取出个白球，放入个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是白球的概率为，则______． 题型五 几何概率 【典例1】假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次(假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是 ． 【变式2】如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 【变式3】在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 题型六 列表法或树状图计算概率 解｜题｜技｜巧 ◦列表法：适用于两步试验（如摸球两次、掷两个骰子），横行 / 纵列分别列第一步 / 第二步结果，交叉处为组合结果； ◦树状图：适用于两步及以上试验（如摸球三次），按步骤分支，末端为所有等可能结果； 关键：数出 “总结果数” 和 “目标结果数”，代入概率公式计算。 【典例1】山下湖·世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为A，B，C，D，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研． (1)若随机抽取一张，求抽到卡片A的概率； (2)若小张随机抽取一张，记录后放回，搅匀，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽取的卡片中，一张是A，一张是B的概率． 【变式1】A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人． (1)用列表法或画树状图法求两次传球后，球恰在B手中的概率； (2)用列表法或画树状图法求三次传球后，球恰在A手中的概率． 【变式2】将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“4”、“6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，记录下牌面点数为x，再从余下的3张牌中抽出1张牌，记录下牌面点数为y．设点P的坐标为，请用树状图或列表的方法求点P在直线上的概率． 【变式3】如图，甲、乙两个可以自由转动的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘甲的扇形上分别标有数字，，8，转盘乙的扇形上分别标有数字，5，7（两个转盘除标有的数字不同外，其他完全相同）．转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为指针指向的数字（若指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）． (1)转动转盘甲，转盘甲的指针指向负数的概率是 ； (2)分别转动甲、乙两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，请用列表或画树状图的方法，求记录的两数字之和为正数的概率． 题型七 求频率 【典例1】为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 【变式1】为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【变式2】一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 177 198 摸到红球的频率 (1)上表中的___________，___________（小数形式）： (2)“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 题型八 频率与概率关系辨析 解｜题｜技｜巧 ◦频率：随试验次数变化，同一事件在不同试验中频率可能不同； ◦概率：事件本身的属性，是固定值，频率会趋近于概率（试验次数越多，趋近性越强）。 【典例1】以下说法正确的是（    ） A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．点，都在反比例函数图像上，且，则 D．对于一元二次方程，若，则方程的两个根互为相反数 【变式1】下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D．试验得到的频率与概率不可能相等 【变式3】为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 题型九 用频率估算概率 解｜题｜技｜巧 ◦进行足够多次重复试验（如抛硬币 1000 次），记录事件发生的频数； ◦计算频率，观察频率是否稳定在某一数值附近； ◦用该稳定值作为事件概率的估计值。 【典例1】不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（见下表），则下列说法错误的是（   ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 【变式1】王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）； (2)估计袋中白球的个数； (3)若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【变式2】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数 20 50 100 200 500 1000 击中靶心频数m 19 44 91 179 454 905 击中靶心频率 (1)计算并填写表中击中靶心的频率；（结果保留三位小数） (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率估计值是多少？（结果保留两位小数） 【变式3】一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 题型十 概率的应用 解｜题｜技｜巧 ◦游戏公平性：比较双方获胜概率，若概率相等则公平，否则不公平； ◦决策依据：概率较大的事件更可能发生，可作为决策参考（如天气预报降水概率大则带伞）； ◦预测数量：用 “总数量 × 概率” 估算某事件发生的大致数量（如一批产品中合格品数量估算）。 【典例1】今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 【变式1】有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【变式2】在一个不透明的袋子里装有个只有所标数字不同的小球，上面分别标有数字，，，． (1)把小球搅匀后从中随机抽出两个小球，用列表的方法计算说明两个小球上所标数字之积为负数的概率； (2)小明和小亮进行一个小游戏，规则是：小明从袋子中随机抽出一个小球记下所标数字后将小球放回，然后小亮从中随机抽出一个小球记下所标数字，若两个人抽出的数字之积为正数则小明获胜，若两个人抽出的数字之积为负数则小亮获胜．这个游戏规则对于小明和小亮来说是否公平?请说明理由． 【变式3】“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【变式4】如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外无其他差别．摇匀后随机从中摸出一个球是红球的概率为（　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于必然事件的是（　） A．竹篮打水 B．水涨船高 C．百步穿杨 D．守株待兔 4．（24-25九年级下·浙江·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和是 B．两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃 C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于 D．拨打一个电话号码，电话正被占线中 5．（21-22九年级上·浙江温州·期末）某班从4名男生和2名女生中任选1人参加演讲比赛，则选中男生的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·浙江·期中）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对一批衬衫进行抽检，统计合格衬衫的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 估计任抽一件衬衫是合格品的概率是 ．（结果精确到） 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸、莲莲图案的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用列表或画树状图的方法，求两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 2．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）在不透明的箱子里放有4个乒乓球，每个乒乓球上分别写有数字1，2，3，4，从箱中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字，若将第一次摸出的球上数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上数字记为点的纵坐标． (1)请写出两次摸球后所有可能的点的坐标，并用列表法或树状图法说明； (2)求这些点落在以为圆心，半径为2的圆内的概率． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某电视台在同一时间进行4档现场直播：A．乒乓球、B．篮球、C．射击、D．网球．小夏和小王都是体育迷，他们在同一时间观看了直播节目． (1)小夏收看了乒乓球直播的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）贵州“村超”火出圈！甲乙丙三人棋仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（要求：画出树状图） (1)求第3局乙当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当2次裁判的概率． 5．（22-23九年级下·浙江温州·期中）泰顺县雅阳镇及周边旅游资源丰富．林林所在单位的工会组织赴雅阳及周边一日游，工会提供以下五个景点供职工选择： A：莲云谷温泉、B：承天氡泉、C：松阳花开、D：云岚牧场、E：塔头底古村． (1)林林从中随机选择一处景点，选中“莲云谷温泉”或“承天氡泉”的概率是______． (2)林林计划游玩两处景点．考虑到雅阳特色的氡泉水，决定其中一处景点在A和B中随机选择，另一处景点在C，D，E中随机选择．请用画树状图或列表法求出林林所选两处景点的所有可能，并求出他会去“塔头底古村”的概率． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期中）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率 （精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 (1)根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是__________．（精确到0.01） (2)若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请用树状图或列表法求这两枚棋颜色相同的概率． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； (3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的= ； (2)“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江·中考真题）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）衢州飞往成都每天有2趟航班．小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于 ． 3．（2023·浙江台州·中考真题）一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是 ． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．    5．（2020·浙江台州·中考真题）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 参与度 人数 方式 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？ （3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？ 6．（2020·浙江·中考真题）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值） （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少? （3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人? 7．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 简单事件的概率（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 事件的分类 掌握事件的分类标准（确定事件：必然事件、不可能事件；随机事件），学会根据实际情境识别不同类型的事件。 基础题，多以选择 / 填空形式考查，难度低，易因混淆 “必然事件” 与 “随机事件”、“不可能事件” 与 “随机事件” 出错。 事件可能性的大小 掌握判断事件可能性大小的方法（结合事件包含的结果数量、实际条件），学会比较不同事件的可能性大小。 基础题，选择 / 填空为主，常结合生活场景（如摸球、抽卡），易因忽略 “结果是否等可能” 或 “实际限制条件” 判断错可能性大小。 概率公式计算概率 掌握古典概型的概率公式，学会用公式计算简单随机事件的概率。 高频基础题，选择 / 填空 / 解答题小问均有涉及，易因漏算 “所有等可能结果数” 或 “符合条件的结果数”（如摸球时忽略球的颜色 / 数量差异）出错。 已知概率求数量 掌握 “已知概率求相关数量” 的解题思路（根据概率公式列方程），学会结合概率值求解总数量、符合条件的数量等未知量。 中档题，多为解答题小问，易因未找准 “概率与数量的等量关系” 或解方程计算失误出错，。 几何概率 掌握几何概率的计算方法（基于区域长度、面积、体积等，学会计算与几何图形相关的概率。 中档题，选择 / 填空为主，常结合矩形、圆、线段等图形，易因 “区域划分错误”（如未明确事件 A 对应的区域）或 “几何度量计算失误”（如面积、长度算错）出错。 列表法或树状图计算概率 掌握列表法、树状图法的适用场景（两步及以上随机试验）与操作步骤，学会用两种方法列出所有等可能结果，并计算事件的概率。 高频中档题，解答题核心题型，占分比重较大，易因 “漏列结果”“重复列结果” 或 “未标注等可能结果” 导致概率计算错误，尤其在 “放回” 与 “不放回” 试验中易混淆。 求频率 掌握频率的计算公式，学会根据试验数据（如摸球次数、投篮次数）计算事件发生的频率。 基础题，选择 / 填空 / 解答题小问均有考查，易因 “频数与总次数混淆”（如将 “未发生次数” 当作频数）或计算失误出错。 频率与概率关系辨析 掌握频率与概率的区别（频率是实际试验结果的统计值，随试验次数变化；概率是理论值，固定不变）与联系（大量重复试验中，频率趋近于概率），学会辨析两者概念。 中档题，选择 / 填空为主，常以 “判断说法正误” 形式考查，易因 “混淆频率与概率的本质区别”（如认为 “频率就是概率”）出错。 频率估算概率 掌握 “用大量重复试验的频率估算概率” 的方法，学会根据多次试验的频率数据，估算随机事件的概率。 中档题，解答题小问为主，易因 “试验次数不足”（如仅用几次试验的频率估算概率）或 “数据处理错误”（如未求频率平均值）导致估算结果偏差较大。 概率的应用 掌握概率在实际问题中的应用思路（如判断游戏公平性、设计抽奖方案、预测事件发生可能性），学会结合概率分析实际场景，提出合理结论或方案。 高频中档题，解答题压轴小问或单独题型，常结合生活场景（如游戏规则、抽奖活动），易因 “未结合概率数据客观分析”（如判断公平性时未计算双方概率）或 “方案设计不贴合实际” 出错。 知识点01 确定事件与随机事件 （1）确定事件:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点02 可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 知识点03 概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 知识点04 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【注意】自变量的取决范围。 题型一 事件的分类 解｜题｜技｜巧 1.核心技巧：根据 “事件发生的确定性” 分类，关键判断 “是否一定发生” 或 “一定不发生”； 2.分类依据： ◦确定事件：①必然事件（一定发生，概率 = 1）；②不可能事件（一定不发生，概率 = 0）； ◦随机事件（可能发生也可能不发生，概率 0< P <1）。 【典例1】下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．小明今年14岁，明年15岁 B．买一张彩票中特等奖 C．打开频道，刚好在转播足球赛 D．某个月有32天 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件的分类判断即可． 【详解】解：A．小明今年14岁，明年15岁是必然事件； B．买一张彩票中特等奖是随机事件； C．打开频道，刚好在转播足球赛是随机事件； D．某个月有32天是不可能事件． 故选D． 【变式1】下列事件中是不可能事件的是（    ） A．三角形内角和等于 B．两实数之和为正 C．抛物线的开口方向向上 D．抛一枚硬币2次都正面朝上 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，同时考查了二次函数的图象和性质，实数的运算，三角形的内角和定理，根据相关知识点，结合不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，进行判断即可． 【详解】解：A、三角形内角和等于，是不可能事件，符合题意； B、两实数之和为正，是随机事件，不符合题意； C、抛物线的开口方向向上，是必然事件，不符合题意； D、抛一枚硬币2次都正面朝上，是随机事件，不符合题意； 故选A． 【变式1】下列事件是必然事件的是（   ） A．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和大于2 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．如果a，b为实数，，那么 D．两条直线相交，对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查必然事件,在一定条件下一定发生的事件叫做必然事件，掌握必然事件的概念是解本题的关键. 根据每个事件发生的概率判断即可. 【详解】解：A、抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和大于2，是随机事件，故选项不符合题意； B、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时同位角才相等，不是必然事件，故选项不符合题意； C、如果，为实数，，那么或，不是必然事件，故选项不符合题意； D、两条直线相交，对顶角相等,是必然事件，故选项符合题意. 故选：D． 【变式2】下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．阴天会下雨 C．13名同学，至少有两人的出生月份相同 D．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，进行判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是必然事件，符合题意； D、是随机事件，不符合题意． 故选：C 题型二 事件可能性大小 解｜题｜技｜巧 1.核心技巧：比较 “事件包含的等可能结果数量” 或 “发生条件的有利程度”； 2.判断方法： ◦结果数量：同一试验中，某事件包含的等可能结果越多，可能性越大； ◦条件分析：如 “摸球” 中，某种颜色球数量越多，摸到的可能性越大。 【典例1】班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中．本题用男生和女生人数除以学生总数即为所求的概率，然后比较大小即可． 【详解】解：根据班上25名男生，23名女生，全班共有48位学生， 抽到写有男生名字的纸条的概率是：． 抽到写有女生名字的纸条的概率是：． ， ∴． 故选：A． 【变式1】投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 【答案】C 【分析】此题考查了事件的可能性，比较各事件包含的可能结果数，数量越多可能性越大． 【详解】投掷一枚均匀骰子共有6种等可能结果． ①点数为6：仅1种结果，概率为； ②点数不大于4：包括1、2、3、4，共4种结果，概率为； ③点数为奇数：包括1、3、5，共3种结果，概率为． 可能性由大到小为． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：． 【详解】解：解：任意摸出一个球，为红球的概率是：， 任意摸出一个球，为黑球的概率是：， 任意摸出一个球，为白球的概率是：， 故可能性最大的为：摸出的是黑球， 故答案为：B． 【变式3】有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 题型三 用概率公式计算概率 【典例1】如图，四张卡片上分别写有，，，四个实数，从中任取一张卡片．取到的数是无理数的可能性大小是（     ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，根据概率公式求概率，先判断各数是属于无理数还是有理数，再根据概率公式计算即可得解，熟练掌握无理数的定义是解此题的关键． 【详解】解：是整数，属于有理数；属于无理数；是分数，属于有理数；属于无理数； 故从中任取一张卡片．取到的数是无理数的可能性大小是， 故选：C． 【变式1】从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查概率，求出总得可能结果数和满足条件的结果数，然后利用概率计算方法计算即可． 【详解】一共有100种可能，号码是3的倍数的有3，6，9，…，99，共33种， ∴号码是3的倍数的概率是． 故选：A． 【变式2】旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样． A B C 过道 D F (1)“分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是________； (2)试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查事件的分类，树状图求概率： （1）根据事件的分类进行判断，概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：“分给李某座位A”是随机事件； 分给李某座位有5种等可能情况，其中分给李某座位A的概率为； （2）根据题意画树状图如下：    共有种等可能情况，其中相邻座位的情况数有种， ∴分给李某和张某相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率是． 【变式3】某景区10月1日~7日一周的天气预报如下表： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 天气 晴 晴 雨 阴 晴 晴 阴 小雨打算随机选择这期间的一天去该景区旅游，恰好这一天天气晴的概率是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了列举法求概率的知识．熟练掌握列举法求概率是解答本题的关键． 随机选择一天，共有7种结果，天气预报是晴朗的有4天，直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：随机选择一天，共有7种结果，并且这些结果出现的可能性相等．恰好天气预报是晴朗（记为事件）的结果有4种， 所以． 答：小雨打算随机选择这期间的一天去该景区旅游，恰好这一天天气晴朗的概率是． 题型四 已知概率求数量 【典例1】一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除颜色外都相同．随机从中摸1个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球． 【答案】4 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．直接由概率公式即可得出结论． 【详解】解：∵一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是， ∴袋子中至少有4个绿球， 故答案为：4． 【变式1】在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 【变式2】小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题： (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有 人中奖，奖金共 元，设摊者获利 元． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查树状图法求概率．熟练掌握利用树状图法求概率是解题的关键． （1）画树状图进行求解即可； （2）利用概率求人数，再用人数×奖金得到奖金数，再用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正正反、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况， ∴； （2），故约有25人中奖． 奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）； 故答案为：25，125，75． 【变式3】在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． (1)摸出的球是白球是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） (2)求任意摸出一个球是黑球的概率； (3)小明从盒子里取出个白球，放入个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是白球的概率为，则______． 【答案】(1)随机事件 (2) (3)2 【分析】本题考查简单事件的概率计算，事件的分类，理解题意是解答的关键． （1）根据事件的分类求解即可； （2）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）∵红球3个，白球5个，黑球7个 ∴摸出的球是白球是随机事件， 故答案为：随机事件； （2）∵红球3个，白球5个，黑球7个 ∴任意摸出一个球是黑球的概率是； （3）根据题意得， ， 即 解得． 题型五 几何概率 【典例1】假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，熟记概率公式是解此题的关键．用黑色区域面积除以全面积即可求解， 【详解】解：把小正方形边长设为， 则黑色区域面积为，大正方形面积， ∴它最终停在黑色方砖上的概率为， 故选：C． 【变式1】如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次(假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率的求法．掌握几何概率的求法是解题的关键． 根据几何概率的求法：飞镖落在空白部分的概率就是空白部分的面积与总面积的比值，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，则总面积为， 其中阴影部分的面积为， 则空白部分的面积为， ∴击中飞镖游戏板空白部分的概率是； 故答案为：． 【变式2】如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 【变式3】在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，以及正方形与圆的对称性，求出其他部分面积与总面积的比值是解决本题的关键． 用阴影部分的面积除以总面积即可求得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：根据正方形与圆的对称性可知，阴影部分占所有面积的， ∴其他部分的面积占所有面积的， ∴飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 故答案为： ． 题型六 列表法或树状图计算概率 解｜题｜技｜巧 ◦列表法：适用于两步试验（如摸球两次、掷两个骰子），横行 / 纵列分别列第一步 / 第二步结果，交叉处为组合结果； ◦树状图：适用于两步及以上试验（如摸球三次），按步骤分支，末端为所有等可能结果； 关键：数出 “总结果数” 和 “目标结果数”，代入概率公式计算。 【典例1】山下湖·世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为A，B，C，D，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研． (1)若随机抽取一张，求抽到卡片A的概率； (2)若小张随机抽取一张，记录后放回，搅匀，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽取的卡片中，一张是A，一张是B的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简单地概率公式，画树状图法求概率，熟练掌握公式是解题的关键． （1）利用简单地概率公式计算即可； （2）用列表的方法解答即可． 【详解】（1）解：共有4种等可能的结果，A有1种， 故抽到卡片的概率为． （2）解：根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种， ∴两次恰好选中和的概率． 【变式1】A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人． (1)用列表法或画树状图法求两次传球后，球恰在B手中的概率； (2)用列表法或画树状图法求三次传球后，球恰在A手中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查画树状图求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后，球恰在B手中的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球后，球恰在A手中的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图如图 共有4种等可能的结果．两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况， ∴两次传球后，球恰在B手中的概率为； （2）画树状图如图 共有8种等可能的结果．三次传球后，球恰在A手中的有2种情况， ∴三次传球后，球恰在A手中的概率为． 【变式2】将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“4”、“6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，记录下牌面点数为x，再从余下的3张牌中抽出1张牌，记录下牌面点数为y．设点P的坐标为，请用树状图或列表的方法求点P在直线上的概率． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法，概率公式求概率，一次函数图像上点的坐标特征． 先利用画树状图展示，得到12种等可能的结果，先找出点P在直线上的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果；只有在直线上， ∴点在直线上的结果数为2， ∴点在直线上的概率是． 【变式3】如图，甲、乙两个可以自由转动的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘甲的扇形上分别标有数字，，8，转盘乙的扇形上分别标有数字，5，7（两个转盘除标有的数字不同外，其他完全相同）．转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为指针指向的数字（若指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）． (1)转动转盘甲，转盘甲的指针指向负数的概率是 ； (2)分别转动甲、乙两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，请用列表或画树状图的方法，求记录的两数字之和为正数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘甲指针指向负数的结果有2种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及记录的两数字之和为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘甲指针指向负数的结果有2种， ∴转盘甲指针指向负数的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 8 4 5 4 13 7 1 6 15 由表可得共有9种等可能的结果，其中记录的两个数字之和为正数的结果有6种， ∴． 题型七 求频率 【典例1】为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 【答案】(1) (2)名 【分析】本题主要考查了统计图表的相关知识，解决问题的关键是读懂图表，弄清题意. （1）利用频率之和等于1求出未知频率. （2）利用样本估计总体的方法计算相应的人数. 【详解】（1） 解： 故答案为：. （2）解：（名）． 故估计满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数为． 【变式1】为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【答案】(1)，855 (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可； （2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为． 【变式2】一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 177 198 摸到红球的频率 (1)上表中的___________，___________（小数形式）： (2)“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 【答案】(1)78； (2) (3) 【分析】本题主要考查了频率估计概率，求解随机事件的概率． （1）根据表中的数据，结合频数，频率，数据总数之间的关系可得答案； （2）由频率估计概率可得答案； （3）设黑球有个，则白球有个；可得，再进一步即可解答． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率估计值是； （3）解：设黑球有个，则白球有个； ∴， 解得：， ∴摸到黑球的概率为， 答：摸到黑球的概率为． 题型八 频率与概率关系辨析 解｜题｜技｜巧 ◦频率：随试验次数变化，同一事件在不同试验中频率可能不同； ◦概率：事件本身的属性，是固定值，频率会趋近于概率（试验次数越多，趋近性越强）。 【典例1】以下说法正确的是（    ） A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．点，都在反比例函数图像上，且，则 D．对于一元二次方程，若，则方程的两个根互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率、平行四边形的判定、反比例函数的图像与性质、一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据利用频率估计概率的方法即可判断A错误；根据平行四边形的判定即可得B错误；根据反比例函数的增减性即可得C错误；先根据一元二次方程根的判别式可得这个方程有两个不相等的实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得D正确． 【详解】解：A、只有试验次数足够多，频率才能稳定在概率附近，则此项错误，不符合题意； B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，或两组对边分别平行的四边形是平行四边形，或两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则此项错误，不符合题意； C、因为不确定这个反比例函数的增减性，所以无法判断， 反例：点，都在反比例函数的图像上，且，但是函数值，则此项错误，不符合题意； D、对于一元二次方程， ∵， ∴这个方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， 由一元二次方程的根与系数的关系得：方程的两个根之和为，即方程的两个根互为相反数，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D．试验得到的频率与概率不可能相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率与频率的定义及关系．根据概率与频率的定义及关系，逐一分析选项．概率是理论值，频率是试验结果，当试验次数足够多时，频率会接近概率，即可解答． 【详解】解：A选项：中奖概率并不意味着买100张必中6张，概率仅表示可能性，实际结果可能波动，故本选项错误，不符合题意； B选项：当试验次数大时，频率会稳定在概率附近，而非概率稳定在频率附近，故本选项错误，不符合题意； C选项：频率，故本选项正确，符合题意；． D选项：试验频率与概率可能相等，例如多次试验后频率可能恰好等于理论概率，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 【变式3】为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 【答案】C 【分析】本题结合图表，考查了利用频率估计概率．由图可知，击中率在上下波动，故可估计击中的频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8，可判断A选项正确，B选项正确,利用击中概率乘以投球次数即可求得投球击中次数，可判断C选项，利用概率的意义，可判断D选项． 【详解】解：由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近， 故A选项正确，B选项正确，不符合题意； 若爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中（次）， 故C选项的说法不正确，符合题意； 若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次， 故D选项的说法正确，不符合题意， 故选：C． 题型九 用频率估算概率 解｜题｜技｜巧 ◦进行足够多次重复试验（如抛硬币 1000 次），记录事件发生的频数； ◦计算频率，观察频率是否稳定在某一数值附近； ◦用该稳定值作为事件概率的估计值。 【典例1】不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（见下表），则下列说法错误的是（   ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解频率与概率的关系，以及掌握频率的计算方法． 根据频率的计算公式“频率频数总数”，分别计算各选项中的值，再结合大量重复试验中频率稳定值可估计概率，对各选项进行判断． 【详解】解：A、计算100次摸球时的频率，，正确，不符合题意； B、300次摸球时，摸到红球的次数，正确，不符合题意； C、随着试验次数增加，频率稳定在0.60附近，可估计概率约为0.60，正确，不符合题意； D、若袋中有9个红球，由摸到红球的概率约为0.60可得，总球数有，故该选项说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）； (2)估计袋中白球的个数； (3)若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】(1)0.25 (2)3 (3) 【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）首先求出球的总数，进一步求解即可得出答案； （3）先画树状图得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解： 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25； （2）解：∵从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25 ∴球的总数为 ∴袋中白球的个数为； （3）解：画树状图得：     共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， 两次都摸出白球的概率为． 【变式2】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数 20 50 100 200 500 1000 击中靶心频数m 19 44 91 179 454 905 击中靶心频率 (1)计算并填写表中击中靶心的频率；（结果保留三位小数） (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率估计值是多少？（结果保留两位小数） 【答案】(1)见解析 (2)0.90 【分析】本题考查了频率分布表与用频率估计概率的应用问题，是基础题． （1）计算频率即可填表； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率． 【详解】（1）解：填表如下， 射击次数 20 50 100 200 500 1000 击中靶心频数m 19 44 91 179 454 905 击中靶心频率 0.950 0.880 0.910 0.895 0.908 0.905 （2）解：由于击中靶心的频率都在0.90左右摆动，故这位射手击中靶心的概率约是0.90． 【变式3】一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】(1) (2)小明后来放进了25个黑球 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）利用频率估计概率，再根据概率公式求出黑球的个数即可； （2）根据频率估计概率，设后来放进了个黑球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是， 故袋中黑球的个数约为（只）； 故答案为：； （2）由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为， 设后来放进了个黑球，则， 解得：； 答：小明后来放进了25个黑球． 题型十 概率的应用 解｜题｜技｜巧 ◦游戏公平性：比较双方获胜概率，若概率相等则公平，否则不公平； ◦决策依据：概率较大的事件更可能发生，可作为决策参考（如天气预报降水概率大则带伞）； ◦预测数量：用 “总数量 × 概率” 估算某事件发生的大致数量（如一批产品中合格品数量估算）。 【典例1】今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 【答案】(1)，； (2)不公平； (3)准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了概率的计算与应用，熟练掌握概率公式（其中是所有可能的结果数，是事件发生的结果数）是解题的关键． （1）通过列举所有可能的抽取结果，确定小明和小颖获胜的情况数，再根据概率公式计算概率． （2）比较两人获胜的概率，判断是否公平． （3）设计一个两人获胜概率相等的方案． 【详解】（1）解：从三张卡片“阿、福、仙”中随机抽取两张，所有可能的结果有：（阿，福）、（阿，仙）、（福，仙），共种． 能拼成“阿福”或“阿仙”的结果有种，即（阿，福）、（阿，仙）． 所以（小明获胜），（小颖获胜） 故答案为：，； （2）解：因为， 所以小明的提议对小颖不公平． （3）解：示例：准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 【变式1】有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【答案】(1)小丽取出的卡片恰好是的概率为 (2)这个游戏不公平，对小明有利，理由见解析 【分析】本题考查概率与游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解即可； （2）采用列表法可得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可． 【详解】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为． （2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下： 小丽 小明 数字之积 ∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种， ∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平，对小明有利． 【变式2】在一个不透明的袋子里装有个只有所标数字不同的小球，上面分别标有数字，，，． (1)把小球搅匀后从中随机抽出两个小球，用列表的方法计算说明两个小球上所标数字之积为负数的概率； (2)小明和小亮进行一个小游戏，规则是：小明从袋子中随机抽出一个小球记下所标数字后将小球放回，然后小亮从中随机抽出一个小球记下所标数字，若两个人抽出的数字之积为正数则小明获胜，若两个人抽出的数字之积为负数则小亮获胜．这个游戏规则对于小明和小亮来说是否公平?请说明理由． 【答案】(1)两个小球上所标数字之积为负数的概率为； (2)这个游戏规则对于小明和小亮公平，理由见解析． 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用列表法求出所有可能的结果，然后得出两个小球上所标数字之积为负数的可能结果，再用概率公式即可求解； （）利用列表法求出所有可能的结果，然后计算出数字之积为正数和数字之积为负数的概率，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：列表如下， 一共有种等可能结果，两个小球上所标数字之积为负数可能结果有种， ∴两个小球上所标数字之积为负数的概率为； （2）解：这个游戏规则对于小明和小亮公平，理由， 列表如下， 一共有种等可能结果，两个小球上所标数字之积为正数可能结果有种，两个小球上所标数字之积为负数可能结果有种， ∴两个小球上所标数字之积为正数的概率为，两个小球上所标数字之积为负数的概率为； ∵， ∴这个游戏规则对于小明和小亮公平． 【变式3】“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与概率公式得到应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较是否相等即可求得答案． 【详解】（1）解：员工小王抽到去地车票的概率为， 故答案为：． （2）解：不公平， 画树状图如下： 由此可知，共有16种等可能结果． 其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有6种：，，，，，． 所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为． 则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为， ， 不公平． 【变式4】如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 【答案】不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则不公平． 设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜． 这样的规则是公平的，理由如下： 由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则公平． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了可能性的大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可解答． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上， ∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响， ∴投掷第5次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即投掷第5次硬币正面朝上的概率是． 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外无其他差别．摇匀后随机从中摸出一个球是红球的概率为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单概率的计算，根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：袋中共有4个白球和2个红球，总球数为个，红球有2个， ∴随机摸出一个球是红球的概率为， 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于必然事件的是（　） A．竹篮打水 B．水涨船高 C．百步穿杨 D．守株待兔 【答案】B 【分析】本题主要考查事件的分类，必然事件指在一定条件下必然会发生的事件，根据各选项描述的现象，结合物理常识和逻辑判断，逐一分析是否为必然事件． 【详解】解：选项A：“竹篮打水”因竹篮有缝隙无法存水，属于不可能事件； 选项B：“水涨船高”中，船浮于水面，水位上升时船体必然随之上浮，符合浮力原理，是必然事件； 选项C：“百步穿杨”依赖射箭者的技巧和偶然性，属于随机事件； 选项D：“守株待兔”是极小概率事件，属于不可能事件或随机事件； 综上，只有B是必然事件， 故选：B． 4．（24-25九年级下·浙江·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和是 B．两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃 C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于 D．拨打一个电话号码，电话正被占线中 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是事件的分类，解题关键是熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对选项进行逐一分析即可． 【详解】解：选项，任意画一个四边形，其内角和是是必然事件，不符合题意，选项错误； 选项，两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃是不可能事件，不符合题意，选项错误； 选项，掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于是必然事件，不符合题意，选项错误； 选项，拨打一个电话号码，电话正被占线中是随机事件，符合题意，选项正确． 故选：． 5．（21-22九年级上·浙江温州·期末）某班从4名男生和2名女生中任选1人参加演讲比赛，则选中男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单地概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．根据简单地概率公式计算解答即可． 【详解】解：根据题意，得选中男生的概率是：． 故选：D． 6．（24-25九年级下·浙江·期中）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求某事件发生的，画树状图，得到所有等可能的结果，找出其中能够让灯泡发光的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和，和，和时，灯泡能发光， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有8种， ∴能够让灯泡发光的概率． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对一批衬衫进行抽检，统计合格衬衫的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 估计任抽一件衬衫是合格品的概率是 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此可解． 【详解】解：抽取件数为1000时，合格频率趋近于，估计衬衣合格的概率为． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸、莲莲图案的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用列表或画树状图的方法，求两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将这三张卡片分别记为A，B，C， 列表如下： 第一次第二次 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的结果共5种， ∴两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了频率估计概率，由落入黑色部分的频率稳定在0.6，可根据几何概率求黑色部分的面积；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：15． 2．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）在不透明的箱子里放有4个乒乓球，每个乒乓球上分别写有数字1，2，3，4，从箱中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字，若将第一次摸出的球上数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上数字记为点的纵坐标． (1)请写出两次摸球后所有可能的点的坐标，并用列表法或树状图法说明； (2)求这些点落在以为圆心，半径为2的圆内的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果； （2）根据（1）中的表格求得这样的点落在如图所示的圆内的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：所有可能的点的坐标，如表： 第一次 第二次 1 2 3 4 1 2 3 4 （2）解：这样的点落在如图所示的圆内的有：，，，，，，，，，共有9种可能情况，总共有16种可能情况， （在圆内）． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某电视台在同一时间进行4档现场直播：A．乒乓球、B．篮球、C．射击、D．网球．小夏和小王都是体育迷，他们在同一时间观看了直播节目． (1)小夏收看了乒乓球直播的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查树状图法和列表法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接根据概率公式进行计算即可； （2）利用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：小夏收看了乒乓球直播的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 小夏 小王 A B C D A B C D ∴共有16种等可能的结果，其中能同时看同一个直播节目的有4种， ∴P（两人同时看同一个直播节目）． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）贵州“村超”火出圈！甲乙丙三人棋仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（要求：画出树状图） (1)求第3局乙当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当2次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率的计算，画树状图求概率． （1）根据题意画出树状图，表示每一局当裁判的所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． （2）根据树状图求得前4局中乙恰好当2次裁判的结果数，进而根据概率公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示 由树状图表示各局裁判的等可能出现的结果如下：共有4种等可能出现的结果，其中第3局乙当裁判的有1种， 所以第3局乙当裁判的概率为． （2）前4局当裁判所有等可能出现的结果有8种，其中乙恰好当2次裁判的有2种， 所以乙恰好当2次裁判的概率为． 5．（22-23九年级下·浙江温州·期中）泰顺县雅阳镇及周边旅游资源丰富．林林所在单位的工会组织赴雅阳及周边一日游，工会提供以下五个景点供职工选择： A：莲云谷温泉、B：承天氡泉、C：松阳花开、D：云岚牧场、E：塔头底古村． (1)林林从中随机选择一处景点，选中“莲云谷温泉”或“承天氡泉”的概率是______． (2)林林计划游玩两处景点．考虑到雅阳特色的氡泉水，决定其中一处景点在A和B中随机选择，另一处景点在C，D，E中随机选择．请用画树状图或列表法求出林林所选两处景点的所有可能，并求出他会去“塔头底古村”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由题意可知，共有5种等可能结果，其中选中“莲云谷温泉”或“承天氡泉”的结果有2种，利用概率公式即可得出答案； （2）根据题意列表可得林林所选两处景点的所有可能，以及他会去“塔头底古村”的结果，再利用概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，共有5种等可能结果，其中选中“莲云谷温泉”或“承天氡泉”的结果有2种， 林林从中随机选择一处景点，选中“莲云谷温泉”或“承天氡泉”的概率是； （2）解：列表如下： C D E A B 由表可知，共有6种等可能结果，其中他会去“塔头底古村”的结果有，共2种， 他会去“塔头底古村”的概率为． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期中）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率 （精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 (1)根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是__________．（精确到0.01） (2)若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请用树状图或列表法求这两枚棋颜色相同的概率． 【答案】(1)0.25 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率． （1）大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解； （2）先估计出盒中黑棋与白棋各有多少枚，再利用列表法或画树状图法计算出一次摸出两枚棋，这两枚棋颜色不同的概率即可． 【详解】（1）解：表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25， 故答案为：0.25； （2）解：由（1）可知，黑棋的个数为，则白棋子的个数为3， 画树状图如下： 由表可知，所有等可能结果共有12种情况， 其中这两枚棋颜色相同的有6种结果， 所以这两枚棋颜色相同的概率为． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； (3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键． （1）根据折线统计图，用频率估计概率即可； （2）用丁区域的圆心角度数除360度即可； （3）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在， ∴； （2）解：； （3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D， 根据题意可列表如下： 甲                    乙 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种， ∴． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的= ； (2)“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、频率与频数和样本容量的关系、概率的应用等知识点，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． （1）根据频率、频数、样本容量的关系求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近，据此即可解答； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是． 故答案为：． （3）解： (个)． 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江·中考真题）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为： 2．（2023·浙江衢州·中考真题）衢州飞往成都每天有2趟航班．小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意画出树状图，利用树状图计算概率即可． 【详解】解：根据题意，画出树状图如下， 由树状图可知，共有4中等可能的结果，其中小赵和小黄选择同一航班有2中结果， 故他们选择同一航班的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． 3．（2023·浙江台州·中考真题）一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率的公式即可求出答案． 【详解】解：由题意得摸出红球的情况有两种，总共有5个球， 摸出红球的概率：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的求法，解题的关键在于熟练掌握概率的简单计算公式：概率事件发生的可能情况事件总情况． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．    【答案】 【分析】根据概率公式即可求解． 【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 5．（2020·浙江台州·中考真题）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 参与度 人数 方式 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？ （3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？ 【答案】（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由见解析；（2）30%；（3）50人 【分析】（1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数，比较即可作出判断； （2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率； （3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为1：3及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案． 【详解】解：（1）“直播”教学方式学生的参与度更高： 理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数， ∴“直播”教学方式学生的参与度更高； （2）12÷40=0.3=30%， 答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%； （3）“录播”总学生数为800×=200（人）， “直播”总学生数为800×=600（人）， ∴“录播”参与度在0.4以下的学生数为200×=20（人）， “直播”参与度在0.4以下的学生数为600×=30（人）， ∴参与度在0.4以下的学生共有20+30=50（人）． 【点睛】本题考查了概率的计算，弄清题意，正确分析，确定计算方法是解题关键． 6．（2020·浙江·中考真题）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值） （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少? （3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人? 【答案】（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由见解析；（2）30%；（3）50人 【分析】（1）根据直播和录播的参与度的人数即可判断； （2）根据学生的参与度在0.8及以上的人数除以总人数即可求解； （3）先求出“录播”和“直播”的学生人数，再分别乘以其所占百分比即可求解． 【详解】（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由如下： ∵直播参与度为“0.6-0.8”、“0.8-1”的人数均大于录播参与度的人数， 故“直播”教学方式学生的参与度更高； （2）P（参与度在0.8及以上）=； （3）该校共有800名学生， ∴选择“录播”的人数为800×=200（人） 选择“直播”的人数为800×=600（人） ∴故参与度在0.4以下的共有200×+600×=20+30=50（人）． 【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率公式的应用． 7．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． 【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． （2）解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【详解】（1）解：盒子里装有四张卡片， 从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果有2种， ∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为：． 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $