函数的奇偶性专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念与性质：函数的奇偶性专项训练 函数的概念与性质：函数的奇偶性专项训练 考点目录 函数奇偶性的定义 利用奇偶性求解析式 利用奇偶性求参数 利用奇偶性与单调性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的定义 1．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 2．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 3．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高一下·北京·开学考试）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，函数的定义域为，，故为偶函数，不满足条件； 对于B选项，函数为偶函数，不满足条件； 对于C选项，函数为奇函数，且该函数在区间上为减函数，不满足条件； 对于D选项，函数的定义域为，， 则函数为奇函数，且该函数在上为增函数，满足条件. 故选：D. 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)减函数，证明见解析 【详解】（1）由的图象过点，得，又， 联立解得：. （2）由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 6．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）当时，既是奇函数也是偶函数； 当，不同时为0时，是奇函数，证明如下： 函数的定义域为，对于，都有， 且， 故为奇函数． 综上：当时，既是奇函数也是偶函数；当，不同时为0时，是奇函数. （2）当时，． 当时，在上无单调性； 当时，任取，，且， 则， ，，且， ，，． 若，则，即， 在上单调递增； 若，则，即， 在上单调递减． 7．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数， (1)求，； (2)判断函数的奇偶性并证明． 【答案】(1)，3； (2)偶函数，证明见解析. 【详解】（1）函数，则，. （2）函数是偶函数. 当时，，， 当时，，， 而， 因此，所以函数是偶函数. 考点二 利用奇偶性求解析式 1．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 2．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 又． 故选:C． 3．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，．则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 当时，， 所以当时，，则， 即. 故选：B. 4．（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 5．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 【答案】 【详解】设，则， 所以， 又因为定义在上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：． 6．（24-25高一上·天津红桥·期末）已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】当时，，解得， 因为是上的偶函数，故图象关于轴对称， 所以当时，， 令，解得， 综上，的解集为. 故答案为： 7．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 因当时，，得． 因为是偶函数，所以当时，． 故． （2）证明：由（1）可知，当时，． 任取，，令， 则， 因为，所以，，，则， 则，即， 从而可证在上单调递增． 8．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 考点三 利用奇偶性求参数 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以，解得， 时，， ， 所以函数是奇函数，则. 故选：C. 2．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由是定义在上的奇函数，则，则， 则当时，，则. 故选：D. 3．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】A 【详解】易知的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 则， 整理得恒成立， 所以，解得. 故选：A 4．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是定义在上的偶函数， ，. 又，，. 所以，，. 故选：C. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设是定义在上的奇函数，则 . 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数， 则，即， 解得，所以，则. 故答案为： 6．（24-25高一上·广东·阶段练习）若函数为奇函数，则 . 【答案】3 【详解】设，则，则，， 因为是奇函数，则，即，可得， 即，所以. 故答案为：3. 7．（24-25高一上·山西·期末）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以，即， 所以，所以． 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海长宁·期末）偶函数在区间上的最大值为，则实数 ． 【答案】 【详解】因为是偶函数，则，则， 又在区间上的最大值为，且当时，， 所以，解得， 故答案为：. 9．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知奇函数的定义域是，其中，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为奇函数的定义域是，则，可得，则， 因为，则，解得， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 10．（22-23高一上·四川广安·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且， (1)求a，b的值 (2)判断在上的单调性，并证明． (3)设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3) 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， ，即，又，即， 经检验，该函数为奇函数， 故. （2）在上单调递增， 证明如下： 任取， 其中，所以， 故在上单调递增. （3）由（1）知在上单调递增，则， 任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 即存在使得成立， 令， ①当，即时，的根为符合题意； ②当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③当且时，； ④当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 即，解得， ⑤当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：. 考点四 利用奇偶性与单调性解不等式 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 2．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于函数的定义域为， 且，所以是偶函数， 又因为，由当时，在上是减函数， 所以在上是减函数， 则由，可得， 平方得：，解得， 故选：D. 3．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 4．（24-25高一上·山东聊城·期末·多选）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时， C．，使 D．在上单调递增 【答案】ABD 【详解】A：的定义域为R，且， 所以为奇函数，故A正确； B：当时，，故B正确； C：， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 若，则， 由，得，即， 这与矛盾，所以不存在，故C错误； D：因为为R上的奇函数，所以. 由选项C知，在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 5．（24-25高一下·吉林长春·开学考试·多选）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：（1）；（2），当时，都有；（3）.则下列选项成立的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得 【答案】BD 【详解】由（1）得，为偶函数，由（2）得，在上为增函数， ∴在上为减函数. A.∵，在上为增函数，∴，A错误. B.由为偶函数得，，结合函数单调性可画出函数简图， 由得同号，故，B正确. C.由得，解得，故，C错误. D.由的图象连续不断，在上为减函数，在上为增函数，可得， ∴，存在，满足，D正确. 故选：BD. 6．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 7．（24-25高一上·浙江温州·期末）定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为定义在上的奇函数在上递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 又， 则， 即的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由和在上都是单调递增，知在上单调递增， 又，则为奇函数． 由，得，即，即有，解得． 故答案为： 9．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意， 等价于， 又奇函数在上单调递增， 可知在R单调递增， 所以可得：， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 10．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为是定义在上是奇函数， ，解得：. 此时，所以函数为奇函数. 所以. （2）证明：设是区间上任意两个实数，且， 则 因为，所以， ， 是区间上的增函数. （3）因为是区间上的增函数且是奇函数， 由满足， 所以有， 解得：，即的范围是. 11．（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 12．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数（）是减函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于的不等式：（）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）函数为奇函数 证明如下：函数定义域为， 又， 所以是奇函数 （2）由已知及（1）知：不等式即， 等价于，即， 当时，则； 当时，则不等式无解； 当时，则； 综上，的解集为： 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为. 13．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 【答案】(1)函数为奇函数； (2) 【详解】（1）由已知，函数的定义域为． ，都有， ． 所以函数为奇函数． （2）任取，且，则， 那么 因为 ， 所以 ，，， 所以 ， 所以 ， 所以 在上是增函数． 因为，所以，且在上是增函数． 所以，所以， 所以不等式的解集 14．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 考点五 抽象函数的奇偶性 1．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】C 【详解】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则， 又在上是增函数，所以，解得，故D正确． 故选：C． 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【详解】因为， 故令，可得， 即，解得，故①正确； 令，，可得， 又， 即，解得， 再令，可得， 即，故②正确； 令，可得， 即 因为，则，可得，所以， 令，不妨设， 可得，即， 因为，则，则， 可得，即， 所以为上增函数，故③错误； 令，可得， 即，整理得， 所以为奇函数，故④正确； 故选：A． 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【详解】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D 5．（24-25高一上·湖北·期末·多选）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【详解】因为，， 令，可得，则， 令，可得，则. 对于A选项：令，可得，所以A正确； 对于B选项：令可得，所以B正确； 对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误； 对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，可得， 所以，所以为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高一上·云南曲靖·期末·多选）设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．存在，使得 【答案】ABC 【详解】， 令，可得：， 所以， 令，可得：， 所以，A正确； 令，可得：， 即，偶函数，B正确； 由，可得：， 由函数是偶函数及已知单调性可得：， 易知恒成立，由，可得：；C正确； 由函数是偶函数且在上单调递增可知其最小值为，D错误； 故选：ABC 7．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． (1)判定并证明函数在R上的单调性； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)奇函数，理由见解析 (3)或 【详解】（1）在R上单调递减，理由如下： 任取，且， 因为，所以， 令， 则， 因为当时，恒成立， 又，所以， 所以，， 所以在R上单调递减； （2）令，则，解得， 令，因为， 故，所以， 所以是奇函数； （3）因为， 所以， 因为是奇函数，所以， 因为是R上的减函数，所以， 解得或，所以不等式的解集为或. 8．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知定义在上的函数，对于，恒有. (1)求证：是奇函数； (2)若是增函数，解关于x的不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）取，则，解得， 取，则， 所以， 故为奇函数； （2）不等式，即， 又为上的单调递增函数， 则，即， 当时，不等式的解集为； 当时，解得，不等式的解集为． 当时，解得，不等式的解集为． 9．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的定义域为， 所以有， 即，解得：， 所以的定义域为． （2）令，可得，即， 令，得， 即是奇函数， 令，则，且为奇函数， ，即， 在上单调递增， 由题意可知，， ， 解得，即不等式的解集为． 10．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 11．（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，． (1)求的值； (2)判断的奇偶性和单调性； (3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)为奇函数；函数是上的减函数 (3)或． 【详解】（1）令，代入得，所以． （2）令， 代入，可得， 所以，可得函数为奇函数； 任取，且 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数． （3），即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即 令 作出的图象如图，结合图象，可得：当或时，函数有2个零点， 即实数m的取值范围为或． 12．（24-25高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的概念与性质：函数的奇偶性专项训练 函数的概念与性质：函数的奇偶性专项训练 考点目录 函数奇偶性的定义 利用奇偶性求解析式 利用奇偶性求参数 利用奇偶性与单调性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的定义 1．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 4．（24-25高一下·北京·开学考试）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 6．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 7．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数， (1)求，； (2)判断函数的奇偶性并证明． 考点二 利用奇偶性求解析式 1．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，．则当时，（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 6．（24-25高一上·天津红桥·期末）已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 7．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递增． 8．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 考点三 利用奇偶性求参数 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 2．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 4．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设是定义在上的奇函数，则 . 6．（24-25高一上·广东·阶段练习）若函数为奇函数，则 . 7．（24-25高一上·山西·期末）若函数为偶函数，则实数 ． 8．（24-25高一上·上海长宁·期末）偶函数在区间上的最大值为，则实数 ． 9．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知奇函数的定义域是，其中，则的最小值为 . 10．（22-23高一上·四川广安·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且， (1)求a，b的值 (2)判断在上的单调性，并证明． (3)设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 考点四 利用奇偶性与单调性解不等式 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东聊城·期末·多选）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时， C．，使 D．在上单调递增 5．（24-25高一下·吉林长春·开学考试·多选）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：（1）；（2），当时，都有；（3）.则下列选项成立的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得 6．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 7．（24-25高一上·浙江温州·期末）定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是 . 8．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ． 9．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 10．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 11．（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 12．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数（）是减函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于的不等式：（）. 13．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 14．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 考点五 抽象函数的奇偶性 1．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④ 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 5．（24-25高一上·湖北·期末·多选）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 6．（24-25高一上·云南曲靖·期末·多选）设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．存在，使得 7．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． (1)判定并证明函数在R上的单调性； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若，求x的取值范围． 8．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知定义在上的函数，对于，恒有. (1)求证：是奇函数； (2)若是增函数，解关于x的不等式. 9．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 10．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 11．（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，． (1)求的值； (2)判断的奇偶性和单调性； (3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 12．（24-25高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $