精品解析：安徽省名校2025-2026学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2025-2026学年10月高三年级・名校阶段检测 数学 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求集合，利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由，解得，由，解得， 所以. 故选：D. 2. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求的定义域，再求的定义域即可求解. 【详解】因为，所以，且，解得， 所以函数的定义域为， 所以函数需满足，解得. 故选：D. 3. “”是“不等式在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由得，即，利用均值不等式求出，进而求解. 【详解】对于，可化为恒成立，即 由，当且仅当时取等号，故，解得， 所以“”是“不等式在上恒成立”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 若为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数得，即，又由的定义域得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有：， 所以，所以， 又，所以，又函数定义域关于原点对称， 故，即， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正切公式计算得，再由二倍角公式即可求解. 【详解】由，得，解得， 所以. 故选：D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数根据先求，进而求. 【详解】由题意知时，，所以， 又当时，，，所以， . 故选：A. 7. 已知函数与，在区间上，这两个函数图象交点横坐标之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式转化为正弦值相等，再由正弦函数的性质求出交点横坐标满足或，即可得解. 【详解】因为，当时， 则或者， 即或，又， 则交点横坐标分别是，，，，， 所以交点横坐标之和为. 故选：B. 8. 已知在上满足，且方程只有一个根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得在上是减函数，当时，由单调递减得的范围，当时，，利用导数得在时恒成立，即， 又得，进而得的范围，又由只有一个根，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由可知，在上是减函数， 当时，是一次函数， 因为在上单调递减， 所以，即， 当时，，所以， 因为在时单调递减，所以在时恒成立， 即，变形为， 由于时，所以，即， 还要保证在分段点处，左侧的函数值不小于右侧的函数值， 即，化简得，即， 所以， 分析方程的根的个数， 当时，方程为，化简得，若，则方程对任意都成立，有无穷多个根，不合题意，故，此时方程在上无解，因此，方程的唯一根必在上取得，此时，， 当时，， 令， 要求只有一个根，， 令，，（舍）， ∵，∴，若，则， 此时，在上单调递减，由， 所以在上仅有一个零点，此时只有一个根， 若，则，此时，时，，在单调递增， 时，，在上单调递减，又，，而时，， ∴，使，∴在上存在两个零点，不符合题意， 综上所述. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，，有两个零点，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A利用单位圆即判断，对于B画出与的函数图象，利用数形结合即可判断，对于C的最小正周期为，利用图像即可判断，对于D由，，即可判断. 【详解】对于A，设，，作单位圆如图1，与轴交于，则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接，由三角函数的定义可知，，，设扇形的面积为，则，即，故， 当时，有不等式，故A正确； 对于B，画出，与的函数图象，如图2， 由图可以看出，，故，，所以，故B正确； 对于C，的最小正周期为，由图象可知，所以，故C正确； 对于D，由，，得，，所以，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知可导函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数一定为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由为偶函数得，由为奇函数得，即，进而得的周期，最后利用偶函数的定义逐一验证即可求解. 【详解】∵为偶函数，∴，∴关于对称， 又∵为奇函数，∴， 即，∴关于点对称， 由得， 又， 所以， 所以，即， 所以，∴的周期， 由，又， ∴，即， ∴为偶函数，为偶函数，∴为偶函数，∴AB均正确； 由，两边同时求导得，， 即，，∴为偶函数，∴D正确； 对于C项，取，满足关于点对称， 关于直线对称，但不为偶函数，C错误， 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 下列函数求导正确的有______. ① ② ③ ④ 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据导数的运算法则逐一验证即可求解. 【详解】，①不正确.，②正确. ，③正确.，④不正确. 故答案为：②③. 12. 已知函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性可知，外层函数是增函数，结合对任意的，恒成立，根据这两个条件可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为且，则内层函数在上为减函数， 由于函数且在区间上单调递减， 则外层函数是增函数，则， 且对任意的，恒成立，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 设，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，去绝对值符号，再根据基本不等式即可得解. 【详解】不妨设，则， ， ∴， 当且仅当，，，即，，时，等号成立， 所以的最大值是． 故答案为：． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知是方程的根. （1）求的值； （2）若是第三象限角，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求，再利用诱导公式即可求解； （2）由，利用同角三角函数平方关系求，再由求出，最后利用两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由，解得或， 因为是方程的根，所以，（舍）， 所以； 【小问2详解】 因为是第三象限角且，所以， ∵，∴，∵，∴，∴， . 15. 已知定义在上的函数满足：.，. （1）证明：函数在上单调递增； （2）证明：曲线是中心对称图形，并求其对称中心. 【答案】（1） ，， 令，则，，， ∵，∴，，∴单调递增； （2） 令，则， 令，则，， 令，则有， ∴为奇函数，图象关于对称， ∵，∴曲线是中心对称图形，对称中心为. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义即可得证； （2）令得，令得，令，得，进而得的对称中心，即可得，进而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，求证：对恒成立． 【答案】（1） （2）设， 所以函数在区间单调递减， ， 所以， 设， 令 ， 令 ， 当，，，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在上为增函数， 在上为增函数， ，所以命题得证． 【解析】 【分析】（1）由，构造，求导，确定最值即可求解； （2）由，得到，构造函数，通过三次求导确定其单调性，即可求证. 【小问1详解】 由题知， 设， 令，则，所以在上单调递增， 所以，故，所以在上单调递增， 所以； 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及的单调递减区间﹔ （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，若，，求的值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差正弦公式化简，再求最小正周期及的单调递减区间； （2）求出的图象变换后的解析式，再求出的正余弦值利用凑角可得答案. 【详解】. （1）的最小正周期为， 由，，解得，， 所以函数的单调递减区间是. （2）将的图象先向左平移个单位长度，得到函数，再将其横坐标缩小为原来的， 纵坐标不变得到函数， 据题意有，且，则， 则 . 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能力，属于基础题. 18. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）①； ②，理由如下： 不妨令， ， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论函数的单调性. （2）①把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①当时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，在，当时，， 所以的取范围为. ②，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年10月高三年级・名校阶段检测 数学 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“不等式在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. 6 B. C. 2 D. 7. 已知函数与，在区间上，这两个函数图象交点横坐标之和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在上满足，且方程只有一个根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，，有两个零点，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知可导函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数一定为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 下列函数求导正确的有______. ① ② ③ ④ 12. 已知函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 13. 设，则的最大值是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知是方程的根. （1）求的值； （2）若是第三象限角，，，求的值. 15. 已知定义在上的函数满足：.，. （1）证明：函数在上单调递增； （2）证明：曲线是中心对称图形，并求其对称中心. 16. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，求证：对恒成立． 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及的单调递减区间﹔ （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，若，，求的值. 18. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $