精品解析：吉林省辽宁省名校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度上学期高一年级10月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. ☆注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 方程的所有解组成的集合为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的概念得解. 【详解】原方程化简得，显然无解，故原方程的所有解组成的集合为空集. 故选：C. 2. 已知集合，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集的概念即可得解. 【详解】由于，则的取值范围是. 故选：B. 3. 2024年某大学强基计划规定，高考数学达145分的考生，可直接入围该大学强基计划.设甲：考生高考数学达145分；乙：可直接入围该大学强基计划，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】由题意，高考数学达145分的考生，可直接入围该大学强基计划， 但入围该大学强基计划不一定只有考生高考数学达145分这一种方法， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 4. 下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成集合的是（ ） A. Chinese B. Mathematics C. English D. Physics 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性得解. 【详解】根据集合的互异性，单词中包含相同字母的均不能以自身包含的所有字母为元素组成集合，故仅C项符合条件. 故选：C. 5. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的补集、交集运算得解. 【详解】由题意可得或， 故， 由韦恩图可知图中表示的集合为， 故选：B. 6. 已知命题：任何实数的平方都为正数；命题：存在一个无理数使得其三次方为有理数，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】判断命题真假，再根据命题的否定逐项分析即可. 【详解】对于命题：易得0的平方仍为0，不是正数， 故是假命题，则是真命题； 对于命题：对于是无理数，其三次方是有理数， 所以命题是真命题，则为假命题. 故选：A. 7. 为了更加深入地了解辽宁，某地区高一某班倡导学生利用周末时间去参观沈阳故宫，兴城古城，本溪水洞这三个地方，经统计该班共有55名同学，其中31个同学去了沈阳故宫，21个同学去了兴城古城，30个同学去了本溪水洞，同时去了沈阳故宫和兴城古城的有10人，同时去了兴城古城和本溪水洞的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ） A. 19人 B. 22人 C. 25人 D. 28人 【答案】D 【解析】 【分析】构造为集合问题，利用集合之间的关系，判定集合元素个数得解. 【详解】设去了沈阳故宫的同学组成集合， 去了兴城古城的同学组成集合，去了本溪水洞的同学组成集合， 依题意，，，，，，， 而，所以，解得， 所以只去了一个地方的有（人）. 故选：D. 8. 定义集合间的运算，若，，则的非空真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合，确定，的可能取值，利用集合新定义得出集合中的元素，求其非空真子集个数即可. 【详解】对于， 由于，，所以，至少有一个为0，故，. 对于，由于，， 若有一方为，则另一方必定为0，故此时必有，； 若二者均不为0，则必有二者分别均为1或，此时，， 故中共有三个元素，，，的非空真子集的个数为. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合交并补的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得，所以，故A正确； ，故B错误； 或，故，C正确； ，故D错误. 故选：AC. 10. 设实数，，满足，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式性质依次判断即可. 【详解】对于A，由题意可得，，故，故A正确； 对于B，由可知，故，故B错误； 对于C，易得，故C正确； 对于D，易得，，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令换元后得到一元二次方程，由判别式求出范围判断A，由基本不等式判断B, 取，代入检验判断C，利用基本不等式转化为关于的不等式求解判断D. 【详解】因为，所以， 令，则原式整理得， 由于为实数，方程判别式需非负， 有， 解得，即，故A正确； ，所以，整理得， 当且仅当时等号成立，故B正确； 取，则此时，故C错误；， 解得，解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设命题：，，则的否定形式为______. 【答案】， 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题直接求解即可. 【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得：，. 故答案为：，. 13. 配平化学方程式可以通过解方程组来完成.例如，在中燃烧生成，可以设方程式为，其中，，均为正整数，且它们的最大公约数为1.由方程式两边的同种原子数目相等可得，令，则，.因此配平后的化学方程式为.用这种方式配平化学方程式，为正整数，则，，，分别为______. 【答案】4，5，4，6（少写或者错写均不得分） 【解析】 【分析】由题意列出方程组，先赋值，同乘以2各数变为正整数即可得解. 【详解】由同种原子数目相等，有， 令，则，，， 由于各数均需要为整数，且它们的最大公约数为1，故同时乘2， 所以，，，分别为4，5，4，6. 故答案为：4，5，4，6. 14. 已知不等式：恒成立，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由特殊值时不等式成立可得，消元后得出两个不等式恒成立，据此可得，即可得出. 【详解】设函数，，， 由题意可得，注意到，故必然有， 故，，. 而，故， 移项化简后，可得均恒成立， 由①可得，将代入②式发现仍恒成立， 则，故， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设全集，集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的补集、并集运算求解； （2）根据充分条件转化为，据此列出不等式求解. 【小问1详解】 当时，集合， 又因为全集，所以， 又因为集合，所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 又因为集合，，所以， 即的取值范围为. 16. 已知不等式的解集为. （1）求，； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集可得方程的根，由根与系数的关系求解； （2）对分类讨论，当时，根据二次不等式恒成立，利用判别式求解. 【小问1详解】 由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，则可转化为不等式恒成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上可得. 17. 为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）. （1）求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； （2）若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，表示出绿洲的长宽，得到规划区域面积，利用基本不等式求最值得解； （2）由题意铺设管道长度等于绿洲部分的周长，据此列出方程求解即可. 【小问1详解】 设矩形绿洲的长为，则宽为， 由绿洲区域面积为，可知，故， 因为存在设备通道，故规划区域的宽为， 长为， 故， 由基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立，故此时. 【小问2详解】 因为，所以. 由（1）知铺设管道长度等于绿洲部分的周长， 故总共需要铺设的管道长度为，则， 又因为，整理得一元二次方程，解得. 因为，所以. 18. 已知集合，. （1）若，且，求的值； （2）当时，若，求，的值； （3）若，讨论，的取值范围. 【答案】（1） （2）， （3） 当时，可以为任意实数；当时，. 【解析】 【分析】（1）根据，代入中方程求解即可； （2）分与两种情况讨论，根据包含关系求参数的解； （3）结合，及解得个数，分类讨论求解. 【小问1详解】 时，， 由可得，解得. 【小问2详解】 当时，方程至少有一解. 当时，为空集，要使，则也为空集，即方程无解， 则，与矛盾，舍去； 当时，，若，则方程有且仅有一解为， 则，且，整理得方程， 解得，故，. 【小问3详解】 当时，为空集，必有； 当时，，若，若方程有且仅有一解为， 由上知，则，. 若方程有两解，则且， 解得且，且. 综上，当时，可以为任意实数；当时，. 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，现定义：表示不超过实数的最大整数，如，，利用题干所给信息解决下列问题. （1）证明：，； （2）求不等式的解集； （3）若的解集为，求的取值范围. 【答案】（1） 设的整数部分为，小数部分为， 当时，，，故. 当且时，，，故； 当且时，，，，得证. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的整数部分为，小数部分为，分，且，且三类情况讨论即可得证； （2）由不等式可得，结合题意求解即可； （3）不等式可化为，分，，三类情况讨论解集，由不等式解集为，求出的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得：，解得， 而是整数，则得，故，即不等式的解集为. 【小问3详解】 不等式，即， 由方程可得或. ①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意； ②若，，由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得. ③若，，由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得. 综上所述，或.故的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期高一年级10月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. ☆注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 方程的所有解组成的集合为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知集合，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年某大学强基计划规定，高考数学达145分的考生，可直接入围该大学强基计划.设甲：考生高考数学达145分；乙：可直接入围该大学强基计划，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成集合的是（ ） A. Chinese B. Mathematics C. English D. Physics 5. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题：任何实数的平方都为正数；命题：存在一个无理数使得其三次方为有理数，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 7. 为了更加深入地了解辽宁，某地区高一某班倡导学生利用周末时间去参观沈阳故宫，兴城古城，本溪水洞这三个地方，经统计该班共有55名同学，其中31个同学去了沈阳故宫，21个同学去了兴城古城，30个同学去了本溪水洞，同时去了沈阳故宫和兴城古城的有10人，同时去了兴城古城和本溪水洞的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ） A. 19人 B. 22人 C. 25人 D. 28人 8. 定义集合间的运算，若，，则的非空真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 设实数，，满足，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设命题：，，则的否定形式为______. 13. 配平化学方程式可以通过解方程组来完成.例如，在中燃烧生成，可以设方程式为，其中，，均为正整数，且它们的最大公约数为1.由方程式两边的同种原子数目相等可得，令，则，.因此配平后的化学方程式为.用这种方式配平化学方程式，为正整数，则，，，分别为______. 14. 已知不等式：恒成立，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设全集，集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）. 16. 已知不等式的解集为. （1）求，； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 17. 为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）. （1）求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； （2）若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 18. 已知集合，. （1）若，且，求的值； （2）当时，若，求，的值； （3）若，讨论，的取值范围. 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，现定义：表示不超过实数的最大整数，如，，利用题干所给信息解决下列问题. （1）证明：，； （2）求不等式的解集； （3）若的解集为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $