精品解析：江西省九江市永修县第三中学2025-2026学年 上学期阶段（一）质量评估试卷九年级数学

2025-2026学年度上学期阶段（一）质量评估试卷 九年级 数学 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟；2. 试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3．请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 3. 菱形中，，，菱形面积是（ ） A B. C. 4 D. 3 4. 如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 8. 一菱形的对角线长分别为和，则此菱形的周长为____________． 9. 关于x方程的两根为1和5，则一次函数不经过第__________象限． 10. 如图，四边形是矩形，点坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为__________． 11. 如图，要设计一幅长为，宽为的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为，彩带所占面积是图案面积的，设竖向彩带的宽为，则可列方程为___________． 12. 如图，正方形的两条对角线相交于点O．点E是的中点，连接，过点A作于点F，交于点G．若正方形的边长为，则＝__________． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用合适的方法解方程 （1） （2） 14. 先化简再求值：．其中为方程的实数根． 15. 如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点． （1）过点画一条直线，将这个图形分割成面积为两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长： （2）如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线． 16. 若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，求该等腰三角形的周长． 17. 已知：如图，．，与相交于点，且．．求证：四边形为矩形． 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 19. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，求证： （1）； （2）． 20. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当为何值时，长度等于？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 22. 在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点． （1）若点M是的中点，求证：； （2）若，试求的度数． 六、解答题（共12分） 23. 【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． （1）操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； （2）迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期阶段（一）质量评估试卷 九年级 数学 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟；2. 试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3．请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定方法．根据特殊平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，故选项正确，符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， ． 故答案为：B． 3. 菱形中，，，菱形面积是（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形面积和性质，以及勾股定理，利用可知，，连接菱形对角线和，在中利用勾股定理即可求出的长度，． 【详解】解：连接和交于点O，如图， 四边形为菱形，， 又在中，， 为等边三角形，， 在中，，， 由勾股定理可知， ，即， 菱形的面积为． 故选：． 4. 如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接、，根据三角形中位线定理，推出，，四边形是平行四边形，要使四边形为菱形，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 顺次连接四边形各中点得四边形， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， ， 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式可得 且 ，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得 且， 解得且 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键． 根据平移的距离b可以判断出矩形边的长，根据a的最大值和平移的距离b可以求得矩形边的长，从而求得面积． 【详解】解：设直线移到过点B时与交于点E， 由图象得：，，， 由勾股定理得：，， ∴矩形的面积为：， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为关于的方程有两个相等的实数根， 所以， 解得． 故答案：． 8. 一菱形的对角线长分别为和，则此菱形的周长为____________． 【答案】##52厘米 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相平分且垂直，结合勾股定理，得出菱形的边长，从而计算周长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线长分别为和， ∴对角线的一半长分别为和， ∴菱形的边长为：， ∴菱形的周长为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的对角线构造了直角三角形，利用勾股定理求解菱形的问题是常见的思路． 9. 关于x方程的两根为1和5，则一次函数不经过第__________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和一次函数图像的性质，解决此题的关键是灵活的运用各个知识点；先根据根与系数的关系算出和，再根据一次函数的图形性质即可得到结果； 【详解】解：∵关于x方程的两根为1和5， ∴，， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数图形经过一、二、四象限，不经过第三象限； 故答案为：三 10. 如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标． 详解：由折叠得：∠CBO=∠DBO， ∵矩形ABCO， ∴BC∥OA， ∴∠CBO=∠BOA， ∴∠DBO=∠BOA， ∴BE=OE， 在△ODE和△BAE中， ， ∴△ODE≌△BAE（AAS）， ∴AE=DE， 设DE=AE=x，则有OE=BE=8-x， 在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8-x）2=x2， 解得：x=5，即OE=5，DE=3， 过D作DF⊥OA， ∵S△OED=OD•DE=OE•DF， ∴DF=，OF=， 则D（，-）． 故答案为（，-）． 点睛：此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 11. 如图，要设计一幅长为，宽为的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为，彩带所占面积是图案面积的，设竖向彩带的宽为，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．设竖彩带的宽是，则横彩带的宽是，根据彩带所占面积是图案面积的，可列方程求解． 【详解】解：彩带面积是图案面积的， 空白部分面积是图案面积， 可列方程为：． 故答案为：． 12. 如图，正方形的两条对角线相交于点O．点E是的中点，连接，过点A作于点F，交于点G．若正方形的边长为，则＝__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据，可得．然后利用勾股定理解直角三角形解决问题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵． 在Rt中．＝2． ∵， ∴． 在Rt中，＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决一个问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用合适的方法解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等）是解题关键． （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用配方法解答即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， 即， 解得：； 【小问2详解】 解： ， ， 即， ∴， 解得：． 14. 先化简再求值：．其中为方程的实数根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及解一元二次方程等知识，熟练掌握因式分解法解一元二次方程、分式混合运算法则是解决问题的关键．先由为方程的实数根，结合因式分解法解一元二次方程得到或，再由分式混合运算法则将化简为，结合分式有意义的条件得到，且，从而将代入计算即可得到答案． 【详解】解：为方程的实数根， 或， ， 由分式有意义的条件可知，，且， 将代入得，原式． 15. 如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点． （1）过点画一条直线，将这个图形分割成面积为的两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长： （2）如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线． 【答案】（1）见解析，所截得的线段长为3 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． （1）过点A画一条竖直的直线即可，此时左边的正方形面积为3，右边的正方形面积为5，那么截得的线段长为3； （2）点A为上方正方形的对称中心，取出下方矩形的对称中心，根据正方形和矩形均是中心对称图形的性质，可得经过正方形和矩形对称中心的直线即可将该图形面积等分． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求： 线段 【小问2详解】 解：如图，直线即所求： 16. 若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，求该等腰三角形的周长． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，等腰三角形的定义，先利用因式分解的方法解方程得到，，根据题意讨论：当腰为3，底边为4时；当腰为4，底边为3时，然后分别验证是否符合三角形三边关系，计算出等腰三角形的周长． 【详解】解：， ， 或， ，， 当腰为3，底边为4时，满足三角形三边关系定理，∴等腰三角形的周长为； 当腰为4，底边为3时，满足三角形三边关系定理，∴等腰三角形的周长为． 故答案为：或． 17. 已知：如图，．，与相交于点，且．．求证：四边形为矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是菱形，得出，再由平行线的性质得出，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． 【小问1详解】 证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 19. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要运用正方形的性质、全等三角形的判定定理（）以及全等三角形的性质来证明． （1）通过证明三角形全等得到对应边相等和对应角相等； （2）在（1）的基础上，利用角的关系证明垂直． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 设与交于点G， ∵， ． 又∵， ， ， ． 20. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 【小问2详解】 由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：每个玩偶降价元． 22. 在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点． （1）若点M是的中点，求证：； （2）若，试求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，判定是等边三角形，由等边三角形的性质得，由勾股定理即可得证； （2）过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接，再根据判定，再根据判定，得出，结合角平分线的判定定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， 四边形菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 点M是的中点， ，， ， ； 【小问2详解】 解：过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接， 由（1）知，和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 又，， ， ， ，， 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，勾股定理，角平分线的判定定理等；掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题关键． 六、解答题（共12分） 23. 【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． （1）操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； （2）迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】（1）①60，60；②见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，是解题的关键． （1）①由折叠得，由得，结合即可求解； ②由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （2）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 解：①由折叠得， ， ， 矩形中， ， 故答案为：60，60； ②四边形是矩形， ， 又， 四边形是平行四边形； ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又，， ， 如图，过点E作于点G， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $