与球相关的“切”与“接”学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案以“与球相关的‘切’与‘接’”为核心，聚焦外接球和内切球问题的解决策略，通过题型分类（外接球分棱柱、棱锥、旋转体，内切球专题）设计例题、通性通法总结与跟踪训练，构建“概念理解-方法提炼-应用实践”的递进式学习路径，体现知识体系的系统性。 亮点在于“通性通法”提炼与转化思想渗透，如直棱柱外接球转化为外接圆柱问题，棱锥补形为长方体，培养空间观念和推理能力。每个例题配套直观示意图，设计“尝试解答-方法总结-跟踪训练”任务链，帮助学生用数学眼光抽象空间形式，为教师单元复习提供清晰教学流程和能力培养方案。

培优课　与球相关的“切”与“接” 题型一 常见几何体的外接球 角度1　棱柱的外接球 【例1】　体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.12π B.π C.8π D.4π 尝试解答 通性通法 　　求长方体（正方体）的外接球的基本思路 　　如图所示，长方体的体对角线为长方体外接球的直径.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，外接球的半径为R，则（2R）2＝x2＋y2＋z2. 【例2】　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为（　　） A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 尝试解答 通性通法 求直棱柱的外接球的基本思路 如图所示，可以将直棱柱的外接圆柱OO1作出来，则直棱柱的外接球即其外接圆柱的外接球.设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则（2r）2＋h2＝（2R）2. 角度2　棱锥（台）的外接球 【例3】　已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S -ABC的体积为9，则球O的表面积为　　　　. 尝试解答 通性通法 1.求棱锥（台）的外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据有两个，一是根据球心到球面上各点的距离都等于半径，二是根据球心与截面圆心的连线垂直于截面. 2.补形转化求三类特殊三棱锥外接球 （1）两个侧面垂直于底面的三棱锥A1-ABC.一般将其补形为直三棱柱，如图①； （2）一个侧面垂直于底面的三棱锥P-ABC可转化为与其同外接球的三棱锥S-ABC求解，如图②； （3）对棱相等的三棱锥A-BCD，可补形为长方体，再求外接球，如图③. 角度3　圆柱、圆锥、圆台的外接球 【例4】　如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（　　） A.64π　　　　　　　　 B.48π C.32π D.16π 尝试解答 通性通法 求圆柱、圆锥、圆台的外接球的一般思路 （1）确定几何体的顶点、底面与球面公共点及交线，抽象得出该几何体的外接球的位置，找到球心； （2）一般过球心作截面，将球的半径、几何体的高、母线、底面半径转到平面几何中的直角三角形、相似三角形中求解. 【跟踪训练】 1.已知高为4的圆锥外接球的体积为36π，则圆锥的体积为（　　） A. B. C. D.32π 2.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.100π B.128π C.144π D.192π 题型二 几何体的内切球 【例5】　若一个圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（　　） A.4π（R＋r）2 B.4πR2r2 C.4πRr D.π（R＋r）2 尝试解答 通性通法 　　解决几何体的内切球问题，应先画出示意图（一般画出轴截面或对角面），再根据题中的数量关系将其转化为平面问题，如转化成三角形问题、圆的有关问题等. 求解时，需注意以下几点： （1）正方体的内切球的直径等于正方体的棱长； （2）①正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；②棱长为a的正四面体的高为a，其外接球的半径为a，内切球的半径为a； （3）若球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； （4）若球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高. 【跟踪训练】 如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，求三棱锥P-ABC的内切球的表面积. 培优课　与球相关的“切”与“接” 【典型例题·精研析】 【例1】　A　设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·（）2＝12π，故选A. 【例2】　B　如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2.∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，∴A＝a2＋a2＝a2，故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2. 【例3】　36π　解析：如图，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R.∴VS -ABC＝VA-SBC＝×S△SBC×AO＝××AO，即9＝××R，解得 R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π. 【例4】　C　如图，N为圆柱底面圆的圆心，M为球面上一点，设圆柱底面半径为r，球的半径R与圆柱底面夹角为∠OMN＝α，则MN＝r＝R·cos α＝4cos α，ON＝R·sin α＝4sin α，∴圆柱的高h＝8sin α，∴圆柱的侧面积S＝2π·r·h＝32π·sin 2α，结合正弦函数的性质知，当且仅当sin 2α＝1，即α＝时，圆柱的侧面积最大，为32π.此时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为4πR2－2πrh＝64π－32π＝32π. 跟踪训练 1.A　设圆锥外接球的球心为O，半径为R，圆锥的底面圆的半径为r.由题意得R3＝36π，∴R＝3，∴球心O到圆锥底面的距离d＝4－3＝1，∴r2＝R2－d2＝8，∴该圆锥的体积为πr2h＝π×8×4＝，故选A. 2.A　设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令｜OO1｜＝t，则｜OO2｜＝｜t－1｜.由题意及正弦定理，得2r1＝＝6，2r2＝＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝＋t2＝＋（t－1）2，即R2＝9＋t2＝16＋（t－1）2，解得所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A. 【例5】　C　法一　作圆台的轴截面，如图所示，设球的半径为r1，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点.易知AM＝AF，BN＝BF，又BN＝R，AM＝r，则AB＝R＋r，即CD＝R＋r.过点D作DE⊥BC于点E，在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，CD＝R＋r，由勾股定理得4＝（R＋r）2－（R－r）2，解得r1＝.故球的表面积S球面＝4π＝4πRr. 法二　如图所示，设球O的半径为r2，连接OA，OB，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点.易知AF＝AM＝r，BF＝BN＝R，∠MAO＝∠FAO，∠NBO＝∠FBO，又∠MAO＋∠FAO＋∠NBO＋∠FBO＝180°，所以∠OAF＋∠OBF＝90°，即∠AOB＝90°.在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高，由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即＝Rr，故r2＝.故球的表面积S球面＝4π＝4πRr. 跟踪训练 　解：由PA⊥平面PBC，且PA＝4，PB＝2，AC＝2， 得AB＝2，PC＝2，所以△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形.V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC＝S△PBC×PA＝××（2）2×4＝4.易知三棱锥P-ABC的表面积S＝×2×4×2＋×（2）2＋×2×5＝16.设内切球半径为r，则V三棱锥P-ABC＝×S×r，即4＝×16×r，解得r＝.所以三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4π×（ ）2＝. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $