4.4 课时2 二项式定理的性质 课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦二项式定理的性质，涵盖杨辉三角的对称性、递推性及二项式系数的增减性与最大值。通过回顾二项式定理，结合杨辉三角数表引导学生观察规律，搭建从具体系数到抽象性质的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以探究式学习培养数学眼光，通过杨辉三角数表让学生自主发现规律。性质推导严谨，如增减性的组合数比值分析，发展数学思维。例题多样，如整除证明等应用，提升数学语言表达能力。学生能增强探究与应用能力，教师可高效开展教学。

4.4 课时2 二项式定理的性质 第4章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明. 2.掌握二项式定理的应用. 学习目标 作者编号：32200 二项式定理: 知识回顾 … … … 作者编号：32200 这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”.西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”. 你能发现它们有哪些规律吗？试用组合数知识加以说明. 新知探究 … … … 作者编号：32200 杨辉三角的性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； 说明：由组合数性质可知， , 所以每一行的数都是对称的， 两端的数分别是 ，显然二者均为1. 知识梳理 作者编号：32200 (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 说明：由组合数性质可知 杨辉三角的性质 作者编号：32200 (3)二项式系数的增减性： 即 因为 当 ，即 时， 由对称性知， 时， Cnk随k的增加而增加； Cnk随k的增加而减小. 因此二项次系数先逐渐变大，再逐渐变小. 作者编号：32200 (4)二项式系数的最大值： 当n是偶数时，中间的一项 取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项 和 相等， 且同时取得最大值. 作者编号：32200 例1 如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值. 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解.注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察. 作者编号：32200 例2 写出(x－y)11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； 新知探究 … … … 作者编号：32200 例3 求证：证明1110-1能被100整除. 证明：∵ ∴1110-1能被100整除. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例4 证明：3n>2n2＋1(n≥3，n∈N＋). 证明：当n≥3，n∈N＋时， ∴结论成立. 新知探究 … … … 作者编号：32200 项式系数的性 质与杨辉三角 杨辉三角 二项式定理的应用 对称性 增减性与最大值 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是( ) A.120 B.210 C.84 D.36 C 当堂检测 … … … 作者编号：32200 2.已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝( ) A.11 B.10 C.9 D.8 3.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5，6项 D.第6，7项 A D 当堂检测 … … … 作者编号：32200 第17项是Ceq \o\al(2,10)，第18项是Ceq \o\al(1,10)，第19项是Ceq \o\al(2,11). ∴S19＝(Ceq \o\al(1,2)＋Ceq \o\al(2,2))＋(Ceq \o\al(1,3)＋Ceq \o\al(2,3))＋(Ceq \o\al(1,4)＋Ceq \o\al(2,4))＋…＋(Ceq \o\al(1,10)＋Ceq \o\al(2,10))＋Ceq \o\al(2,11)＝Ceq \o\al(2,3)＋Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(2,5) ＋…＋Ceq \o\al(2,11)＋Ceq \o\al(2,11)＝Ceq \o\al(3,3)＋Ceq \o\al(2,3)＋Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(2,5)＋…＋Ceq \o\al(2,11)－Ceq \o\al(3,3)＋Ceq \o\al(2,11)＝Ceq \o\al(3,12)－1＋Ceq \o\al(2,11)＝274. 解：由图知，数列中的首项是Ceq \o\al(2,2)， 第2项是Ceq \o\al(1,2)，第3项是Ceq \o\al(2,3)，第4项是Ceq \o\al(1,3)，…， ∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项， T6＝－Ceq \o\al(5,11)x6y5，T7＝Ceq \o\al(6,11)x5y6. 解：(1)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－Ceq \o\al(5,11)x6y5，T7＝Ceq \o\al(6,11)x5y6. (2)(x－y)11展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,11)x11－k(－y)k＝Ceq \o\al(k,11)(－1)kx11－kyk， ∴项的系数的绝对值为|Ceq \o\al(k,11)·(－1)k|＝Ceq \o\al(k,11)， ＝1＋2n＋2n(n－1)＝2n2＋1， 3n＝(1＋2)n＝1＋Ceq \o\al(1,n)·2＋Ceq \o\al(2,n)·22＋…＋2n>1＋Ceq \o\al(1,n)·2＋Ceq \o\al(2,n)·22 ＝1＋2n＋eq \f(n！,2！（n－2）！)·4 $