17.1用提公因式法分解因式（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025－2026学年人教版数学八年级上册大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 17.1用提公因式法分解因式（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 因式分解概念 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 特别说明： （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 题型1判断是否因式分解 例1．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A． B．C． D． 【变式1-1】．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．对于①，②从左到右的变形，下列表述正确的是（   ） A．①②都是整式乘法 B．①②都是因式分解 C．①是整式乘法②是因式分解 D．①是因式分解②是整式乘法 知识点2 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明： （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的 题型2 确定多项式中的公因式 例2．n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．把多项式分解因式时，应提出的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．下列各组代数式中，没有公因式的是（　　） A．与b B．与 C．与 D．与 【变式2-3】．将因式分解，则应提取的公因式为 ． 知识点3 提公因式法因式分解 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明： （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误 题型3 公因式是单项式的因式分解 例3．分解因式： (1)； (2)． 【变式3-1】．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-2】．把分解因式．小亮的解法是这样的： 解：原式． 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法． 【变式3-3】．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4公因式是多项式的因式分解 例4．因式分解： 【变式4-1】．因式分解： 【变式4-2】．因式分解： (1)； (2)． 【变式4-3】．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 题型5 已知因式分解结果求参数 例5．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【变式5-1】．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【变式5-2】．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【变式5-3】．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 题型6变形后提取公因式因式分解 例6．分解因式：． ． 【变式6-1】．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式6-2】．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【变式6-3】．阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． ． 题型7利用提公因式法的求代数式值 例7．已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式7-1】已知a，b为实数． (1)若，，求； (2)若，分别求和的值； (3)若，，分别求a，b的值． 【变式7-2】．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【变式7-3】．我们在课堂上曾利用数形结合思想探索了整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的正方体进行以下探索： (1)在其一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为_____； (2)将图1中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图2所示。因为，，，所以长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为___，长方体③的体积为_____．（结果不用化简） (3)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为______． (4)已知，，求的值． 题型8利用因式分解求值 例8．利用因式分解计算：． 【变式8-1】．如图，是某小区的一块空地，现要对该空地进行改造，在空地内的点O处安装喷泉，且点O到三边的距离相等，即．的三边，，的长分别为a，b，c． (1)这块空地的面积用含a，b，c，m的代数式表示为_______； (2)现测得米，米，米，米．利用因式分解求这块空地的面积． 【变式8-2】．（1）填空： （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． （3）计算． 【变式8-3】．问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6 问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： (1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程； (2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　 　； 发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　 　； 问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　 　（结果用乘方表示）． 例9．【阅读与思考】用求差法比较大小 两个数量的大小可以通过它们的差来判断． 如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【探究与实践】 (1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 如果，，那么（或）． (2)制作某产品有两种用料方案． 方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板； 方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板． 已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【变式9-1】．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【变式9-2】．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：    (1)； (2)． 【变式9-3】．已知：．求的值． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（　　） A． B． C． D． 3．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．把多项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 5．若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 6．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 7．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．把多项式分解因式，其中一个因式为，则k的值为 10．多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 11．把多项式分解因式的结果为 ． 12．已知，则 ． 13．若，，用含的代数式表示，则 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．对下列式子进行因式分解． (1)； (2)． 15．利用因式分解计算 (1) (2) 16．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 17．先分解因式，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 18．一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果，那么称这个四位数为“心平气和数”．例如：1625，，，因为，所以1625是“心平气和数”． (1)直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和数”是 ； (2)将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换位置，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”，例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”．求证：任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 19．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． 20．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理， 部分信息如表格所示（n为正整数）．按表中规律，完成下列问题： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ ①（   ）2　－（   ）2　； ② （ 用含n 的代数式表示） (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， …这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你补全过程． 假设，其中x，y均为自然数，分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾． 故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数，则 为4的倍数． ③ 若x，y一个是奇数一个是偶数，则是奇数， 是偶数，所以x，y不可能一个是奇数一个是偶数． (3)由①②③可知，猜测 ．（填“正确”或“错误”） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 17.1用提公因式法分解因式（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 因式分解概念 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 特别说明： （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 题型1判断是否因式分解 例1．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、中，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、，不属于因式分解，该选项不符合题意； D、，是因式分解，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选C． 【变式1-2】．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，是因式分解，故不符合题意； B、，是因式分解，故不符合题意； C、，是因式分解，故不符合题意； D、的右边不是整式，不是因式分解，故符合题意； 故选D． 【变式1-3】．对于①，②从左到右的变形，下列表述正确的是（   ） A．①②都是整式乘法 B．①②都是因式分解 C．①是整式乘法②是因式分解 D．①是因式分解②是整式乘法 【答案】D 【分析】本题主要考查了分解因式和整式乘法计算，观察可知，①是利用提公因式法分解因式，②是多项式乘以多项式的计算，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，①是利用提公因式法分解因式，②是多项式乘以多项式的运算， ∴①是因式分解②是整式乘法， 故选：D． 知识点2 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明： （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的 题型2 确定多项式中的公因式 例2．n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查提公因式，熟练掌握提公因式是解题的关键；因此此题可根据提公因式进行求解． 【详解】解：， 所以公因式； 故选C． 【变式2-1】．把多项式分解因式时，应提出的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．根据公因式的定义即可作答． 【详解】解：中的两项，系数部分有公因数，字母a部分都有，字母c部分都有， 故在因式分解时，提的公因式为， 故选：B． 【变式2-2】．下列各组代数式中，没有公因式的是（　　） A．与b B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式． 分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可． 【详解】解：A、与b有公因式b，故本选项不符合题意； B、与无公因式，故本选项符合题意； C、与有公因式，故本选项不符合题意； D、与有公因式2，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2-3】．将因式分解，则应提取的公因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，找出系数的最大公约数，相同字母（多项式）的最低次幂，即可确定公因式． 【详解】解：因式分解时，应提取的公因式是． 故答案为：． 知识点3 提公因式法因式分解 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明： （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误 题型3 公因式是单项式的因式分解 例3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找到公因式是解题的关键； （1）提取公因式m，即可分解因式； （2）提取公因式x，即可分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-1】．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是掌握提公因式法分解因式． （1）、（2）、（3）、（4）利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式3-2】．把分解因式．小亮的解法是这样的： 解：原式． 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法． 【答案】不正确， 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：小亮的解法是不正确． 正确的解法： ． 【变式3-3】．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式．熟练掌握提公因式分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，是解决问题的关键． （1）通过提公因式法，提取公因式，即可解得． （2）通过提公因式法，提取公因式，即可解得． （3）通过提公因式法，提取公因式，即可解得． （4）通过提公因式法，提取公因式，即可解得． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型4公因式是多项式的因式分解 例4．因式分解： 【答案】． 【分析】本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握找出式子的公因式并正确提取是解题的关键．先将式子中的和看作整体，然后通过提取公因式的方法对式子进行因式分解，解题思路是先找出公因式，再利用提取公因式法化简式子． 【详解】解： ． 【变式4-1】．因式分解： 【答案】． 【分析】本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握将式子中的部分内容进行变形以找出公因式是解题的关键． 先将式子中的转化为，然后提取公因式来进行因式分解，解题思路是通过变形统一式子中的相同部分，再找出公因式进行提取． 【详解】解： ． 【变式4-2】．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提公因式法因式分解是解题的关键． （1）先将原式变形为，再提取公因式即可； （2）直接利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式4-3】．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 题型5 已知因式分解结果求参数 例5．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 (3) 【知识点】已知因式分解的结果求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、加减消元法 【分析】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； （3）解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 【变式5-1】．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 【变式5-2】．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【变式5-3】．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数、构造二元一次方程组求解 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 题型6变形后提取公因式因式分解 例6．分解因式：． 【答案】． 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意准确找出公因式．直接提取公因式即可． 【详解】解：原式 ． 【变式6-1】．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解，注意分解因式一定要彻底． （1）原式变形为，提取公因式分解即可； （2）原式提取公因式分解即可； （3）原式变形为，再提公因式分解即可． （4）原式提取公因式分解，整理后再提取公因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式6-2】．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】（）提取公因式即可； （）提取公因式即可； （）提取公因式即可； 本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式6-3】．阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，利用换元法进行因式分解即可．掌握换元法，是解题的关键． 【详解】解：设， 将代入，得： ∴原式． 题型7利用提公因式法的求代数式值 例7．已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解； （1）根据完全平方公式的变形得到，据此求解即可； （2）先根据完全平方公式的变形求出的值，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式7-1】已知a，b为实数． (1)若，，求； (2)若，分别求和的值； (3)若，，分别求a，b的值． 【答案】(1) (2)6； (3)或 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，化简二次根式，因式分解的应用，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据进行求解即可； （2）根据得到的值，进而得到的值，据此可得答案； （3）把两个已知条件式相加得到，则，再由讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，当时，； 综上所述，或． 【变式7-2】．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【知识点】列代数式、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 【变式7-3】．我们在课堂上曾利用数形结合思想探索了整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的正方体进行以下探索： (1)在其一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为_____； (2)将图1中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图2所示。因为，，，所以长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为___，长方体③的体积为_____．（结果不用化简） (3)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为______． (4)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、提公因式法分解因式 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键． （1）由大的正方体的体积为截去的小正方体的体积为从而可得答案； （2）由，，，利用长方体的体积公式直接可得答案； （3）由（1）（2）的结论结合等体积的方法可得答案； （4）利用先求解再利用，再整体代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解：由大的正方体的体积为，截去的小正方体的体积为， 所以截去后得到的几何体的体积为： 故答案为： （2）∵，， 由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为， ∵，，所以长方体③的体积为 故答案为：， （3）由题意得： 由（1）（2）的结论，可以得到的等式为： 故答案为： （4）∵，， ∴ ∴． 题型8利用因式分解求值 例8．利用因式分解计算：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．将原式利用提公因式法分解因式，可得，然后再次提取公因式法，可得答案． 【详解】解：原式 ． 【变式8-1】．如图，是某小区的一块空地，现要对该空地进行改造，在空地内的点O处安装喷泉，且点O到三边的距离相等，即．的三边，，的长分别为a，b，c． (1)这块空地的面积用含a，b，c，m的代数式表示为_______； (2)现测得米，米，米，米．利用因式分解求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)424平方米 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、提公因式法分解因式、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、列代数式、角平分线的性质等知识点，用提公因式法把所得代数式进行因式分解成为解题的关键． （1）如图：连接，再根据以及三角形面积公式列出表达式即可； （2）用提公因式法把（1）中得到的代数式进行因式分解，再把所给数值代入计算即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵，的三边，，的长分别为a，b，c， ∴这块空地的面积为：． （2）解：， ∵米，米，米，米， ∴原式（平方米）． 答：这块空地的面积是424平方米． 【变式8-2】．（1）填空： （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． （3）计算． 【答案】（1）0，1，2；（2）第n个等式为，说明见解析；（3）． 【知识点】数字类规律探索、提公因式法分解因式、因式分解的应用 【分析】（1）用提取公因式法计算即可； （2）提取公因式即可证明结论成立； （3）先求，然后根据即可求解． 【详解】（1），，． 故答案为：0，1，2； （2）由（1）可得，第n个等式为， ∵， ∴等式成立； （3）令， 则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及数字类规律探究，根据提供的算式找出规律是解答本题的关键． 【变式8-3】．问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6 问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： (1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程； (2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　 　； 发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　 　； 问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　 　（结果用乘方表示）． 【答案】(1)（1+a）4 (2)（1+a）5；（1+a）n+1；47 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索、整式乘法混合运算、提公因式法分解因式 【分析】（1）用提取公因式（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式； （2）通过前面（1）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式， 发现规律：是根据（1）（2）的结果写出结论； 问题解决：通过前面的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式． 【详解】（1）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3 ＝（1+a）3+a（1+a）3 ＝（1+a）3（1+a） ＝（1+a）4； （2）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4 ＝（1+a）4+a（1+a）4 ＝（1+a）4（1+a） ＝（1+a）5； 故答案为：（1+a）5； 发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1； 故答案为：（1+a）n+1； 问题解决：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6 ＝（1+3）6（1+3） ＝（1+3）7 ＝47． 故答案为：47． 【点睛】此题考查了数字类运算的规律，提公因式法分解因式，整式的混合运算法则，正确掌握提公因式法分解因式是解题的关键，同时还考查了类比解题的思想． 例9．【阅读与思考】用求差法比较大小 两个数量的大小可以通过它们的差来判断． 如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【探究与实践】 (1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 如果，，那么（或）． (2)制作某产品有两种用料方案． 方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板； 方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板． 已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)证明见解析 (2)从省料角度考虑，应选方案二 【知识点】整式的加减运算、提公因式法分解因式、不等式的性质 【分析】本题考查了整式的加减运算，因式分解的含义，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键． （1）先作差可得，，再结合条件进一步证明即可． （2）设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 利用作差法进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴； ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 方案一所用钢板的面积为， 方案二所用钢板的面积为， ， ， ∴， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 【变式9-1】．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【答案】(1)提取公因式法，2 (2)2025， (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； （3）解： ； （4）解： ． 【变式9-2】．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：    (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查提公因式分解因式，因式分解的应用， （1）根据题意得出，利用提公因式法分解因式，然后代入式子的值，即可求解． （2）根据提公因式法和公式法分解因式，再将，代入分解后的式子，即可求解． 【详解】（1）解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10， ∴ ∵ ； （2）解：∵ ∴ 【变式9-3】．已知：．求的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式、因式分解的应用 【分析】先求解 再把化为再整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∴ 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，掌握“利用提公因式法分解因式，再整体代入求解代数式的值”是解本题的关键． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的概念，根据题意逐项判断即可． 【详解】A、的右边不是因式相乘的形式，不符合题意； B、的右边不是因式相乘的形式，不符合题意； C、的右边不是因式相乘的形式，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 2．已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 【答案】C 【分析】本题主要考查分解因式，先变形为，然后根据对应项相等计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 3．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 4．把多项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用提公因式法进行多项式因式分解，先通过变形将多项式中互为相反数的因式化为相同形式，再提取公因式，最后对剩余部分继续分解因式，再分析各选项的正误即可． 【详解】解： ． 故选：A． 5．若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 6．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【详解】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 7．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 8．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】提取公因式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．把多项式分解因式，其中一个因式为，则k的值为 【答案】 【分析】根据因数分解的方法，其中一个因式是，则设另一个因式为，即，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，分解因式，其中一个因式为，设另一个因式为， ∴，即， ∴，， ∴，则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解法求参数值，掌握因式分解法的形式和解题技巧是解题的关键． 10．多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取最低的． 根据公因式概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是． 故答案为：． 11．把多项式分解因式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分解因式，根据提公因式法分解因式进行解答即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】-3 【分析】先由题意将式子2b−a+3=0，进行变形，变成a-2b=3的形式，然后再将要求的式子化简，使每一项都含有因式a-2b，再代入求值即可得出. 【详解】∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是，要把整式化成含有公因式a-2b的形式，再代入求值． 13．若，，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】此题考查因式分解，由已知等式变形得，再变形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．对下列式子进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法分解因式是解题的关键： （1）提取公因式分解因式即可； （2）先将式子变形，再提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．利用因式分解计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式是解题的关键． （1）提公因式，即可求解； （2）提公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 16．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，理解整体公因式是解本题的关键． （1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可； （3）提取公因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ． 17．先分解因式，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键． （1）利用提取公因式法分解，再代入求值； （2）利用提取公因式法分解，再代入求值． 【详解】（1）解： ， 当时，原式 （2）解： 当时，原式 18．一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果，那么称这个四位数为“心平气和数”．例如：1625，，，因为，所以1625是“心平气和数”． (1)直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和数”是 ； (2)将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换位置，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”，例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”．求证：任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 【答案】(1)1001，9999 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用提取公因式的方法提出11是本题的一个关键，此外，关于数字取值范围的判断也是一个关键之处． （1）因为是求最小的“心平气和数”和最大的“心平气和数”，所以一个必须以1开头的四位数，不难得到1001和9999这两答案； （2）可以设千位和百位数字之和为，十位和个位的数字之和为，千位数字为，十位数字为，根据题意列出一组“相关心平气和数”之和，利用提取公因式进行因式分解就可以了． 【详解】（1）最小的“心平气和数”必须以1开头，而1000显然不符合题意，所以最小的只能是1001，最大的“心平气和数”必须以9开头，后面的数字尽可能在0-9这10个数字中选最大的，所以最大的“心平气和数”一定是9999． （2）证明：设千位和百位数字之和为，十位和个位的数字之和为，千位数字为，十位数字为， 个位数字为，百位数字为， 依题意可得，这组“相关心平气和数”之和为： ， 为整数， 是11的倍数， 任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 19．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）先将转化为以为底的幂，再根据幂运算中“若（且，、是正整数），则”的结论列方程求解． （2）利用同底数幂的运算法则，将和变形，提取公因式后求解． （3）把转化为，再结合用含的式子表示，进而代入的表达式进行转化． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即． 根据（且，、是正整数），则， ∴， 解得． （2）解：∵，． ∴． ∵， ∴，，，， ∴． （3）解：∵， ， ∴． 又∵， ∴把代入，得． 【点睛】本题主要考查了幂的运算相关知识，包括幂的乘方、同底数幂的运算以及代数式的变形，熟练掌握幂的运算法则和代数式的转化方法是解题的关键． 20．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理， 部分信息如表格所示（n为正整数）．按表中规律，完成下列问题： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ ①（   ）2　－（   ）2　； ② （ 用含n 的代数式表示） (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， …这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你补全过程． 假设，其中x，y均为自然数，分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾． 故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数，则 为4的倍数． ③ 若x，y一个是奇数一个是偶数，则是奇数， 是偶数，所以x，y不可能一个是奇数一个是偶数． (3)由①②③可知，猜测 ．（填“正确”或“错误”） 【答案】(1)①7，5；② (2)② (3)正确 【分析】（）①根据规律即可求解； ②根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； （3）运用（）的过程进行作答即可． 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由规律可得，， 故答案为：，； 由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． （3）解：依题意，由①②③可知，猜测正确 故答案为：正确 学科网（北京）股份有限公司 $