专题02 一元二次方程（期中复习课件）九年级数学上学期北师大版

该初中数学课件聚焦九年级上册一元二次方程专题，系统梳理方程定义、解法（直接开平方法、配方法等）、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过期中考情分析明确复习目标，以必备知识构建框架，为重难点突破提供学习支架。 其亮点在于结合数学思维与模型意识，通过换元法解高次方程、动态几何问题等实例，培养学生推理能力和应用意识。采用分层题型设计和错题分析，学生能夯实基础并提升解题能力，教师可直接用于复习教学，提高课堂效率。

专题02 一元二次方程 九年级数学上学期 期中复习大串讲 北师大版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的相关概念 能准确表述一元二次方程的定义，识别方程的一般形式及各项系数 基础必考点，多在选择题、填空题中考查概念辨析 解一元二次方程 熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等解方程的方法，并能根据方程特点选择恰当方法求解 高频考点，在各种题型中都有涉及，是解决一元二次方程问题的核心技能 根的判别式 理解根的判别式与一元二次方程根的情况之间的关系，能运用判别式判断方程根的情况，以及解决与根的存在性相关的问题 重要考点，常与方程的求解、函数等知识结合，在选择题、填空题、解答题中考查 一元二次方程根与系数的关系 掌握根与系数的关系（韦达定理），并能运用该关系解决已知方程的根求代数式的值、构造新方程等问题 重要考点，常与代数式求值、函数等知识综合，在解答题中考查 一元二次方程与实际问题 能将实际问题中的等量关系转化为一元二次方程，求解并对结果的合理性进行检验 高频考点，常以实际生活中的问题（如增长率、面积问题等）为背景，在解答题中考查 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 一元二次方程的相关概念 知识点01 一元二次方程的定义： 只含有1个未知数（一元）且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。 三要素 整式方程、 只含有一个未知数 未知数的最高次数是2. 【注意】 1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的. 2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式. 一元二次方程的相关概念 知识点01 2.一元二次方程的一般形式： 如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 二次项 一次项 常数项 等号左边是一个关于未知数的二次多项式， 等号右边是0. 特 征 a是二次项系数， b是一次项系数 【易错/热考】 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明, . 3.一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边的成立的未知数的值是一元二次方程的根，也叫做一元二次方程的解。 将此数代入这个一元二次方程， 若能使等式成立，则是一元二次方程的根； 反之，它就不是一元二次方程的根. 一元二次方程的相关概念 知识点01 判断一个数是不是一元二次方程的根的方法： 【补充说明】 一元二次方程的解法 知识点02 解一元二次方程的基本思路： 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程， 分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 一元二次方程 降次 转化 一元一次方程 一元二次方程的解法 知识点02 1） 2） 3） 1. 直接开平方法 定义：利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 步骤1、方程化为 步骤二、直接开平方得： 【解读】 *用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质： 适合用直接开平方法解一元二次方程三种类型 ►正数有两个平方根，它们互为相反数， ► 0的平方根是0， ►负数没有平方根. 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 一元二次方程的解法 知识点02 2. 配方法 一元二次方程 配方 转化 直接开平方法 手段 基 础 1）配方法的理论依据：完全平方公式 的逆用； 2）用配方法解一元二次方程，实际就是由二次项和一次项来配常数项. 【解读】 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 典例2－7x＋3=0 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2－7𝒙=－3 二化 二次项系数化为1 方程两边同时除以二次项系数 －𝒙=－ 三配 配方 方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式 【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误. －𝒙＋=－＋ 即= 四开 开平方求根 利用平方根的定义直接开平方 ==± ⇒=3, = 一元二次方程的解法 知识点02 一般地，对于一元二次方程， 当时，方程的实数根可写： 一元二次方程的解法 知识点02 3. 公式法 ►求根公式是专门用来解一元二次方程的 ►求根公式使用的前提条件是：a≠0且. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 【解读】 一元二次方程的求根公式， 被开方数必须是非负数 方法 典例5＋1=3 将一元二次方程整理成一般形式； 将原方程化为一般形式： 3－5－1=0 确定公式中a、b、c的值； （易错点：忽略系数前面的符号） ∵a=3,b=－5,c =－1 求出 的值； ∴－4ac=37＞0 当时，将将a、b、c的值代入求根公式： ，从而请求出方程的解. ∴=⇒ =, = 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 一元二次方程的解法 知识点02 定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 一元二次方程的解法 知识点02 4. 因式分解法 如果两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少一个为0， 即：若ab=0，则a=0或b=0. 一元二次方程 因式分解 转化 转化 两个一次方程 依 据 或 降次 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 典例：t(2t－1)=3(2t－1) 移 项 将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0 t(2t－1) －3(2t－1)=0 化 积 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式 原方程变形为： (t－3)(2t－1)=0 转 化 令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程 (t－3)=0或(2t－1)=0 求 解 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 ∴=3, = 一元二次方程的解法 知识点02 根的判别式 知识点03 1.根的判别式： 叫做一元二次方程一元二次方程ax²+bx+c=0 (a ≠ 0）的根的判别式。用符号来表示。 ①若 方程有两个不相等的实数根：； ②若 方程有两个相等的实数根：； ③若 方程没有实数根。 1）在实数范围内，一元二次方程 的根的情况由 确定. 2）一元二次方程有解分两种情况： ①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根． 3）已知一元二次方程有两个根，隐含着 . 【解读】 根的判别式 知识点03 一元二次方程根与系数的关系 知识点04 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件： 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 一元二次方程一元二次方程ax²+bx+c=0 (a ≠ 0）根与系数的关系： 若一元二次方程 的两个根是 ， 则有： ， •＝. 如果方程 的两个根为 ， 则有， •＝q 特别地 a=1 【补充说明】 19 一元一次方程与实际问题 知识点05 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的解． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． ⑥答：写出答案。 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 一元二次方程的定义 题型一 解｜题｜技｜巧 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(其中二次项系数不为0)的整式方程是一元二次方程，因此要求与一元二次方程有关的字母参数的值，只要先根据指数条件列方程，即指数等于2，通过解方程求得字母参数的值，再根据二次项系数不能为0的条件排除不合题意的值即可. 【易错】如果明确了ax^2+bx+c=0为一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件. 1．（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）下列方程： ①； ②； ③；④； ⑤中，一元二次方程的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：①是一元二次方程； ②当时，是一元二次方程； ③由得，不是一元二次方程； ④是一元二次方程； ⑤不是整式方程，故不是一元二次方程， 故①④是一元二次方程，共2个， 一元二次方程的定义 题型一 类型一 一元二次方程的识别 B 2．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 一元二次方程的定义 题型一 C 3．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，5，3 B．5，2，3 C．，2， D．2，， 解： 方程，其中： 二次项是，所以二次项系数； 一次项是，所以一次项系数； 常数项． 一元二次方程的定义 题型一 D 4．（25-26九年级上·全国·单元测试） 已知是一元二次方程，则的值为 ． 解：∵是一元二次方程， 一元二次方程的定义 题型一 类型二 根据一元二次方程的定义求参数 ∴ ∴ 5．（24-25九年级上·湖南永州·期中） 已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． （1）解：由题意得：， ．即：当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 一元二次方程的定义 题型一 6．（24-25九年级上·贵州毕节·期末） 如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． （1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”， ，，， ， 解得：． 一元二次方程的定义 题型一 一元二次方程根的应用 题型二 解｜题｜技｜巧 1）判断已知值是否为方程的根:分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等.相等则是，否则不是. 2）已知方程的根求字母的值: 将方程的根代入原方程，可得关于参数的方程.若要求参数的值，则需注意参数是否使二次项系数为0；若要求含参数的式子的值，则需考虑整体代入求解. 7．（21-22九年级上·浙江台州·期末）下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 一元二次方程根的应用 题型二 类型一 判断已知值是否为方程的根 B 8．（24-25九年级上·山西临汾·期中）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（    ） A．1 B． C．0 D．2 解：∵，且， ∴方程必有一根为； 一元二次方程根的应用 题型二 B 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程的解（    ） A． B．1 C．0 D．2 解：A．当时，左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时，左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时，左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时，左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 一元二次方程根的应用 题型二 B 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为 ． 解：将代入一元二次方程， 得：，解得：， 一元二次方程根的应用 题型二 类型二 已知方程的根求字母的值 1 11．（19-20九年级上·广东惠州·阶段练习）已知是方程的一根，则另一根为 ，c为 ． 解：把代入方程，得， ∴， ∴原方程为， 解得， 即另一根为． 12．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为 ． 解：将代入得， ， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 一元二次方程根的应用 题型二 13．（25-26九年级上·广东广州·期中）若a是方程的解，则式子的值为 ． 若a是方程的解， 则， ∴， ∴ ， 一元二次方程根的应用 题型二 类型三 已知方程的根求代数式的值 2023 解： 14．（21-22九年级上·四川内江·期中）已知m是一元二次方程的根，则的值为 ． 解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴ ， 一元二次方程根的应用 题型二 0 15．（24-25九年级上·广东广州·期末）若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 解：∵、是方程的两个实数根， ，， ， ∴ 一元二次方程根的应用 题型二 16．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 一元二次方程根的应用 题型二 类型四 估算一元二次方程的解 ． 17．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知， 方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，， 即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 一元二次方程根的应用 题型二 解一元二次方程 题型三 解｜题｜技｜巧 对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 18．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程： (1) (2) (3)解方程， 某同学的解题步骤如下： 解：①         ②          ③ ④ 方程无实数根⑤ ①问：这位同学解方程过程中从第______步开始写错了； ②请你帮他将方程的正确解题过程完整的书写出来． 解一元二次方程 题型三 类型一 选用合适的方法解一元二次方程 18．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程： (1) (2) 解一元二次方程 题型三 类型一 选用合适的方法解一元二次方程 （1）解：， ， ， ， ，， ，； （2）解： ， ，， ，； 18．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程： (3)解方程， 某同学的解题步骤如下： 解：①         ②          ③ ④ 方程无实数根⑤ ①问：这位同学解方程过程中从第______步开始写错了； ②请你帮他将方程的正确解题过程完整的书写出来． 解一元二次方程 题型三 类型一 选用合适的方法解一元二次方程 （3）解： ①根据一元二次方程的解法可知两边同时加，③开始出现了错误． ③ ②解：①         ②          ③ ④ ， ，． 19．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中） 解方程： (1)； (2)； (3)． 解一元二次方程 题型三 （1）解： ， ， ， 或， 解得：，； 19．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中） 解方程： (1)； (2)； (3)． 解一元二次方程 题型三 （2）解： ， ， ， ∴； 19．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中） 解方程： (1)； (2)； (3)． 解一元二次方程 题型三 （3）解： ， 或 解得：，． 20．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习） 解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 解一元二次方程 题型三 （1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 20．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习） 解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 解一元二次方程 题型三 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：； 20．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习） 解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 解一元二次方程 题型三 （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 21．（24-25九年级上·青海西宁·期中） 用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4) 解一元二次方程 题型三 （1）解： ，； （2）解：， ， ∴ ， ∴方程没有实数根； 21．（24-25九年级上·青海西宁·期中） 用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4) 解一元二次方程 题型三 （3）解：， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， 或， ，． 22．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为①， 解①得，． 当时，无意义，舍去； 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 解一元二次方程 题型三 类型二 一元二次方程拓展解法-换元法 22．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料： 利用以上学习到的方法解方程：． 解：将原方程变形为 ， 设，则， 原方程化为， 解得：，， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； 原方程的解为: ，，，． 解一元二次方程 题型三 类型二 一元二次方程拓展解法-换元法 23．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： ． 第一步：原方程可变形为：； 第二步：令； 第三步：第一步的方程可变形为； 第四步：……； 根据的值可以求出，． 解一元二次方程 题型三 【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________； A．分类讨论思想   B．数形结合思想   C．整体代换思想   D．类比思想 (2)完成材料中第三步以后求值的过程； (3)利用均值换元法解方程：． 23．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： ． 第一步：原方程可变形为：； 第二步：令； 第三步：第一步的方程可变形为； 第四步：……； 根据的值可以求出，． 解一元二次方程 题型三 【方法总结】 (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________； A．分类讨论思想   B．数形结合思想   C．整体代换思想   D．类比思想 (2)完成材料中第三步以后求值的过程； C ∵，∴， 解得，， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为，； （2）解： 23．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： ． 解一元二次方程 题型三 【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解． (3)利用均值换元法解方程：． （3）解：原方程变形为， 令， 原方程可化为， ， 解得，， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为，． 24．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 解：设，则，原方程变形为， 整理得，解得或（舍去）， ， ． 解一元二次方程 题型三 25．（2022-2023学年湘教版九年级上册数学期中复习试卷） 先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，， 解得（不合题意，舍去），； 当时，． 解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 解：当时，， ∴， 解得（不合题意，舍去） ，（不合题意，舍去）； 当时，， ∴， 解得，． 综上所述，原方程的解为: 或． 解一元二次方程 题型三 类型三 一元二次方程拓展解法-绝对值方程 26．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝． 阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 解一元二次方程 题型三 解：当时，原方程可化为： ， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为 ， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解:， 解一元二次方程 题型三 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 27．（23-24九年级上·四川内江·期中）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如： 解二元一次方程组， 按常规思路解方程组计算量较大．可设，， 那么方程组可化为，从而将方程组简单化， 解出和的值后，再利用，解出和的值即可． 用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 解一元二次方程 题型三 类型四 一元二次方程拓展解法-高次/分式/无理方程 解：（1）设， 原方程化为， ， 解得或， 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解； 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解． ∴原方程的解为： ；；；． 用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 解一元二次方程 题型三 用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 解一元二次方程 题型三 （2）设， 则有， 原方程可化为：， 解得（舍）或， ， ， 解得或； 经检验： ，是原方程的解． 28．（20-21九年级上·云南昆明·期末）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对于同学们来说具有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设， 则原方程换元为． ， 或， 解得，， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程：(1)；(2)． 解一元二次方程 题型三 （1）解：设，则原方程可变形为： ， ， 或． 当时，，； 当时，，． ∴原方程的解为： ，， ，． 解一元二次方程 题型三 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． （2）解：设， 则， ∴原方程可化为： ， ， 或（舍去）． 当时，． 两边平方，得． ． ． ，． 经检验，，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 解一元二次方程 题型三 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 解题方法 此类题型解法为先作差，将得到的多项式进行配方， 再利用非负性与0比较大小，即可得到式子之间的大小关系. 解：∵ ， ， ∴， ∴代数式的最小值是4． 配方法的应用 题型四 类型一 利用配方法求代数式的最值 29．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是 ． 4 30．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 解：， ，则， ， ， ∴（当时取等号），则， 当时，代数式有最小值等于4， 配方法的应用 题型四 4 31．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末） 阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时， 存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 配方法的应用 题型四 2 4 解：（2） ， ． 当时， 存在最小值1． 31．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末） 阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时， 存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 配方法的应用 题型四 2 4 （3） ， ， ， 当时， 代数式有最大值． 32．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 配方法的应用 题型四 类型二 利用配方法比较大小 解题方法：此类题型解法为先作差，将得到的多项式进行配方，再利用非负性与0比较大小，即可得到式子之间的大小关系. 33．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 配方法的应用 题型四 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究：（1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用：（2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． 解：（1） ， ， ， ∴无论x取何值，代数式的值一定是负数； 33．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 配方法的应用 题型四 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究：（1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用：（2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． （2） 理由：由题意，得 ， ， ， ， 即， . 34．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）已知a、b、c为的三边长，且a、b满足，c为奇数，则的周长为 ． 解：， ， ， ，， 边长c的范围为． 边长c的值为奇数， ， 的周长为． 配方法的应用 题型四 类型三 用配方法解决多元二次方程问题 解题方法：用配方法将条件式变形为两个完全平方和的形式，再利用“两个非负数之和为0，则两者均为0”这个结论解题. 8 35．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如： 解方程，则有， ，解得，． 已知，求x，y的值， 则有， ，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 配方法的应用 题型四 （1）解：， ， ， ，， . 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 配方法的应用 题型四 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 配方法的应用 题型四 （2）解：为等腰三角形.理由： ， ， ， ，， ，，. 为等腰三角形. 36．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用， 如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 配方法的应用 题型四 36．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 配方法的应用 题型四 （1）解： ． ∵， ∴， ∴当时，有最小值． 36．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 配方法的应用 题型四 （2）解： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 即， 故． 36．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 配方法的应用 题型四 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵． 一元二次方程根的判别式 题型五 解｜题｜技｜巧 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程 有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 解｜题｜技｜巧 【易错点】 1）根据一元二次方程 根的情况确定字母参数的值或取值范围时，若二次项系数含有所求的字母参数，则不要忽略隐含条件a≠0，否则这个参数的取值范围会增大，导致解题错误. 2）对于形如的方程有实数根的问题，要从a=0和a≠0两个方面去考虑. 一元二次方程根的判别式 题型五 37．（25-26九年级上·全国·期中）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 解： ∵ ， ∴方程有两个不相等的实数根． 一元二次方程根的判别式 题型五 类型一 不解方程，由根的判别式的正负性可直接判定根的情况 A 38．（24-25九年级上·福建福州·期末）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 解： A、， 则原方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、， 则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、， 则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、， 则原方程无实数根，符合题意； 一元二次方程根的判别式 题型五 D 39．（24-25九年级上·四川资阳·期中） 关于x的一元二次方程的实数根情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 解：对于方程， ，，， ∴ ， 由于，因此， 即对所有实数恒成立． 因此，方程总有两个不相等的实数根， 一元二次方程根的判别式 题型五 B 40．（2025·山东·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 一元二次方程根的判别式 题型五 类型二 根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围 A 41．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的整数值可以为 （填一个）． 解：依题意可得 ，解得且， 4 一元二次方程根的判别式 题型五 42．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知关于的一元二次方程 有两个相等实数根，则 ． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得：． 2 43．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）若关于的一元二次方程 无实数根，则的取值范围是 ． 解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 44．（23-24九年级上·广东河源·期中） 证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根 证明：当，即， 方程变形为， 解得； 当，即 ， 由于，则， 所以方程有两个不相等的实数根，所以不论取何值，方程总有实数根． 一元二次方程根的判别式 题型五 类型三 应用判别式证明方程根的情况 45．（21-22九年级上·河南平顶山·期末） 已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． （1）解：∵，，， ∴． 不论为何值总有，即， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入原方程得：， 解得：． 解方程得：，． 所以方程的另一个根为． 一元二次方程根的判别式 题型五 46．（24-25九年级上·湖北孝感·期末） 已知关于x的一元二次方程． 求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． 证明： ，，， ， 无论m为何值，原方程都有两个不相等的实数根． 一元二次方程根的判别式 题型五 一元二次方程根与系数的关系 题型六 解｜题｜技｜巧 1）一元二次方程根与系数关系的使用条件： . 2）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 47．（24-25九年级上·全国·期末）若1是方程的一个根，则另一个根为（　　） A． B．2 C．1 D．0 解：设另一个根为t，根据题意得，所以， 一元二次方程根与系数的关系 题型六 类型一 不解方程，已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数 C 48．（24-25九年级上·江苏无锡·期末） 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． D 49．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为 ． 解：方程有一个根是 ， 解得． 一元二次方程根与系数的关系 题型六 50．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 解；∵ ∴， ∴ 一元二次方程根与系数的关系 题型六 类型二 不解方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求含，的代数式的值 11 51．（24-25九年级上·四川达州·期末） 已知是一元二次方程的两个不相等实数根， 则代数式的值是 ． 解： 是一元二次方程的两个不相等实数根， ，，， ，， ． 一元二次方程根与系数的关系 题型六 36 52．（24-25九年级上·广东东莞·期末） 已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． (1)； (2)． （1）解：，， 原式 ； 一元二次方程根与系数的关系 题型六 （2）解： ． ． 53．（24-25九年级上·全国·期末） 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 一元二次方程根与系数的关系 题型六 类型三 已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围 （1）解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得； 53．（24-25九年级上·全国·期末） 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 一元二次方程根与系数的关系 题型六 类型三 已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围 （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵， ∴． 99 54．（24-25九年级上·四川资阳·期中） 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． （1）解：由题意得， ， 且 ∴且； 一元二次方程根与系数的关系 题型六 （2）由题意得，，， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 55．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末） 若关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围；(2)若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． 一元二次方程根与系数的关系 题型六 （1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：由题意知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，∴，即：m的值为． 56．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 解：设这次会议到会的人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这次会议到会的人数为9人． 一元二次方程与实际问题 题型七 类型一 两两碰面类问题 57．（24-25九年级上·云南红河·期中）根据题意列出方程或函数并解答． (1)参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ (2)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 一元二次方程与实际问题 题型七 （1）解：设共有x个队参加比赛， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：共有10个队参加比赛； （2）解：解：设涨价x元，利润为y， 则 ， 因此当时，y有最大值6250； 元， 即每件定价为65元时利润最大， 最大值6250； (2)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 设每件降价a元，总利润为w， 则 ， 因此当时，w有最大值6125， 即每件定价为57.5元时利润最大，最大值6125； 综上所知每件定价为65元时利润最大， 最大利润是6250． 一元二次方程与实际问题 题型七 58．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）年我国新增高效节水灌溉面积万，如果要使年至年三年新增高效节水灌溉面积总和为万，那么年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为多少？ 解：设年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为． 一元二次方程与实际问题 题型七 类型二 变化率问题 59．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） (1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） (2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ （1）解：设这两年粮食产量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两年粮食产量的平均增长率约为； （2）解：（万亿斤），， 答：预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 一元二次方程与实际问题 题型七 60．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）甘肃是面食之乡，其中“金城炒面”也最为有名，它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道，与兰州牛肉面一样享誉全国．兰州某餐馆一份炒面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份炒面价格是多少元时，该餐馆能实现每天1080元的利润？ 解：设提高了元，则销售价格为元， 利润为元， 销售份数为份， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，， ∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润． 一元二次方程与实际问题 题型七 类型三 销售类问题 61．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每涨价1元，日销售量将减少，现该商场要保证每天盈利元， 同时又要使顾客得到实惠，那么涨价之后，每天的销售量必须达到多少？ 解：设每千克水果应涨价元， 解得，， 根据题意应选择较小的涨价金额，即， 将代入， 得到， 答：每天的销售量必须达到． 一元二次方程与实际问题 题型七 62．（24-25九年级上·全国·期中）学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园．围墙最长可利用．与围墙平行的一边 上要预留宽的入口（如图中所示），不用砌墙．现在已备足可以砌长的墙的材料，问当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为？ 一元二次方程与实际问题 题型七 类型四 几何图形类问题 解：设，则，， 则， 解得：或（舍去）, ∵, ∴不合题意，舍去， ∴ ∴当长度是时，矩形花园的面积为． 63．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 一元二次方程与实际问题 题型七 64．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 一元二次方程与实际问题 题型七 类型五 动态几何问题 （1）解：关于的函数解析式为： ； 所以的取值范围是： ． 对于，当时， 有最大值； 64．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 一元二次方程与实际问题 题型七 类型五 动态几何问题 （2）设经过秒， 的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． 64．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 一元二次方程与实际问题 题型七 类型五 动态几何问题 （3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 65．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 一元二次方程与实际问题 题型七 （1）解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时， ，舍去， 的值为1． 65．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 一元二次方程与实际问题 题型七 （2）存在．理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得．当t的值为2时，． 66．（24-25九年级上·江苏常州·期中） 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程．应用： (1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程： ①， ②， (2)请求出一元二次方程的倒根方程． 本章涉及的新定义类问题 题型八 （1）解：①， ， ， ， ②， ， ， ． ∴方程②是方程①的倒根方程； 66．（24-25九年级上·江苏常州·期中） 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程．应用： (1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程： ①， ②， (2)请求出一元二次方程的倒根方程． 本章涉及的新定义类问题 题型八 （2）解：， ， ， ， ∴，， ∴方程的倒根方程为， 整理得：． 67．（2020·河北·模拟预测）定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如：．根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． （1）解： ∵， ∴ ，即， ∴ 解得：，， ∴的值为； 本章涉及的新定义类问题 题型八 （2）解：∵的值小于0， ， 解得：． 在方程中， ， 方程有两个不相等的实数根． 本章涉及的阅读材料类问题 题型一 68．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 材料：若一元二次方程的两个根为， 则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为， 则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 本章涉及的阅读材料类问题 题型一 68．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 材料：若一元二次方程的两个根为， 则， (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． （2）解：当时，符合题意，则，当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， 2或 本章涉及的阅读材料类问题 题型一 68．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 材料：若一元二次方程的两个根为， 则， (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ∴ ． 69．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读材料后解答问题： 材料1：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ ． 材料2：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题． 例如：因为，所以，即：有最小值1，此时； 同样，因为，所以， 即有最大值6，此时． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和， 则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)拓展提升：当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ． 本章涉及的新定义类问题 题型八 3 本章涉及的新定义类问题 题型八 (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴，， ∴， (3)拓展提升：当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ． （3）解：由题意得， 又∵ ∴ ∴ ∴当时，代数式有最大值为． 大 70．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 本章涉及的新定义类问题 题型八 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 本章涉及的新定义类问题 题型八 解：[理解应用] 变形为 ， 如图所示， 图①一个长方形的面积为：； 图②一个长方形的面积为； 图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） ② 本章涉及的新定义类问题 题型八 [类比迁移] 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程， 解得原方程的一个根为； 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ， 解得原方程的一个根为______； 本章涉及的新定义类问题 题型八 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． [拓展应用]∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，解得，， 当时，，∴， 解得，，即方程的一个正根为1； 当时，，∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 或 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中重难突破练 ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵，∴的最小值是14， 解： 1．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知𝒙,𝒚,𝒛为实数，满足 那么的最小值为 ． 14 期中重难突破练 2．（23-24九年级上·湖北·期中） m为何值时，方程有一个正根，一个负根；此时，哪一个根的绝对值大？ 解：方有一个正根，一个负根的条件为： 且， 解得， 根据两根之和公式可得， 又∵，∴， 即此时负根的绝对值大． 期中重难突破练 3．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）已知关于x的一元二次方程 (1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根； (2)当时， ①若代数式，则___________； ②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值； (3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小． （1）解：把代入原方程， 得：， 解得:， 把代入原方程， 得， ， 解得，，， ∴方程的另一根为； 期中重难突破练 3．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）已知关于x的一元二次方程 (1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根； (2)当时， ①若代数式，则___________； ②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值； (3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小． （2）①把代入， 得， 即， ∴， 解得 ∴ 期中重难突破练 3．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）已知关于x的一元二次方程 (1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根； (2)当时， ①若代数式，则___________； ②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值； (3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小． ②原式， ∵不论x为何值， ∴原式 ∵代数式的值为正整数， ∴代数式的值为1，2， 当时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去； 当时，或1， 故x的值是0或1； 期中重难突破练 3．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）已知关于x的一元二次方程 (3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小． （3）解：当时，得， ∴， 当时，得， ∴， ∴ ∵，，， ∴，，， ∴，∴． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $