精品解析：吉林省长春市九台区第一中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

九台一中2025-2026学年度第一学期第一次月考 高一数学试卷 （时间：120分钟 分数：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用集合的交补运算求集合. 【详解】由题设，， 所以. 故选：C 2. 已知命题，则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得答案. 【详解】因为命题， 所以命题为：，. 故选：A 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质和基本不等式结合已知条件分析判断. 【详解】因为，所以，， 所以，， 因为，当且仅当时取等号， 综上，， 故选：D 4. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的 A. 充分非必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的“真、假”，条件与结论的关系即可得出选项． 【详解】不到蓬莱不成仙，成仙到蓬莱，“成仙”是到“到蓬莱”的充分条件，但“到蓬莱”是否“成仙”不确定，因此“成仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件． 故选A 【点睛】充分、必要条件有三种判断方法： 1、定义法：直接判断“若则”和“若则”的真假． 2、等假法：利用原命题与逆否命题的关系判断． 3、若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若,则A是B的充要条件． 5. 下列函数完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断函数和的定义域和对应法则是否相同即可． 【详解】A．，两个函数的定义域不相同，不是同一函数． B．，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数． C．，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数． D．，两个函数的定义域不相同，不是同一函数． 故选：B． 【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的主要依据是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可． 6. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. 【详解】因为，，， 所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 联立，解得,即时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B 7. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的解集是得到的关系式，代入到中，再利用一元二次不等式的解法可得. 【详解】由的不等式的解集是知： 且 . 不等式 ，代入 ，得 ，即 。 由于 ，得 ，解得，解集为 . 故选：B 8. 方程在区间内有两个不同的根，则的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，图象恒过点，依题意可得m应满足的方程组，解之即可. 【详解】令函数，图象恒过点， 方程在区间内有两个不同的根， 则m应满足的条件为， 解之得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，求得集合A，再根据交集、并集、补集的概念，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由，得，解得，故， 由已知，得，则， 所以，故A错误；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：BC 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则的最小值为2 B. 和表示同一个函数 C. 若集合满足，那么这样的集合有8个 D. 定义在R上的函数满足，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据基本不等式，分析计算，可判断A的正误；根据同一函数的定义，可判断B的正误；根据元素与集合的关系及子集个数的求法，可判断C的正误；用-x代替x构造新等式，可得的解析式，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：若，则 所以， 当且仅当，即时取等号，故A错误； 选项B：与解析式不同，故不是同一个函数，故B错误； 选项C：若集合满足， 则集合M中一定含有元素1,2，可能含有元素3,4,5， 所以集合M的个数即为集合的子集个数，有个，故C正确； 选项D：因为， 所以，两式消去整理得，故D正确. 故选：CD 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值是2 C. 若，则的最大值为 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 【答案】CD 【解析】 【分析】结合基本不等式一正，二定，三相等条件分别检验各选项，即可判断． 【详解】解：当时，显然不成立； 令，则， ，结合对勾函数单调性可知，当时，取得最小值，错误； 若，则， 当且仅当即时取等号，此时取得最大值，正确； 正实数满足，则， 当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值为8，正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．. 【答案】（1，+∞）． 【解析】 【分析】由充分必要条件与集合的关系得：A B，列不等式组运算得解 【详解】由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件， 得：A B， 即，即m＞1， 故答案为：（1，+∞）． 【点睛】本题考查了充分必要条件与集合间的包含关系，属简单题． 13. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义可得不等式对任意实数x恒成立，再根据根的判别式即可得出答案. 【详解】由题意可得不等式对任意实数x恒成立， 即不等式对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 当x＞0，y＞0，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，然后解不等式可得. 【详解】因为，x＞0，y＞0， 所以 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立， 所以有恒成立，解得，即k的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题问题为求集合的交并补运算，可先解出集合B，再由集合运算的定义求解，注意求解中可借助数轴进行； （2）由是的充分不必要条件，即，结合（1）中的结果，可借助数轴进行直观分析，注意的情况. 【小问1详解】 因为， 因为，所以. ，所以或， 所以或. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集. 当时，满足是，此时，解得； ② 当，即时，要使是，当且仅当等号不能同时成立， 解得，故． 综上所述，实数的取值范围为． 16. 已知不等式的解集为或 （1）求的值 （2）解不等式． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题知，是方程的两个解，根据韦达定理列出方程，解出即可； （2）化简不等式，分类讨论，即可得到不等式的解集. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或, 所以，是方程的两个解，且， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知原不等式为， 即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y. （Ⅰ）将y表示为x的函数； （Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【答案】（Ⅰ）y=225x+ （Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+ （2） ．当且仅当225x=时，等号成立． 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用 18. 已知函数. （1）求函数的定义域和值域： （2）若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 【答案】（1）定义域为；值域为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域； （2）①令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可；②分类讨论的取值范围，结合的解析式即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，则， 又， 当时，， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 依题意，得， 令，则， 令，， 当时， 此时二次函数对称轴，开口向上，则. 当时，此时对称轴， 当，即时，开口向下，则； 当，即，对称轴，开口向下， 则， 当，即时，开口向下，； 综上，. ②当时，，则，解得或（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 综上，或，即. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握分类讨论的方法，利用二次函数的性质，结合轴动区间定即可得解. 19. 已知实数，，满足． （1）证明对任意的，，恒成立， （2）若为大于1的自然数，能够使得对任意的，，恒成立，求的值； （3）自然数p，m，n满足什么条件时，不等式对任意的，，恒成立？ 【答案】（1） ，令， 则， 所以 ， 所以恒成立； （2）2或3； （3）， 【解析】 【分析】（1）令，则，所以，证毕； （2）令，则，变形，只需，不等式两边同除以，令，参变分离得到，由基本不等式求出，所以，所以或3； （3）同（2），变形得到，由基本不等式得到，故，得到，证毕. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，则， 故 ， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， 由于，当且仅当，时，等号成立， 所以，为大于1的自然数，所以或3； 【小问3详解】 自然数p，m，n满足时，对，，恒成立； 理由如下：令，则， 则， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， p，m，n为自然数，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，即， 所以，，必要性成立， 当时，，即， 所以， 所以对，，恒成立，充分性成立， 综上，自然数p，m，n满足时，对，，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九台一中2025-2026学年度第一学期第一次月考 高一数学试卷 （时间：120分钟 分数：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，， 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的 A. 充分非必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 下列函数完全相同的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 方程在区间内有两个不同的根，则的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则的最小值为2 B. 和表示同一个函数 C. 若集合满足，那么这样的集合有8个 D. 定义在R上的函数满足，则 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值是2 C. 若，则的最大值为 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．. 13. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为___________. 14. 当x＞0，y＞0，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是________． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围． 16. 已知不等式的解集为或 （1）求的值 （2）解不等式． 17. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y. （Ⅰ）将y表示为x的函数； （Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 18. 已知函数. （1）求函数的定义域和值域： （2）若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 19. 已知实数，，满足． （1）证明对任意的，，恒成立， （2）若为大于1的自然数，能够使得对任意的，，恒成立，求的值； （3）自然数p，m，n满足什么条件时，不等式对任意的，，恒成立？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $