精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

临澧一中高一年级第一次阶段性考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：叶子 审题人：刘贤青 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次方程得集合B，然后利用并集运算和补集运算的概念求解即可. 【详解】因为，又，所以， 又，所以. 故选：B 2. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域. 【详解】由函数解析式有意义可得 且 所以函数的定义域是且， 故选：A. 3. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式得性质可得，再根据不等式的性质可得，从而得的取值范围. 【详解】因为，所以，则有， 将不等式的两边同时乘，可得， 所以. 故选：B． 4. 已知：“”，：“”，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求得中对应的范围，然后根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】对于，令，可得，即，故或， 解得或，故是的必要不充分条件. 故选：A 5. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】先配凑，然后运用基本不等式求出最小值 【详解】， 当且仅当，即，时，取得最小值. 故选：. 6. 设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况分类讨论，时符合题意，时只需满足 即可求解. 【详解】当时，原不等式为，A为空集； 当时，因为A为空集 所以无解， 只需满足， 解得， 综上实数的取值范围是. 故选D 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解为空集，分类讨论的思想，属于中档题. 7. 集合间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合 ， ，再判断. 【详解】因为 ， ，， 所以，则，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 8. 已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（ ） A. 37 B. 39 C. 48 D. 57 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到集合的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合中的元素，从而推得的取值范围，由此得解. 【详解】因为集合， 又因为集合中，每个集合恰有个元素，且有个元素， 所以集合中没有重复元素， 因为是集合中数值最小的元素，是集合中数值最大的元素， 所以在的特征数构成中，必有和，不妨设， 要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即， 所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，接着在中再次放置数值较小的元素，即， 则， 此时有最大值为，即； 要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即， 所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，接着在中再次放置数值较大的元素，即， 则， 此时有最小值为，即， 综上：， 显然，选项A不满足，故A正确； 选项BCD都满足，故BCD错误. 故选：A. 【点睛】关键点睛： 本题解题的关键在于理解特征数的组成中，一定含有最小数值的元素与最大数值的元素，从而推理得要使取得最值时，中的元素情况，由此得解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的定义域为，若存在区间，使得，则称区间为函数的“和谐区间”.下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个“和谐区间” B. 是函数的一个“和谐区间” C. 是函数的一个“和谐区间” D. 是函数的一个“和谐区间” 【答案】BC 【解析】 【分析】利用“和谐区间”的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A选项：，当时，，不满足题意，错误； 对于B选项：，当时，，满足题意，正确； 对于C选项：，当时，，满足题意，正确； 对于D选项：，当时，，不满足题意，错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是( ) A. 已知0＜x，则x(1﹣2x)的最大值为 B. 当时，的最大值是1 C. 若，，则的取值范围是 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断AB，利用不等式的性质可判断C，利用作差法可判断D． 【详解】对于选项A，若，则1－2x＞0，2x＞0， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即x(1﹣2x)的最大值为，故A正确； 对于选项B，当时，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值是1，故B正确； 对于选项C：∵，，∴，， ∴，故C错误； 对于选项D，∵，， ∴， ∴，故D错误； 故选：AB. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 从集合到集合的函数有个 B. 已知，，对，使得成立，则实数的取值范围为 C. 已知实数x，y，z，记，则的最小值为 D. 已知，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用函数的定义即可求解；对于B，对，使得成立，，分别求出的最小值，即可求出实数的取值范围；对于C，利用不等式的性质即可求解；对于D，首先推理出当时，是周期为的函数，再求的值即可. 【详解】对于A选项，集合中每个元素都有种对应方法，则共（种）， 即从集合到集合的函数有个，故A正确； 对于B选项，由，则， 对于，，令， 则，当时，，即， 由题意，即，解得，故B正确； 对于C选项，， 可得，即，当时，的最小值为，故C错误； 对于D选项，由，，，，， 可知当时，是周期为的周期函数， 故，则，故D正确， 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：对于选项B，关键是由对，使得成立，，将恒成立问题转化为最值问题；对于选项D，关键是推理出当时，是周期为的周期函数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一元二次不等式的解集为，则的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知是方程的两根，根据韦达定理可得出，代入解不等式即可求出结果. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以，是方程的两根， 由韦达定理得，，得到，代入， 得到，即， 令，因为，所以的解集为， 故答案为：. 13. 已知，则的最小值是____． 【答案】2 【解析】 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对分类讨论，分别计算可得. 【详解】解：对于函数，则，当且仅当时取等号， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减， 令，解得或，所以与的两个交点分别为、， 则函数与的图象如下所示： 当时，当时，当时， 显然，此时函数的值域不为，不符合题意； 当时，当时，当时， 此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意； 当时，在时，即， 此时的值域为，符合题意， 当时，当时，当时， 此时，即，此时函数的值域为，符合题意； 综上可得. 故答案为： 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得集合，利用并集与交集的意义可求得； （2）由题意可得，又可得，可得且等号不能同时成立，求解即可. 【小问1详解】 当时，， 由，解得，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以是B的真子集， 因为，所以且等号不能同时成立， 解得，经检验，均符合题意， 所以的取值范围为． 16. 已知关于的一元二次不等式的解集为. （1）求实数的取值范围； （2）求函数的最小值； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解得答案. （2）变换，利用均值不等式得到答案. （3）变换得到，，得到不等式的解. 【小问1详解】 一元二次不等式的解集为，则， 解得. 【小问2详解】 ， 当，即时等号成立. 【小问3详解】 ，， 故解集为 17. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设. （1）当时，求海报纸（矩形）的周长； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】（1）900cm （2）选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少 【解析】 【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长； （2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽. 【小问1详解】 设阴影部分直角三角形的高为cm， 所以阴影部分的面积，所以， 又，故， 由图可知cm，cm. 海报纸的周长为cm. 故海报纸的周长为900 cm. 【小问2详解】 由（1）知，，， ， 当且仅当，即cm，cm时等号成立， 此时，cm，cm. 故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少. 18. 已知函数. （1）当时，解关于x的不等式； （2）若当时，在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时不等式的解集为. （2）或. 【解析】 【分析】（1）分类讨论解含参数的一元二次不等式，即可作答. （2）根据给定的条件，利用（1）的结论结合集合的包含关系求解作答. 【小问1详解】 不等式，即，而，则， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，因在上恒成立， 则，因此，解得，则， 当时，恒成立，此时在上不成立， 当时，，因在上恒成立， 则，因此，解得，则， 所以实数a的取值范围是：或. 19. 已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果； （2）根据题意可得：在上恒成立，结合二次不等式的恒成立问题分析求解； （3）分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【小问1详解】 因为二次函数满足， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为开口向上，对称轴为， 可知在上单调递减，则，可得， 所以实数m的取值范围为. 【小问3详解】 因为是对称轴为，开口向上的二次函数， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 可知； 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中高一年级第一次阶段性考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：叶子 审题人：刘贤青 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 3. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知：“”，：“”，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 6. 设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 集合间的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（ ） A. 37 B. 39 C. 48 D. 57 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的定义域为，若存在区间，使得，则称区间为函数的“和谐区间”.下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个“和谐区间” B. 是函数的一个“和谐区间” C. 是函数的一个“和谐区间” D. 是函数的一个“和谐区间” 10. 下列说法正确的是( ) A. 已知0＜x，则x(1﹣2x)的最大值为 B. 当时，的最大值是1 C. 若，，则的取值范围是 D. 若，，则 11. 下列说法正确的是（ ） A. 从集合到集合的函数有个 B. 已知，，对，使得成立，则实数的取值范围为 C. 已知实数x，y，z，记，则的最小值为 D. 已知，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一元二次不等式的解集为，则的解集为______. 13. 已知，则的最小值是____． 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围． 16. 已知关于的一元二次不等式的解集为. （1）求实数的取值范围； （2）求函数的最小值； （3）解关于的不等式. 17. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设. （1）当时，求海报纸（矩形）的周长； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 18. 已知函数. （1）当时，解关于x的不等式； （2）若当时，在上恒成立，求实数a的取值范围. 19. 已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $