精品解析：湖南省衡阳市2025-2026学年九年级上学期10月四校联考数学试题

2025年下学期九年级数学检测卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 7. 若a是方程的一个解，则的值为　　 A. 3 B. C. 9 D. 8. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ） A. 11 B. 11或13 C. 13 D. 以上选项都不正确 9. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 10. 如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（ ） A. 2b B. 0 C. -2a D. -2a-2b 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：______． 12. 若最简二次根式与能进行合并，则______． 13. 一元二次方程根是______． 14. 若，则＝________． 15. 若，则___________． 16. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 17. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则______． 18. 对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 已知满足． （1）求的值； （2）试问以为三边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 23. 若，，求下列式子的值： （1）； （2）． 24. 已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若方程有一个实数根是5，求m的值及此时方程的另一个根． 25. 关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， （1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； （3）若是“倍根方程”，求代数式值． 26 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：试求二次三项式．最小值． 解：， ， ，即．最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知，求y的最大（或最小）值． （2）比较代数式与的大小，并说明理由． （3）知识迁移： ①如图，学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，来饲养两只萌萌的羊驼，仓库一面靠墙（墙足够长），为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，请尝试用“配方法”求出如何围，使仓库面积虽大？最大值是多少？ ②如图，在正方形中，，点E、F分别为上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．设，用含x的代数式表示，则的最小值为多少．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级数学检测卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】满足：被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式，再根据定义逐一判断即可． 【详解】解： ∴，，不是最简二次根式，故A，B，C不符合题意； 是最简二次根式，D符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握“利用最简二次根式的定义判断最简二次根式”是解本题的关键． 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义：将二将根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式. 化简二次根式判定即可． 【详解】解：=3，所以与是同类二次根式. 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是能正确的化简二次根式． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减法、除法和乘法法则计算即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、故本选项错误，不符合题意； 故选：C 5. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．等式左边不是整式，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先将方程变形成，然后两边再加上9，最后根据完全平方公式即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选A． 7. 若a是方程的一个解，则的值为　　 A. 3 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵a是方程的一个解， ∴2a2-a-3=0， ∴2a2-a=3， ∴6a2-3a=3(2a2-a)=3×3=9． 故选C． 8. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ） A. 11 B. 11或13 C. 13 D. 以上选项都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】由两数相乘积为，两数中至少有一个为求出方程的解得到第三边长，即可求出周长． 【详解】解方程（x﹣2）（x﹣4）=0，得：x=2或x=4， 当x=2时，2，3，6不能构成三角形，舍去； 当x=4时，3，4，6构成三角形，周长为3+4+6=13． 故选C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，以及三角形的三边关系，求出x的值是解本题的关键 9. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式的意义；首先求出一元二次方程根的判别式，然后结合选项进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， 即， ∴一元二次方程无实数根， 故选A． 10. 如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（ ） A. 2b B. 0 C. -2a D. -2a-2b 【答案】C 【解析】 【分析】先由数轴上a，b的位置判断出其符号，再根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据差的绝对值是大数减小数，可化简绝对值． 【详解】由数轴可a＜0，b＞0，a＜b，|a|＞b， 所以a-b＜0，a+b＜0， ∴=-a-b-（a - b）=--a-b-a+b =-2a， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质，绝对值的性质． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 12. 若最简二次根式与能进行合并，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式与可以合并，可得，据此即可求解，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与能进行合并， ∴， 解得：． 故答案为：4 13. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 14. 若，则＝________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．根据，可得 ，结合二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 15. 若，则___________． 【答案】2024 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，代入代数式求值即可得到答案． 【详解】解：， ，解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用二次根式有意义的条件求代数式的值，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 16. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，把代入方程得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知关于x一元二次方程的两根分别为a，b，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可求出，，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为a，b， ∴，， ∴． 故答案为：． 18. 对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数新运算及解一元二次方程一直接开平方法，分两种情况：和时分别进行计算即可解答，应用分类思想分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】分两种情况： 当时， ∵， ∴， ∴， ∴(不合，舍去)，； 当时， ∵， ∴， 解得(不合，舍去)； 综上所述：的值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 先计算乘除，再计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】原式＝3a-3， 当a=时 原式＝3. 【解析】 【详解】试题分析：原式利用单项式乘多项式，以及平方差公式计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 试题解析：原式＝3a-a2+ a2-3=3a-3， 当时 原式＝3（+1）-3=3+3-3=3. 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先将常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ，． 22. 已知满足． （1）求的值； （2）试问以为三边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能构成三角形，三角形的周长为 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、二次根式的运算、三角形的三边关系等知识，正确求出的值是解题的关键； （1）根据非负数的性质结合二次根式的性质解答即可； （2）根据三角形的三边关系即可进行判断，再根据二次根式的加减法则求解三角形的周长即可． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴以为三边能构成三角形，三角形的周长． 23. 若，，求下列式子的值： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）15 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，平方差公式及完全平方公式的变形应用． （1）直接利用平方差公式计算即可； （2）由，将原式变形为，利用（1）中所求，进而求出答案即可． 【小问1详解】 解：，， ． 【小问2详解】 解：，，， ． 24. 已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若方程有一个实数根是5，求m的值及此时方程的另一个根． 【答案】（1）m＜2；（2）m＝﹣14，另一个根为﹣3． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）代入x=5可求出m的值，再利用两根之和等于-，即可求出方程的另一个根． 【详解】（1）∵关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＞0， 解得：m＜2， ∴m的取值范围为m＜2． （2）当x＝5时，原方程为52﹣2×5+m﹣1＝0， 解得：m＝﹣14． ∵方程x2﹣2x+m﹣1＝0的一个实数根为5， ∴另一个根为2﹣5＝﹣3． 【点睛】本题考查根的判别式、一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m的值． 25. 关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， （1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； （3）若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）① （2）的值为18 （3）代数式的值为或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【小问1详解】 的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； 【小问2详解】 由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； 【小问3详解】 由得，， “倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 26 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：试求二次三项式．最小值． 解：， ， ，即．的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知，求y的最大（或最小）值． （2）比较代数式与的大小，并说明理由． （3）知识迁移： ①如图，学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，来饲养两只萌萌的羊驼，仓库一面靠墙（墙足够长），为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，请尝试用“配方法”求出如何围，使仓库面积虽大？最大值是多少？ ②如图，在正方形中，，点E、F分别为上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．设，用含x的代数式表示，则的最小值为多少．（直接写出答案） 【答案】（1）y的最大值是30 （2），理由见解析 （3）①当仓库的宽为时，仓库的面积最大，最大为平方米；② 【解析】 【分析】（1）利用配方法解答，即可求解； （2）把两式作差，然后利用配方法解答，即可求解； （3）①设仓库的宽为x米，则长为米，根据题意可得仓库的面积，然后利用配方法解答，即可求解；②证明，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，然后在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：解：， ， ∴， ∴， ∴， 即y的最大值是30； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①设仓库的宽为x米，则长为米，根据题意得： 仓库的面积为 ， ∵， ∴， 即当时，仓库的面积最大，最大值为， 答：当仓库的宽为时，仓库的面积最大，最大为平方米； ②在正方形中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P为的中点， ∴， 中，， ， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要查了配方法的应用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，理解配方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $